（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题4.3导数与函数的极值

4.3 导数与函数的极值
课标要求 考情分析 核心素养
借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小) 值的关系. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 直观想象
2022(Ⅰ)卷 10 判断三次函数极值点个数
2022(Ⅱ)卷 9 判断正弦型函数极值点个数
函数的极值
（1）函数的极小值：
函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）函数的极大值：
函数在点的函数值比它在点附近的其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
1.若函数在定义域范围内存在极大（小）值，其极大（小）值未必唯一，可能有多个极大（小）值，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
2.函数的极值刻画的是函数的局部性质，极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.
1．【P92 练1】设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. 函数有极小值 B. 函数有极大值
C. 函数有极小值 D. 函数有极小值
2．【P104 T9】已知是函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
考点一　根据函数图像判断极值
【方法储备】
函数极值的辨析：
1.利用图象研究函数性质：① 利用的图象，找出的单调区间及极(最)值点；②的图象，位于轴上方的自变量的区间是原函数的单调增区间，位于轴下方的自变量的区间是原函数的单调减区间，导函数的变号零点才是极值点.
2.可导函数在处取得极值 ，且在两侧异号.
【典例精讲】
例1. (2022·湖南省娄底市期中.多选)已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是( )
A.
B. 函数在上递增，在上递减
C. 函数的极值点为
D. 函数的极大值为
【名师点睛】
利用导函数的图象可以形象地描述原函数的单调、极值情况，由导函数的函数符号看原函数的单调性，由导函数的零点看原函数的极值点，但要注意变号零点才是原函数的极值点，导函数图象从上轴方过渡到下方的零点为原函数的极大值点，从轴下方过渡到上方的零点为原函数的极小值点.
【靶向训练】
练1-1(2022·浙江省金华市月考) 设三次函数的导函数为，函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A. 的极大值为，极小值为
B. 的极大值为，极小值为
C. 的极大值为，极小值为
D. 的极大值为，极小值为
练1-2(2022·江苏省泰州市月考) 已知函数，其导函数的图象经过点、，如图所示，则下列命题正确的是( )
A. 当时函数取得极小值
B. 有两个极大值点
C.
D.
考点二　求函数的极值或极值点个数
【方法储备】
函数极值求解的步骤：
①确定函数的定义域；②求导数；
③解方程，求出函数定义域内的所有根；
④检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值.
【典例精讲】
例2.(2022·山东省临沂市月考)已知函数，且在点处的切线与
平行．
1求切线的方程；
2求函数的极值．
例3. (2022·辽宁省大连市月考) 已知函数，．
若，求函数在上的最大值和最小值；
求函数的极值点．
【名师点睛】
求函数极值的过程是模式化的，正确判断导数在各个区间内的符号是确定函数极值点的重要依据，当方程
的实数根大小不能确定时，应对变量进行分类讨论.
【靶向训练】
练2-1(2022·广东省茂名市月考) 已知函数，则其极大值与极小值的和为 ．
练2-2(2022·河北省张家口市期末) 已知函数．
当时，证明：函数在区间上单调递增
若，讨论函数的极值点的个数．
考点三　已知极值(点)求参数的值或取值范围
【方法储备】
已知函数极值（个数），求参数时，注意以下两点：
（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
【典例精讲】
例4.(2022·江苏省南通市模拟) 已知函数在处取极小值，且的极大值为，则( )
A. B. C. D.
例5.(2022·浙江省绍兴市模拟) 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为 ．
【名师点睛】
已知函数极值点个数问题，转化为导函数零点个数问题,如例5中，除了转化为与的图象有2个交点以外，也可以转化为与的图象有2个交点，借助结论的图象在点（1,0）处的切线方程为,可快速得出范围，也可利用零点存在性定理，研究导函数的零点问题.
【靶向训练】
练3-1(2022·山东省东营市月考) 若函数在上无极值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·陕西省西安市期中)函数在区间上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
易错点1 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
例6. (2022·江苏省无锡市月考) 已知定义在上的函数和的导函数、 的图像如图所示，图像在处与的图像相切，则关于函数的判断正确的是( )
A. 在区间上先增后减 B. 为极小值点
C. 在区间上单调递减 D. 有个极大值点，个极小值点
答案解析
【教材改编】
1．【解析】由题中图象知，，
在附近左正右负，即左增右减，为极大值；
在附近左正右负，即左增右减，为极大值；
在附近左负右正，即左减右增，为极小值，故选BD．
2．【解析】因为，所以．
又是的极值点，所以，解得，
当时，，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以是函数的极值点．
当时，函数的定义域为，
而不在定义域内，故不符合条件．故选A．
【考点探究】
例1. 【解析】由题图知可，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
对于，，故A错误；
对于，函数在上递增，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于，函数的极值点为，，故C正确；
对于，函数的极大值为，故D错误．
故选：．
练1-1.【解析】观察图象知，当时，，．
当时，，．
由此知极小值为．
当时，，．
当时，，．
由此知极大值为．故选C．
练1-2.【解析】函数，其导函数，
由函数的图象可知，，，，
，是函数的两个极值点，是极大值，是极小值，所以，不正确；
，
由图象可得对称轴，，两根之积，
所以，可得，所以D正确；
由，，
得
，C错误．
故选D．
例2. 【解析】Ⅰ函数的定义域为，
由，则，
因为在点处的切线与平行，
所以，即，解得，
所以，所以，
所以在点处的切线的方程为，
即；
Ⅱ，
得，，
由得；由得；
所以函数在上单调递减，在上递增；
故，无极大值．
例3.【解析】当时，，，，
当时，解得或，
则当变化时，，的变化情况如下表所示：
极大值 极小值
所以，函数在上的最大值为，最小值为；
当时，，，易知函数存在唯一极大值点，无极小值点；
当时，，，，
由解得或，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，的极大值点，极小值点，
综上：当时，存在唯一极大值点，无极小值点；
当时，的极大值点为，极小值点为．
练2-1.【解析】由题意得，
由，
由或，
在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
所以，极小值．
所以的极大值与极小值的和为．
故答案为：．
练2-2.【解析】证明：当时，，，
当时，设，
，
所以函数在区间上单调递增，故，
故函数在区间上单调递增．
解：当时，单调递增，无极值点，
当时，，令，
令，则，
当时，，且，当时，方程有唯一小于零的零点，
故函数存在一个极值点
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，为函数极小值，
所以当时，方程无解，函数无极值点
当时，方程有一个解，
但当时，，，当时，，，
故函数无极值点．
当时，方程有两解，函数存在一个极大值点和一个极小值点．
综上，当时，函数存在一个极值点，
当时，函数无极值点，
当时，函数存在一个极大值点和一个极小值点．
例4.【解析】因为，
所以
，
因为函数在处取极小值，
所以，即，
整理得，
所以
，
令 得或，
因为函数在处取极小值，且的极大值为，
所以，解得，
又因为，所以，故选B．
例5.【解析】有两个极值点，则有两个根，
则有两个根，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
，，，，
所以有两个极值点，即．
故答案为：．
练3-1.【解析】，
要使在上无极值，则导函数恒大于等于零或恒小于等于零，
故，
，即实数的取值范围为．
故选：．
练3-2.【解析】，，
依题意，在区间上有且仅有一个变号零点，
令，则，令，，
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
，又
结合在上的图象可得，
若在区间上有且仅有一个变号零点，则当时，有两解，故舍去．
故选C．
【易错点归纳】
例6.【解析】由、 的图像得：当时，，即，时，
，时，，
所以当时，函数单调递减，
时，函数单调递增，
时，函数单调递减，
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，
所以ABC错误，D正确．
故选D．
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