（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题4.4导数与函数的最值

4.4 导数与函数的最值
课标要求 考情分析 核心素养
借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小) 值的关系. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 直观想象
2022(Ⅰ)卷 8 22 导数求最值、已知最值求参
2021(Ⅰ)卷 15 利用导数求函数最值
1.函数的最值
(1)函数在上有最值的条件：如果在区间上函数的图象是一条连续的曲线，那么它必有最大值和最小值．
⑵由区间上单调性情况求最值：
①若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.
（3）若函数在上先增后减，极大值为最大值，与中较小值即为最小值；或先减后增，极小值为最小值，与中较大值即为最大值；
（4）若函数在上增减增，极大值与中较大值即为最大值，极小值与中较小值即为最小值；若函数在上减增减，极大值与中较大值即为最大值，极小值与中较小值即为最小值.
1．若函数在开区间内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
2．函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较．
1．【P93 例6】函数在上的最大值是 ，最小值是 ．
2．【P104 T8】若函数在上的最小值是，则实数的值是( )
A. B. C. D.
考点一　利用导数求函数的最值
【方法储备】
利用导数求函数在上的最值的一般步骤：
(1)求函数在内的极值；
(2)求函数在区间端点处的函数值，；
(3)将函数的各极值与，比较，其中较大的一个为最大值，较小的一个为最小值.
(4)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
【典例精讲】
例1. (2022·江西省赣州市模拟) 已知函数
求的图象在点处的切线方程
求在上的最大值与最小值．
例2.(2021·山东省烟台市期中) 已知函数
讨论的单调性
当时，求在区间上的最大值．
【名师点睛】
函数求区间上的最值，要明确函数在该区间上的单调变化情况，若极值点含有参数，或者区间端点含参数，要讨论极值点与区间的位置关系.如例2中，极值点含参数，讨论的思路与“二次函数闭区间上求最值”的思路一致，有些试题还需讨论端点处函数值大小.
【靶向训练】
练1-1(2022·江苏省南京市月考) 函数的最大值为 ．
练1-2(2022·山东省东营市月考) 设，函数．
判断函数的单调性；
求函数在区间上的最大值．
考点二　根据函数的最值求参数的值(范围)
【方法储备】
1.含参数函数的单调性和最值(极值)的探究,解答时常用到分类讨论与数形结合的思想，主要题型有以下几种：
⑴已知函数在定区间的最值(极值)，极值点不确定，讨论极值点和区间的位置关系.
⑵已知函数在动区间上的值域或者最值，极值点确定，讨论极值点与区间的位置关系．
2.不等式恒成立(有解)问题，往往是构造函数，转化成利用导数求最值解决.
【典例精讲】
例3. (2022·湖北省武汉市期末) 已知函数，若的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
例4. (2022·北京市市辖区模拟)满足，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
已知函数的最值求变量的取值范围，其实质仍是求函数的最值，即用变量表示函数的最值，结合条件构建变量的方程即可.恒成立问题，可分离参数构造不含参数的函数求最值，或者构造含参函数，分类讨论求最值.
【靶向训练】
练2-1(2022·江西省吉安市月考) 已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·安徽省蚌埠市月考) 已知函数，．
讨论的单调性
若函数在区间上的最小值为，求的值．
考点三　利用导数解决实际应用问题
【方法储备】
利用导数解决应用问题的思路是：建模、解模、验模，解题步骤为：
1.分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
2.求函数的导数，解方程；
3.比较函数在区间端点和的点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值；
4.回归实际问题作答.
【典例精讲】
例5.(2022·江西省南昌市月考) 如图，某款酒杯容器部分的形状为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
解决实际问题应注意：
1.由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义；
2.用导数求解实际问题中的最大（小）值，如果函数在区间内只有一个极值点，根据实际意义，该极值点就是最值点.
【靶向训练】
练3-1(2022·广东省佛山市月考) 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·江苏省南京市月考.多选) 如图，在四面体中，点,分别在棱上，且平面平面，为内一点，记三棱锥的体积为，设，对于函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，函数取到最大值
B. 函数在上是减函数
C. 函数的图象关于直线对称
D. 不存在，使得其中为四面体的体积．
核心素养系列 逻辑推理——利用导数解决函数中的极值与最值综合问题
高考对导数的考查，是应用导数来解决函数问题,以导数为工具探究函数的性质,围绕函数的单调性、极值、最值展开,借此研究不等式恒成立或证明不等式等问题,着重考查分类讨论、数形结合、化归与转化等数学思想方法.
【方法储备】
利用导数解决函数中的极值与最值问题，常见的解题方向有：
1.利用导数求函数的极值与最值
⑴在函数定义域的基础上，求出函数的单调区间，若函数带有参数，需要分类讨论；
⑵对照单调区间的分界点，明确极值点，进而求出极值；
⑶根据函数在给定区间上的单调性，若极值点含参数或区间端点含参数，讨论极值点与区间的位置关系判断单调性，再比较极值与端点处函数值，也可结合函数图象，求出函数最值.
2.已知函数极值点与最值求其它量的取值范围
⑴已知函数极值点或极值点个数，转化为导函数的零点，借助零点问题的解题思路求值或取值范围；
⑵已知函数最值，与求函数最值的解题思路一致，通过给定区间上单调性的判断，明确函数取最值的点，表示出最值.
3.与其他知识点综合考查
在其它知识点下，如立体几何、解三角形问题中涉及求最值问题，构建函数关系，利用导数求出最值，要注意自变量的取值范围.
【典例精讲】
例6. (2022·河南省平顶山市月考) 已知函数．
当时，求的最值；
当时，记函数的两个极值点为，，且，求的最大值．
例7. (2022·江西省南昌市期中) 己知函数．
若，求在处的切线方程；
当时，有最小值，求的值．
例8. (2021·山西省忻州市月考) 一个等腰三角形的周长为，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
1.处理解答题时，要求步骤规范，含参数时，讨论参数的范围，要分界明确，不重不漏．
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，研究其单调性，求出极值，也可画出函数的大致图象，借助图象观察得到函数的最值．
【靶向训练】
练5-1(2021·江苏省南京市月考) 已知函数．
当时，求过坐标原点且与函数的图像相切的直线方程；
当时，求函数在上的最大值．
练5-2(2021·江苏省南通市月考) 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得点落在边上点处，得到折痕，已知，，则当 时，折痕最短，其长度的最小值为 ．
易错点1 混淆极值与最值的概念致错
例9. (2021·江苏省盐城市月考) 函数在区间上的最大值与最小值之和是 ．
答案解析
【教材改编】
1．【解析】因为，
由得，，由得，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
又，，
所以在上的最小值为，最大值为，
故答案为：；．
2．【解析】令，解得，或
当时，，时，，
又，，显然，所以，所以，
故选B．
【考点探究】
例1. 【解析】因为，，以，
所以，，
所以的图象在点处的切线方程为，即．
由知，．
令，则令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又，，，
所以．
所以在上的最大值与最小值分别为与．
例2. 【解析】定义域为，，
时，，
在上单调递增
时，令，得，
列表如下：
递增 极大值 递减
在上单调递增，在上单调递减，
综上，时在上单调递增
时在上单调递增，在上单调递减．
当时，由知
当，即时，在上单调递减，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，在上单调递增，，
综上，．
练1-1.【解析】由题知当时，，
在为减函数，
；
当时，，
，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
，
综上可知，．
故答案为：．
练1-2.【解析】函数的定义域是，
又，
因为，由，得；
由，得，
故函数的增区间是，减区间是．
当时，函数在区间单调递增，
所以；
当时，在单调递增，在单调递减，
所以；
当时，在区间上单调递减，
所以，
所以．
例3. 【解析】的定义域为，
，
当时，恒成立，在上单调递减，无最值；
当时，时，，时，，
的单调递增区间为，单调递减区间为，
此时，．
故选：．
例4. 【解析】令，则．
当时，，函数在上单调递增，
故，满足题意；
当时，由，得，
当时，，函数在上单调递减，
故，不符合题意．
综上所述：，
即实数的取值范围为．
故选：．
练2-1.【解析】函数值域为，
当时，，即在上恒成立．
令，则，
故在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
故当时，取得最大值为，
，故选：．
练2-2.【解析】，
令，则，
①当时，,
在上单调增，在上单调减，在上单调增，
②当即时，，
在上单调增，
③当时，,
在上单调增，在上单调减，在上单调增，
综上所述：当时，在上单调增，在上单调减，在上单调增，
当时，在上单调增，
当时，在上单调增，在上单调减，在上单调增；
，当，即时，，
在上单调递增，此时，；
当，即时，，
在上单调递减，此时，无解；
当，即时，在上单调减，在上单调增，
，
令，，
在上恒成立，单调递减，
，即无解，
综上所述：．
例5.【解析】设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块的底面圆半径为，高为，由题意可得，
，解得，
，
设圆柱形冰块的体积为，则，
设，则，
当时，，单调递增当时，，单调递减
所以，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为．
练3-1.【解析】设圆锥的高为，则底面半径为，
其体积为，
，
令，解得，舍去．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取最大值．
故选A．
练3-2.【解析】在四面体中，点，分别在棱，，上，且平面平面，
由题意可知∽，
，
棱锥与棱锥 的高之比为，设，
，
，
当时，，当时，
当时，函数取到最大值，故A正确；
B.由选项知，函数在上是减函数，故B正确；
C.函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.函数的最大值为：，
不存在，使得，故D正确．
故选ABD．
【素养提升】
例6.【解答】当时，函数的定义域为，，
令，得负值已舍去，
当时，
当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为，无最大值；
当时，，．
因为，是方程的两个不等正根，，，
所以，，
因此
．
令，则，
因为，
所以
令，，
则，在上恒成立，
所以在上单调递减，
故．
即的最大值为．
例7. 【解析】时，，
可得，，，
所以切线斜率为，且过点，切线方程为；
．
即，
若，则，在单调递增，无最小值，不符合题意．
若，时，，时，
，函数在有最小值．
所以，即符合题意．
，函数在单调递减，在单调递增，
所以．
即不合题意．
综上所述，．
例8. 【解析】四棱锥如图，设底面正方形边长的一半为，
则有，
．
设，
则，
由，可得舍或或舍．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
故当时，．
故选：．
练5-1.【解析】设切点坐标为，当时，，则
所以切线方程为，
又过原点，所以，
，解得或，
所以当时，切线方程为当时，切线方程为．
因，所以，
令，得，，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，，
所以，所以．
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，所以．
，，
所以．
综上可得：．
练5-2.【解答】设，，则，，
所以，
在中，，
因为，
所以，
所以，
设，令，
则，
由得，
由得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得最大值为，所以的最小值为，
此时，所以．
故答案为；．
【易错点归纳】
例9.【解析】由，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
又，，，，
，
，
则函数在上的最大值与最小值之和为．
故答案为.
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