（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题5.1弧度制及任意角的三角函数

5.1 弧度制及任意角的三角函数
课标要求 考情分析 核心素养
1.了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化; 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; 3.会判断三角函数值的符号. 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学建模 数学运算 逻辑推理
1.角概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.
(2)分类.
(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合.
(4)象限角的集合表示
象限角 集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角的弧度数公式：(弧长用表示)
(3)角度制和弧度制的互化：,,.
(4)扇形的弧长公式：,扇形的面积公式：.
3.任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则;
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正 二正弦 三正切 四余弦.
1.如果,则.
2.(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.
(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等.
3.弧度制和角度制可利用进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
1.【P176 T7.多选】若角是第二象限角，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.【P180 T3】已知角的终边经过点，则的值等于 ．
考点一　任意角与弧度制
【方法储备】
1.象限角的两种判断方法
2.确定，()的终边位置的方法
【特别提醒】应用弧度制解决问题，角的单位必须是弧度.
角度1 象限角及终边相同的角
【典例精讲】
例1.(2022·浙江省模拟)设，，则（ ）
A. B. C. D.
【名师点睛】
讨论为偶数和为奇数时，结合,的表示，从而确定与的关系．
【靶向训练】
练1-1(2022·广西壮族自治区模拟.多选)下列说法中正确的是（ ）
A. 终边在轴上的角的集合是
B. 终边在轴上的角的集合是
C. 终边在坐标轴上的角的集合是
D. 终边在直线上的角的集合是
练1-2(2022·广西省桂林市一模)已知角，则与的终边相同的最小正角是 ．
角度2 弧度制
【典例精讲】
例2.(2022·福建省期末.多选)给出下列命题中正确的是（ ）
A. 角是第三象限角 B. 角是第四象限角
C. 化成弧度是 D. 化成度是
【名师点睛】
本题主要考查象限角的定义，以及角度制、弧度制的转化，根据象限角的定义可直接判定，根据角度制与弧度制的概念可判断．
【靶向训练】
练1-3(2022·湖南省模拟)如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮假设“天津之眼”旋转一周需分钟，且是匀速转动的，则经过分钟，点转过的角的弧度是( )
A.
B.
C.
D.
练1-4(2022·湖北省百校联考)如图所示的复古时钟显示的时刻为：，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为( )
A.
B.
C.
D.
考点二　扇形的弧长及面积公式
【方法储备】
应用弧度制解决问题的策略:
【典例精讲】
例3.(2022·湖北省联考)《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
【名师点睛】
数学源于生活，本题以体育竞技活动为载体，通过构建扇形模型，借助弧长公式及圆心角定理求解。考查了阅读理解能力、逻辑思维能力、数学建模等能力，考查了理性思维、数学应用、数学探索学科素养。
【靶向训练】
练2-1(2022·江西省赣州市联考) “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图，已知为的中点，，，则此扇面扇环部分的面积是 ．
练2-2(2022·湖南省张家界市期末)已知扇形的周长为，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于( )
A. B. C. D.
考点三　三角函数的定义
【方法储备】
1.三角函数定义的应用：
2.判断三角函数值的符号：
【特别提醒】判断三角函数值的符号时注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
角度1三角函数定义的应用
【典例精讲】
例4.(2022·河南省期末)已知函数，且的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
利用指数函数的图象经过定点问题得出点坐标，结合任意角的三角函数定义求解.
【靶向训练】
练3-1(2022·湖北省期末)已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·浙江省宁波市期末)已知角的终边上一点，则( )
A. B. C. D.
角度2 判断三角函数值的符号
【典例精讲】
例5.(2022·浙江省期末)已知点在第三象限，则角的终边在第 象限．
【名师点睛】
判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
【靶向训练】
练3-3(2022·安徽省宿州市期中)下面各式的符号为正的是( )
A. B. C. D.
练3-4(2022·山东省模拟)已知角的终边过点，则是第象限角( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
易错点1．忽略象限角的范围致错
例6.(2022·山东省滨州市模拟.多选)下列说法正确的有( )
A. 经过分钟，钟表的分针转过弧度
B.
C. 若，则为第二象限角
D. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角
易错点2．忽略弧度制的形式致错
例7.(2021·江西省模拟)若是第四象限角，则是第_____象限角( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
答案解析
【教材改编】
1.【解析】是第二象限角，，，，．
当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．故选AC．
2.【解析】角的终边经过点，，，则，
故答案为：．
【考点探究】
例1.【解析】，
当为偶数，即，时，，，
当为奇数，即，时，，，
又，．
故选A．
练1-1.【解析】对于，终边在轴上的角的集合是，故A正确
对于,终边在轴上的角的集合是，故B正确
对于,终边在坐标轴上的角的集合是,,,,故C正确
对于,终边在直线上的角的集合是,故D不正确．
故选ABC．
练1-2.【解析】与终边相同的角的集合为，
令,.解得,,故时，满足条件，
故答案为：．
例2.【解析】对于，角是第三象限角；对于，角是第一象限角；
对于，．对于，．
故选AD．
练1-3.【解析】由题意可知，点转过的角的弧度是．
练1-4.【解析】因为““至“”所夹的钝角为，时针偏离“”的度数为，
所以时针与分针的夹角应为．
故选：．
例3.【解析】如图所示，
弓所在的弧长，则其对应的圆心角，
则两手之间的距离米，
故选：．
练2-1.【解析】因为为的中点，，，
则扇面的面积为．故答案为．
练2-2.【解析】设扇形的半径和弧长分别为和，
由题意可得，扇形的面积．
当且仅当，即，时取等号，此时圆心角为，
当半径为圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为．故选D．
例4.【解析】对于函数，且，令，求得，，
可得它的的图象恒过点，若角的终边经过点，则，
故选A．
练3-1.【解析】，由三角函数的定义知，，
所以．
练3-2.【解析】角的终边上一点，，．
故答案选：．
例5.【解析】在第三象限，
当，角的终边在二、四象限，当，角的终边在二、三象限，
为第二象限角，即的终边在第二象限．
故答案为：二．
练3-3.【解析】因为是第二象限角，所以
因为，所以
因为是第二象限角，所以，因为为第二象限角，所以．
故选C．
练3-4.【解析】角的终边过点，
，，故和终边相同．
由于为锐角，，，故为第一象限角，
故选：．
【易错点归纳】
例6.【解析】对于，经过分钟，钟表的分针转过弧度，所以错；
对于，，故B错；
对于，由，，可知为第二象限角，所以对；
对于，若为第二象限角，则，，
所以，，
当为偶数时，为第一象限角；当为奇数时，为第三象限角，故D对；
故选CD．
例7.【解析】是第四象限的角，
，，
，，
，
故是第三象限角，
故选C．
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