（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题5.2同角三角函数关系式与诱导公式

5.2 同角三角函数关系式与诱导公式
课标要求 考情分析 核心素养
1.能利用三角函数的定义推导出 ，的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2.理解同角三角函数的基本关系式： 新高考3年考题 题 号 考 点 数学抽象 数学运算 直观想象
2021(Ⅰ)卷 6 同角三角函数的基本关系，二倍角公式
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：；
(2)商数关系：.
(3)和、差、积的互化：
2.诱导公式
诱导公式可概括为：的各三角函数值的化简公式．
记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
公 式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角
正 弦
余 弦
正 切
1.常见的互余和互补的2组角
互余的角 与;与;与;与等
互补的角 与;与;与;与等
2.三角形中的三角函数关系式
;
3.同角三角函数关系式的常用变形
(1);;
(2);.
1.【P186 T15】已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
2.【P194 T3】已知角终边上一点，则的值为 ．
考点一　同角三角函数的基本关系式
【方法储备】
1.同角三角函数关系式的常规应用方法
2.关于,的齐次式问题求解策略:
【特别提醒】在使用开平方关系,时,结合象限进行取舍.
角度1 公式的直接运用
【典例精讲】
例1.(2022·北京市期末)已知角的终边在第三象限，且，则（ ）
A. B. C. D.
【名师点睛】
已知三角函数值求另外两个值利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号.
【靶向训练】
练1-1(2022·云南省模拟)已知，，则 ．
练1-2(2022·全国高考押题卷)已知，，则（ ）
A. B. C. D.
角度2 关于,的齐次式问题
【典例精讲】
例2.(2022·山东省模拟)已知 ，则 ．
【名师点睛】
对于齐次式的化简求值问题,将原式分子换成,分子、分母同时除以,转化为关于进行求解．
【靶向训练】
练1-3(2022·四川省模拟)已知，则（ ）
A. B. C. D.
练1-4(2022·辽宁省期中)已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
角度3 “”之间的关系
【典例精讲】
例3.(2022·山东省期末)已知，且，则的值为 ．
【名师点睛】
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本公式可得，结合范围，利用同角三角函数基本关系式求解．
【靶向训练】
练1-5(2022·湖北省期末)设（ ）
A. B. C. D.
练1-6(2022·山东省模拟.多选)已知,则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
考点二　利用诱导公式化解求值
【方法储备】
1.利用诱导公式化简求值的步骤
(1)负化正；(2)大化小；(3)小化锐；(4)锐求值.
2.利用诱导公式化简三角函数的基本思路
出现的结构，选择恰当公式；化成单角三角函数；整理得最简形式.
3.“奇变偶不变，符号看象限”
“奇变偶不变”是指“当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变”，
“符号看象限”是指在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号.
4.诱导公式的两个应用
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.
【典例精讲】
例4.(2022·安徽省期末)已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【名师点睛】
对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.
【靶向训练】
练2-1(2022·广东省台州市模拟)已知，则的值为 ．
练2-2(2022·安徽省模拟)已知，则（ ）
A. B. C. D.
考点三　同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用
【方法储备】
1.三角函数式化简的方法和技巧
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题.
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦.
【特别提醒】注意角的范围对三角函数符号的影响．
【典例精讲】
例5.(2022.河北省模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【名师点睛】
首先由三角函数的定义,求出,然后利用诱导公式化简,结合一次奇次式的化简规律求解．
【靶向训练】
练3-1(2022·浙江省模拟)已知，则（ ）
A. B. C. D.
练3-2(2022·安徽省模拟)已知角的终边经过点，且为第一象限角．
求的值；
若，求的值．


易错点1．对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致错
例6.(2022·天津市模拟)化简求值： ．
易错点2．忽略对的讨论致错
例7.(2022·山东省滨州市模拟.多选)已知角满足，则表达式的取值可能为 ( )
A. B. 或 C. D. 或或
易错点3．忽略角的范围致错
例8.(2022·湖北省武汉市模拟)若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】角的终边过点，，则．
故答案选：．
2.【解析】角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边上一点，所以，
，
故答案为．
【考点探究】
例1.【解析】因为角的终边在第三象限，且，
所以，可得，
所以．
故选：．
练1-1.【解析】，，．
故答案为
练1-2.【解析】因为，所以，
因为，所以，整理得，解得或，
又因为，所以，故，
所以，所以．
故选B．
例2.【解析】，
则．
故答案为．
练1-3.【解析】．
故选A．
练1-4.【解析】，
，
故选：．
例3.【解析】因为，
所以两边平方，可得，可得，
又因为，所以，，
所以，
解得，，则．
故答案为：．
练1-5.【解析】因为，，
则，．
故选B．
练1-6.【解析】因为，所以，
又,所以,所以可得故正确；
，
可得，则可得，所以，故正确；
由，，
联立解得，，,故错误，正确；
故选．
例4.【解析】．
故选：．
练2-1.【解析】 ，
,．
故答案为．
练2-2.【解析】，
，
．
故选B．
例5.【解析】依题意，的终边在上，，
．
故选B．
练3-1.【解析】由，得，即，解得．
故选D．
练3-2. 【解析】由三角函数定义可知，解得，
为第一象限角，则；
由知，
．
【易错点归纳】
例6.【解析】，．
故答案为．
例7.【解析】为偶数时，原式; 为奇数时,原式
故选AC．
例8.【解析】因为，，
所以，解得．
故答案选：．
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