（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题3.9函数模型及其应用

3.9 函数模型及其应用
课标要求 考情分析 核心素养
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 数学建模
2020(Ⅰ)卷 6 指数型函数模型
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax1．解函数应用题的步骤
2.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
1.【P156 T10】某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少若杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤( )
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
2.【P156 T14】水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为现水葫芦覆盖面积单位与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择参考数据：
Ⅰ试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
Ⅱ求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍
考点一　一次、二次、分式函数模型
【方法储备】
1.一次函数模型应用题的求解方法:两变量之间的关系是一次函数模型, 其增长特点是直线上
升(自变量的系数大于0) 或直线下降(自变量的系数小于0).
2.二次函数模型应用题的求解方法:
(1)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等,可构建二次函数模型,利用二次函数图像与单调性解决.
(2)二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题.
3.模型应用题的求解方法:
(1)函数也称为“对勾”函数.解决“对勾”函数的最值问题通常利用基本不等式, 特别要注意基本不等式中等号成立的条件,当等号不能成立时,可通过判断函数的单调性解决函数的最值问题.
(2)求函数解析式时要注意确定函数的定义域,对于类型的函数最值问题,特别要注意定义域问题,可考虑用均值不等式求最值,或者考虑使用函数的单调性,此时可借助导数的方法来研究其单调性.
【典例精讲】
例1.(2022·重庆市期末) 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投入单位：万元满足，，设甲大棚的投入为单位：万元，每年两个大棚的总收益为单位：万元．
求的值；
试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？
【名师点睛】
二次函数的模型解题时，一定要注意自变量的取值范围,根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.
【靶向训练】
练1-1(2022·湖北省八市联考) 某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区如图所示要求试验区四周各空，各试验区之间也空则每块试验区的面积的最大值为 ．
练1-2(2021·福建省福州市月考) 为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过件就可以每件比出厂价低元给予优惠如果按出厂价购买年级组总共应付元，但若再多买件就可以达到优惠条件并恰好也是共付元为整数，则的值为 ．
考点二　分段函数模型
【方法储备】
分段函数模型应用题的求解方法：
1.实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式给出,而是几个不同的关系式构成分段函数.
2.分段函数中每一段自变量变化所遵循的规律不同,在应用时,可以先将其当作几个问题, 将各段的变化规律分别找出来, 再将其合到一起.要注意各段自变量的范围,特别是端点值.
3.构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理,不重不漏.
【典例精讲】
例2.(2022·河南省郑州市一模) 改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路平面示意图如图所示，道路长度为单位：百米，是函数图象的一部分，是函数的图象，最高点为，则道路所对应函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】　
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【靶向训练】
练2-1(2022·江苏省无锡市模拟) 新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时单位：小时大致服从的关系为为常数已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为 小时．
练2-2(2021·福建省泉州市月考) 漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间单位：小时与失去的新鲜度满足函数关系其中，为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘小时之后失去的新鲜度，采摘小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间从杨梅采摘的时刻算起不能超过参考数据：( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
考点三　指数、对数、幂函数模型
【方法储备】
指数函数、对数函数模型、幂函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
【典例精讲】
例3.(2022·江苏省无锡市联考) 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下不含所需的训练迭代轮数至少为参考数据：，( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【靶向训练】
练3-1(2022·北京市期末) 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间
茶水温度
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：
，．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为( )
参考数据：，
A. B. C. D.
练3-2(2022·浙江省金华市期末) 节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数．
试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．参考数据：取
考点四　函数模型的综合应用
【方法储备】
1.已知函数模型的实际问题
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该模型求解实际问题．
2.构建函数模型解决实际问题：
（1）明确题意,引进数学符号,利用数量关系建立函数模型；
（2）利用函数性质对函数模型进行解答,并给出实际问题的解.
【典例精讲】
例4. (2022·湖北省武汉市月考) 经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的数据如下表：
为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，，选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，，，单位：为使百公里耗油量单位：最小，该型号汽车行驶的车道与速度为( )
A. 在外侧车道以行驶 B. 在中间车道以行驶
C. 在中间车道以行驶 D. 在内侧车道以行驶
【名师点睛】
构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
【靶向训练】
练4-1(2022·江苏省南京市月考) 年月日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱，如图所示，地球和月球都绕地月系质心做圆周运动，，，设地球质量为，月球质量为，地月距离为，万有引力常数为，月球绕做圆周运动的角速度为，且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
练4-2(2022·安徽省合肥市月考) 为吸引顾客，甲、乙两商场均采取了促销手段，其中甲为“全场八五折”，乙为“每满元减元”，则顾客购买元以上商品到甲商场更合算的价位是( )
A. B.
C. D. 以上均不对
核心素养系列 数学抽象——函数的新定义问题
新定义问题是高考考查的创新点之一，函数新定义问题题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、用原有的知识与方法解决新情景下问题的能力.考查学生数学思维的深度、广度以及对知识内容掌握的综合性和灵活性,涉及函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想和递推法、构造函数法、数学归纳法、反证法
等解题方法.
【方法储备】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题.
1.理解新函数的定义：理解新函数的定义、性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系.
2.转化：将新函数与已学函数建立联系，类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式.
3.代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题.
【典例精讲】
例5. (2022·安徽省合肥市模拟) 函数的定义域为，对内的任意，当时，恒有，则称为非减函数．已知是定义域为的非减函数，且满足：对任意，对任意则的值为 ．
【名师点睛】
解决函数新定义问题，首先要仔细审题,理解“新定义”.其次要分析题干,化生为熟，对试题做深度剖析,寻找一切可以挖掘的信息,包括显性和隐性条件,然后与已有知识脉络相联系,寻求题意的着落点.最后,探究方法, 解决问题.将“新定义”型问题化归为已有知识体系中常见类型进行探究, 最终解决问题.
【靶向训练】
练5-1. (2022·江苏省扬州市期中.多选) 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”则下列说法中正确的有( )
A. 对于一个半径为的圆，其“优美函数”仅有个
B. 函数可以是某个圆的“优美函数”
C. 若函数是“优美函数”，则函数的图象一定是中心对称图形
D. 函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
练5-2(2021·浙江省杭州市模拟.多选) 定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则( )
A. 是的一个“完美区间”
B. 是的一个“完美区间”
C. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
易错点05 应用题理解题意有误
例6. (2021·江苏省徐州市月考) 鲜花店鲜花的售价随进价的变化而变化，已知某鲜花店鲜花在第一天的进价为元枝，售价为元枝，并规定从第二天起，该鲜花当日售价的涨跌幅是当日进价的涨跌幅的．
注：当日进价的涨跌幅，当日售价的涨跌幅，每枝花的当日差价当日售价当日进价．
鲜花进价与售价表
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天
进价元枝
售价元枝
以下结论正确的是( )
A.
B.
C. 这天内鲜花第二天的当日差价最大
D. 这天内鲜花第一天的当日差价最小
答案解析
【教材改编】
1. 【解析】由题设，若原杂质含量为，过滤次后杂质减少到原来的以下，
，则，又，
，至少需要过滤次．故选：．
2. 【解析】因为的增长速度越来越快，
的增长速度越来越慢，
所以依题意应选函数模型，
则有，解得，所以．
由，知，
当时，，即原先投放的水葫芦的面积为．
设经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍，
有，
所以，
所以约经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍．
【考点探究】
例1. 【解析】甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，
万元．
，
依题意得，
故．
令，
则，
当，即时，万元．
所以投入甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大，且最大收益为万元．
练1-1. 【解析】设矩形空地的长为，则宽为，
依题意可得，试验区的总面积
，
当且仅当，即时等号成立，每块试验区的面积的最大值为．
故答案为．
练1-2. 【解析】设按出厂价购买套，应付元，出厂价为元，则有，
在过买套，就可以按优惠价格计算，恰好也付元，则有，其中，
联立可得，所以，
又由，可得，
且为整数，套数也为整数且为的倍数，则有，
则，可得．
故答案为：．
例2. 【解析】由是函数的图象，最高点为，
则，，得，则，
所以，
代入点得，即，
由，得，
所以，，
当时，，即，
将点和代入，得，解得
所以，，
综上所述，
故选C．
练2-1. 【解析】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，
由第天检测过程平均耗时为小时，可知，解得．
又，解得，所以
当时，．
故答案为．
练2-2. 【解析】由题意知：当，
，将，
因为新鲜度不低于，所以不失去的新鲜度，则有，
，
两边同时取以为底的对数得：，
即，
所以，
由，所以，则物流时间从杨梅采摘的时刻算起不能超过小时，
故答案选：．
例3. 【解析】由于，所以，
依题意，则，
由得，
，
，，
，
所以所需的训练迭代轮数至少为轮
故选D．
练3-1. 【解析】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为，，，，，
呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型为更符合实际的模型．
由时，，代入，得，解得．
．
由时，可得，解得，
，
由，得，，
，
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为，
故选：．
练3-2. 【解析】由题意得，，
所以当时，，
即，解得，
所以，
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为；
由题意可得，，
整理得，，即，
两边同时取常用对数，得，
整理得，
将代入，得
又因为，所以，
综上，至少进行次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．
例4. 【解析】由与的数据关系，可发现为增函数，故不合题意；
若选择，此时，，，
与实际数据相差较大，所以此种模型不符合，
所以应选择，
，
当时，取得最小值，
所以该型号汽车应在外侧车道以的速度行驶时最小．
故答案为．
练4-1. 【解析】，，
，，
则 ，有，故A错误，B正确．
， ，则C错误；
将代入得，，则D错误．
故答案为：．
练4-2. 【解析】假设顾客购买元商品，其中表示不超过的最大整数，
则到甲商场共付出元，到乙商场共付出元，
令，
令，化为，
解得时，或，
故选C．
【素养提升】
例5. 【解析】对任意，，
令，则，解得，
当时，恒成立，
则，
又函数为定义在上的非减函数，
当时，，恒成立，
所以，
又，
，，
的值为，
故答案为：．
练4-1. 【解析】对于，过圆心的任一直线都可以满足要求，故A错误；
对于，函数为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的“优美函数”，故B正确；
对于，函数的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称函数，如图，故C错误；
对于，函数奇函数，关于原点对称，
同时平分圆，，的周长和面积，
所以是圆，的“优美函数”，这样的圆有无数个，故D正确．
故选：．
练4-2. 【解答】设的“完美区间”为，易知，
当时，由的图象知在上单调递减，所以
解得，此时
当时，若则，此时
若则最小值为，不合题意；
若则由图象知在上单调递增，
所以
解得舍去，
综上，函数所有“完美区间”的“复区间长度”的和为，
故选AC．
【易错点归纳】
例6. 【解析】由表中数据可得，从第三天到第四天，进价涨跌幅为，
其售价涨跌幅为，
，解得，故A错误，
由表中数据可得，从第四天到第五天，进价涨跌幅为，
其售价涨跌幅为，
，解得，故B错误，
从第一天到第五天的当日差价为：
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天
当日差价元枝
故第五天差价最大，第一天差价最小，故 C错误，D正确．
故选：．
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