（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题4.2导数与函数的单调性

4.2 导数与函数的单调性
课标要求 考情分析 核心素养
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系； 2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 直观想象
2022(Ⅰ)卷 7 利用单调性比较大小（构造函数）
2022(Ⅱ)卷 22（1） 研究含参函数的单调性
2021(Ⅰ)卷 22（1） 研究不含参函数的单调性
2021(Ⅱ)卷 22（1） 研究含参函数的单调性
1.函数的单调性与导数正负之间的关系
函数在某个区间内可导，则：
(1)若，则在这个区间内单调递增；
(2)若，则在这个区间内单调递减；
(3)若，则在这个区间内是常数函数.
2. 判定函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求出导数的零点；
(3)用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数在定义域内的单调性.
1.在某区间内是函数在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2.对于可导函数，“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件.
3.可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对，都有且在上的任何子区间内都不恒为零．
1．【P89 练3】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法一定正确的是( )
A. 时，的值为常数 B. 时，单调递减
C. 时，取得极小值 D. 时，取得最小值
2．【P89 练1】（多选）函数在下列区间单调递增的是( )
A. B. C. D.
考点一　利用导数研究不含参函数的单调性
【方法储备】
利用导数求函数单调区间的三种方法：
1．当不等式或可解时，确定函数的定义域，解不等式或求出单调区间．
2．当方程可解时，确定函数的定义域，解方程，求出实数根，把函数的实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定在各个区间内的符号，从而确定单调区间．
3．不等式或及方程均不可解时，根据的结构特征，构造新函数，通过研究的单调性来确定的符号，从而确定的单调性．
【典例精讲】
例1. (2022·安徽省蚌埠市期中) 求函数的单调增区间．
例2.(2021·山东省东营市月考) 已知函数．
若，求函数的最小值；
若，讨论函数的单调性．
【名师点睛】
利用导数求函数单调区间，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．
【靶向训练】
练1-1(2022·江苏省南京市月考) 函数的一个单调增区间是( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·湖北省宜昌市月考.多选) 对于函数，下列正确的是( )
A. 是函数的一个极值点
B. 的单调增区间是，
C. 在区间上单调递减
D. 直线与函数的图象有个交点
考点二　利用导数研究含参函数的单调性
【方法储备】
导数研究含参函数的单调性，解不等式时往往需要分类讨论，确定方程根的有无，大小，兼顾根是否在定义域范围内.常见的类型有：
1. 方程根的有无问题：例
⑴，分为两种情况讨论；
⑵，方程不确定是否有根，分为两种情况讨论.
2. 方程根有多个时，比较大小问题：
⑴，讨论与0的大小关系；
⑵，讨论与的大小关系.
【典例精讲】
例3.(2022·山东省临沂市月考) 已知函数．
Ⅰ若是的极大值点，求的值；
Ⅱ讨论的单调性．
【名师点睛】
分类讨论时注意：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
例4. (2022·北京市市辖区模拟) 已知函数．
Ⅰ若，求的最小值；
Ⅱ求函数的单调区间．
【靶向训练】
练2-1(2022·江苏省南京市期末) 已知函数．
若，求函数在处的切线方程；
讨论函数在上的单调性．
练2-2(2022·河南省郑州市模拟) 已知函数．
当时，求函数的极值；
讨论函数的单调性．
考点三　已知函数单调性求参
【方法储备】
根据函数单调性求参数的一般思路：
1.已知函数在上单调：
(1)利用集合间的包含关系处理：在上单调，则区间是相应单调区间的子区间；
(2)转化为恒成立问题处理：对任意的都有()，且在内的任一非空子区间上，不恒为零（应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解）．
2. 已知函数在上存在单调区间：转化为不等式有解问题．
3. 已知函数在上不单调：转化为方程有解问题.
【典例精讲】
例5.(2022·江苏省盐城市月考) 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
已知函数在上单调，一般会选择转化为恒成立问题解决，通过分离参数构造函数求最值，求出参数的取值范围，但要注意转化为，(或)，应注意参数的取值是不恒等于0的参数的范围.
【靶向训练】
练3-1(2022·湖北省荆门市月考) 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
练3-2(2022·四川省泸州市期中) 已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
考点四　构造函数研究单调性
【方法储备】
在一些不等式的证明、比较大小、求解或者证明参数的范围、极值点的分析、计算变量的值等问题中，往往需要构造函数，研究新函数的性质，从而解决问题.
1.抽象函数的构造：（本专题重点）
⑴利用进行抽象函数构造
①对于不等式 , 构造函数;②对于不等式,构造函数;③对于不等式,构造函数;
④对于不等式,构造函数 ;
⑤对于不等式,构造函数.
⑵利用与构造
①对于不等式,构造函数;
②对于不等式,构造函数;
③对于不等式, 构造函数;
④对于不等式,构造函数.
⑶利用 与构造
①对于不等式,构造函数;
②对于不等式,构造函数.
⑷利用与构造
①对于不等式,构造函数;
②对于不等式, 构造函数.
2.具体函数的构造：
⑴作差法：如求证当时,不等式成立构造函数研究函数的单调性求最值；
⑵放缩法：利用基本不等式或者常见结论，如：对任意都成立，对任意都成立，及由得到的等,对不等式中复杂的部分做放缩处理，如设,试证明：当时,.
⑶同构法：将不等式变形为的结构，构造函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①指对跨阶型，②双变量型，③同构放缩或同构换元共存.（专题4.5中补充）
【典例精讲】
例6.(2022·江苏省盐城市月考) 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，
，若，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
例7.(2022·江苏省盐城市期中) 若对任意的，，且当时，都有，则的最小值是 ．
【名师点睛】
构造函数的方法除了，根据导数计算公式和已知的不等式构造外，含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数，判断单调性.
【靶向训练】
练4-1(2022·湖北省黄石市月考) 已知，，，则( )
A. B. C. D.
练4-2(2021·安徽省安庆市月考) 设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
核心素养系列 逻辑推理——利用导数解不等式
利用导数解决不等式问题常见的有解不等式、证明不等式、比较大小等。其实质是利用求导数的方法研究函数的单调性。在解不等式问题上，通常是利用导数直接研究给定函数的单调性，或构造函数研究单调性，结合函数其他性质，解出不等式.
【方法储备】
1.给定函数解析式：可以直接求导，研究单调性；
2.构造函数解不等式：
⑴具体函数的构造：根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式.常见的有：①含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数；②同构法：例如若，能等价变形为，构造函数，利用的单调性(如递增),再转化为.
⑵抽象函数的构造：将题干给出的导数不等式的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用函数的性质解决问题.
【典例精讲】
例8. (2021·山东省青岛市模拟) 函数是定义是在上的可导函数，其导函数满足，则的解集是( )
A. B. C. D.
例9. (2021·河南省郑州市月考) 下列各组，的值满足的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【名师点睛】
构造具体函数解决问题的关键是分析所给代数式的结构,发现结构相同的部分,必要时,应对代数式进行合理地转化和变形(移项、通分、取对数、拆分、常数代换等),以便发现它们的共同点,从而构造函数.有时考查函数奇偶性和单调性的综合应用．
【靶向训练】
练5-1(2022·广东省东莞市期中) 已知函数，则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
练5-2(2021·天津市市辖区月考) 已知是函数的导函数，对于任意，都有，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
易错点1 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
例10. (2022·江苏省南京市期末) 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
易错点2 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
例11. (2022·安徽省合肥市月考) 在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
答案解析
【教材改编】
1．【解析】：时，，单调递增，故A错误；
：时，，单调递增， 时，，单调递减，故B错误；
：时，，单调递减， 时，，单调递增，所以时，取得极小值，故C正确；
：不是函数的最值点，故D错误． 故选C．
2．【解析】因为，令，解得或，所以在和上单调递增．
【考点探究】
例1. 【解析】，
，
令，解得或，
的单调递增区间为．
例2.【解析】当时，，则．
所以当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
故的最小值为．
若，则，定义域为所以．
令，则．
由，得，所以在区间上单调递增．
由，得，所以在区间上单调递减．
所认，即
故,所以在上单调递增．
练1-1.【解析】函数，
则
，
令，可得，
解得，，
所以的单调递增区间为，，结合选项可知符合题意．
故选：．
练1-2.【解析】依题意，，函数的定义域为，则
极大值 极小值
所以，
，是函数的一个极值点，故A正确；
，的单调增区间是，，故B不正确；
，的单调减区间是，在区间上单调递减，故C正确；
，的极大值为，极小值为，
又因为，所以，
所以直线与函数的图象有个交点，故D正确；
故选ACD．
例3.【解析】函数的定义域为，，
Ⅰ是的极大值点，，解得，
当时，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故是的极大值点，；
Ⅱ，．
由方程的，可得：
当，即时，在恒成立，在单调递减，
当时，方程的根，，
当时，，此时函数在单调递增，在单调递减；
当时，，此时函数在单调递减，单调递增，在单调递减．
综上，当时，在单调递减，
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减，单调递增，在单调递减．
例4. 【解析】Ⅰ函数的定义域为．
若，则，，
令，得，
随的变化，，的变化情况如下表所示
单调递减 极小值 单调递增
所以时，的最小值为．
Ⅱ因为，
当时，，
令，得，所以，在区间上单调递增，
令，得，所以，在区间上单调递减．
当时，令，得或，
随的变化，，的变化情况如下表所示
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，令，得或，
随的变化，，的变化情况如下表所示
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
练2-1.【解析】当时，，则，
故切线的斜率．
又．
所以函数在处的切线方程为：．
由，得，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，令，得，
当时，在上单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增．
练2-2.【解析】当时，，定义域为，

令，解得，或．
当变化时，的变化情况如下表：
单调递增 单调递减 单调递增
当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为
函数定义域为，

令得 或．
①若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
②若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
③若，即，则当时，，单调递增，
④若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增
综上：当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，，递减区间是；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
例5.【解析】， ，
在上单调递增，在上恒成立，
在上恒成立，
令，则，
，，在上单调递增，
，．故选B．
练3-1.【解析】，
因为函数在区间内存在单调递增区间，
则在区间上有解，即，
令，易得在上单调递增，故，
故的取值范围为
练3-2.【解析】函数，定义域，
，，
当时，，在上单调递增，不符合题意，
当 时，在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
函数在内不是单调函数，
，，
实数的取值范围是．故选D．
另解：=0，上有解，所以故选D.
例6.【解析】构造函数，，
当时，，，
函数在单调递减．
函数为奇函数，是偶函数，
，
，，，
，故选：．
例7. 【解析】由，且，且，，
得，
再由，，不等式两边同时除以，
得，
整理得，
令，则，
故题干的条件转化为函数在区间上单调递增．
，由得，解得，
故函数的单调递增区间为，
由得，故的最小值为．
故答案为：．
练4-1.【解析】因，，．
设，则，
所以在上是增函数．
因为，所以，所以．
所以，即．
故选C．
练4-2.【解析】，
，
令，
，即函数为偶函数，
在上有，
，
即函数在上单调递增，
又，
即，
，解得，故选B．
【素养提升】
例8.【解答】设，
则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则时，有极大值为，
所以，
当时，，即
当时，，即
综上的解集为．
故选．
例9.【解析】不等式等价于，
设函数：，即，
又因为为增函数，
故只需即可；
设函数，则，
所以在上为增函数，上为减函数，
所以：，即：，得：，所以：，故A不满足
同理可得：，，故B，也不满足
对于，因为，故D满足条件．
故选D．
练5-1.【解析】函数的定义域为，且，所以，为偶函数．
所以，即为．
，
又当时，，所以在上单调递增，
所以，
即，即，
又在定义域上为减函数，
所以．
故选：.
练5-2.【解答】令，则，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即，解得，
即不等式的解集为．故选：．
【易错点归纳】
例10.【解析】，，
由函数在上单调递增可得，恒成立，
即恒成立，
设，则，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，
，即函数在上单调递增等价于，
“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件．
故选A．
例11. 【解析】因为，等价于且，
若时，，等价于，此时函数单调递减，由图像知：；
当时，，等价于，此时函数单调递增，由图像知：；
所以关于的不等式的解集为：．
故选D．
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