（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题4.1导数的概念及运算

4.1 导数的概念及其运算
课标要求 考情分析 核心素养
1.导数概念及其意义 ⑴通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.⑵体会极限思想.⑶通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.导数运算 ⑴能根据导数定义求函数的导数.⑵能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如)的导数.⑶会使用导数公式表. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 直观想象
2022(Ⅰ)卷 15 已知切线条数求参数的取值范围
2022(Ⅱ)卷 14 求切线方程
2021(Ⅰ)卷 7 已知切线条数求参数的取值范围
2021(Ⅱ)卷 16 导数的几何意义
1．导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′，f′(x)＝ ＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0),则切线方程为．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q且) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．．
3．函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
1．【P70 T4】已知某物体位移米与时间秒的关系是，则速度为米秒的时刻是( )
A. 秒末 B. 秒末 C. 秒末 D. 秒末或秒末
2．【P70 练2】已知函数在上存在导函数，函数的图像如图所示，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
.
考点一　导数的概念及计算
【方法储备】
导数运算技巧：
【典例精讲】
例1.(2021·山东省东营市月考.多选) 设函数，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 在处的切线方程为
D.
【名师点睛】
导数运算的技巧：
(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．
(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．
【靶向训练】
练1-1(2021·江苏省徐州市期中) 已知函数的导函数为，且满足关系式
，则的值等于 ．
练1-2(2022·江西省宜春市月考) 已知实数满足，，，那么的值为( )
A. B. C. D.
考点二　求曲线的切线方程及切点坐标
【方法储备】
利用导数研究曲线的切线问题：
（1）已知斜率求切线方程：由斜率求出切点坐标，求出切线方程.
（2）已知切点求切线方程：求出切点处的导数值，即为切线斜率，求出切线方程.
（3）过点的切线方程：区分点是否为切点
①点为切点：切线方程为，切线只有一条；
②点不为切点：设出切点坐标,表示出在点切线方程，将点坐标带入切线方程求出，得到切线方程.
【典例精讲】
例2.(2021·江苏省无锡市月考) 已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求经过点的曲线的切线方程。

【名师点睛】
1. 区别“在点P的曲线的切线方程”与“过点P的曲线的切线方程”：前者点P为切点，且切线仅有一条；后者点P未必是切点，且切线可能不止一条.
2.求曲线的切线的条数问题，转化为关于切点横坐标的方程的实根个数问题.
【靶向训练】
练2-1(2022·天津市模拟) 曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
练2-2(2022·湖南省郴州市期末) 已知抛物线，其准线与轴交于点，则过点的抛物线的切线方程为 ．
考点三　与切线有关的问题
【方法储备】
1.已知切线求参：设切点坐标，表示切线方程；与已知切线方程，表示同一条直线.
2.已知切线条数求参：设切点坐标，表示切线方程；切线条数即为关于切点横坐标的方程的实根个数.
3.已知切线的位置关系：分别表示出切线方程，将切线间的位置关系，转化为斜率间的关系.
4.公切线问题：有切点相同的公切线、切点不同的公切线、公切线的存在性问题，一般思路是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.
【典例精讲】
例3.(2022·湖北省孝感市月考) 若是的切线，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
例4. (2022·重庆市市辖区月考.多选) 已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
例5. (2022·广东省湛江市月考) 已知直线是曲线与的公共切线，则的方程为 ．
【名师点睛】
1.处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
⑴切点处的导数是切线的斜率；⑵切点在切线上；⑶切点在曲线上．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点：
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【靶向训练】
练3-1(2022·河南省信阳市期中) 函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为 ．
练3-2(2022·辽宁省丹东市模拟.多选) 若过点可以作出曲线的切线，且最多有条，
，则( )
A. B. 当时，值唯一
C. 当时， D. 的值可以取到
核心素养系列 数学抽象——导数中的新定义问题
导数及其应用是高考考查的重点与热点之一，经常创新命题角度,通过新图象、新定义、新背景、新交汇等多种方式考查,达到提升学生的数学核心素养,培养学生的创新意识,提高学生各方面的综合能力的目的.
【方法储备】
导数中的新定义问题,一般所给信息量大、复杂,难以一步建立联系,经常需通过综合分析,在纷繁的信息中提炼有用的信息,朝着导数的运算、函数的单调性、极值、最值等方面转化,利用“通性通法”求解.
【典例精讲】
例6. (2021·山东省青岛市模拟) 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数
，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为 ．
【名师点睛】
以应用能力和探究能力立意的导数新定义问题的内涵丰富,对考生逻辑思维的敏锐性和分析视角的独特性有较高要求,解题时透过现象看本质,新定义问题并非完全是创新题,而是课本函数知识的重新组合或者再加工,即所谓“新题并非皆难题”.所以，读懂“新定义”，明确问题类型,揭示问题的实质是关键.
【靶向训练】
练4-1(2022·河北省石家庄市模拟) 若函数和的切线中存在两条切线平行，则称这两个函数具有“局部平行性”已知函数与存在“局部平行性”，则的取值范围为 ．
练4-2(2022·安徽省六安市月考) 若的图象上两点关于原点对称，则称这两点是一对对偶点，若
的图象上存在两对对偶点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
易错点1．混淆两类切线的概念
曲线在点P处的切线”P为切点且P在曲线上，而“过点P的切线”仅能说明点P在曲线的切线上。
例7. (2022·安徽省合肥市联考.多选) 求曲线，过点的切线方程( )
A. B.
C. D.
答案解析
【教材改编】
1．【解析】依题意，，由，对求导得：，
而位移函数的导数表示运动质点的瞬时速度，由速度为，即，
得：舍去，，
所以速度为米秒的时刻是秒末．
故答案选C．
2．【解析】如图，分别作曲线在，，三处的切线，，，
设切线的斜率分别为，，，
易知，
又，，，
所以．
故选A．
【考点探究】
例1.【解析】对于，由，可得，故A错误；
对于，由，则，故B正确；
对于，由，则，
所以在处的切线方程为，即为，故C正确；
对于，由，则，故D错误
故选：．
练1-1.【解析】由题意可得，
令得，
即．
故答案为：．
练1-2.【解析】等式
两边同时乘可得，
因此．
由可计算得到常数项，
因此，
故答案选：．
例2. 【解析】，
，
又，
曲线在点处的切线方程为，即．
设切点坐标为，
，
切线方程为．
又切线过点，
．
整理得，解得或．
当时，，此时所求切线方程为；
当时，，此时所求切线方程为．
故经过点的曲线的切线方程为或．
练2-1.【解析】由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故选：．
练2-2.【解析】抛物线的准线方程为，
所以，设切点坐标为，
切线斜率为，解得，
当时，，切线方程为；
当时，，切线方程为．
故答案为或．
例3.【解析】因为，所以，设切点为，则，
，可得，，
令，求导可得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以当处取得最小值，且为，
即，
故选：．
例4.【解析】设切点为，则，
所以切线方程为：，
切线过点，代入得：，
即方程有两个解，
则有或．
故选：．
例5. 【解析】设与曲线相切于点，与曲线相切于点，
则，消去，整理得，解得或
当时，的方程为当时，的方程为．
故答案为：或．
练3-1.【解析】由得，
所以，即在处的切线的斜率为，
因为切线与直线互相垂直，又，
所以，解得．
故答案为．
练3-2.【解析】由题得，
设切线的切点为，所以切线的斜率，
所以切线方程为，，
因为，所以，
化简得，
令，所以，
令，所以，令，所以或，
所以函数在单调递增，在，单调递减，
，，当时，，当时，，
函数的图象如图所示，
过点可以作出曲线的切线，所以所以选项A正确
当时，与图象有两个交点，，取值唯一，所以选项B正确
当时，或，所以选项C不正确
由于时，，所以的值可以取到，所以选项D正确．
故选：.
【素养提升】
例6. 【解答】依次对，，求“新驻点”，
对于，构造，依题意，
显然，函数的零点就是函数的“新驻点”，所以；
对于，构造，
单调递增，且，，
所以，的零点；
由，，且，由，解得，
所以．
综合以上分析，，
故答案为．
练4-1.【解析】， ，
则，
，
解得，
故答案为．
练4-2.【解答】由题意若的图象上存在两对对偶点，
即方程，有两个不同的实数解，
即在上有两个不同的实数解，
设，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
又，
所以，
解得，
故选：．
【易错点归纳】
例7. 【解析】设切点为，
由，得，
在切点处的切线方程为，
把点代入，得，
整理得：，
解得或．
分别把，代入切线方程，
可得曲线过点的切线方程是或．
故选AC．
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