（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题5.3三角恒等变换

5.3 三角恒等变换
课标要求 考情分析 核心素养
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 新高考3年考题 题 号 考 点 数学抽象 数学运算 直观想象
2022(Ⅱ)卷 6 三角恒等变换的综合应用
2021(Ⅰ)卷 6、10 二倍角公式，向量数量积的坐标运算，和差角公式，同角三角函数的基本关系
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)(同名相乘，加减相反)
(异名相乘，加减一致)
(两式相除，上同下异)
(2)公式的逆用及变形
①；
②在中,(角均不为直角)，
，即.
2.二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式：
;
;
3.辅助角公式
函数(为常数)，可以转化为
其中，可由的值唯一确定．如：
1.半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin＝±.(2)cos＝±.(3)tan＝＝.
2.升幂公式：;;;
3.降幂公式：;
4.万能置换公式：;
1.【P223 T5.多选】下列四个等式其中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.【P227 T10】已知是半径为，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的接矩形，则的最大值为 ．
考点一　和差角公式的应用
【方法储备】
1.公式的正用、逆用及变形用：
（1）正用：记住公式的结构特征和符号变化规律，正确使用公式；
（2）逆用及变形用：公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
（3）注意特殊角的应用，当式子中出现等这些数值时，考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式；
（4）三角恒等变换常与同角三角函数的基本关系，诱导公式等综合应用.
2.角（函数名的）的变换：
（1）变角技巧
（2）常见的配角技巧
①
②
③
④
⑤
角度1公式的直接应用
【典例精讲】
例1.(2022·山东省期中)已知，，则 ．
【名师点睛】
本题考查两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查．
【靶向训练】
练1-1(2022·四川省成都市期中)求值： ．
练1-2(2022·天津市模拟)计算( )
A. B. C. D.
角度2 拆角、配角问题
【典例精讲】
例2.(2022·浙江省模拟)若，且，，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属于中档题．
由同角三角函数的基本关系可得和，由结合两角和的正弦公式即可求得．
【靶向训练】
练1-3(2022·浙江省丽水市期末)已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
练1-4(2022·云南省期末)已知，，则的值为
考点二　二倍角公式
【方法储备】
1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中的特殊情况；
2.二倍角是相对的,是的2倍,是的2倍是的2倍.
【典例精讲】
例3.(2022·安徽省强基)下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
本题考查三角函数的恒等变形即化简的应用，属于基础题．
分别将所给命题按二倍角公式，两角和的正弦公式，两角差的正切公式逆用可判断出所给命题的真假．
【靶向训练】
练2-1(2022·湖南省长沙市期末)已知，，则 ．
练2-2(2019·全国理科卷新课标卷Ⅱ)已知，，则( )
A. B. C. D.
考点三　三角函数给值求值问题
【方法储备】
1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角(非特殊角)求值的基本思路：
3.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
角度1 给值求值
【典例精讲】
例4.(2022·湖北省孝感市省期末)已知，，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查三角式的化简求值，注意角的范围，属于基础题．
【靶向训练】
练3-1(2021·江苏省模拟)若，则( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·山东省临沂市模拟)已知，且，则的值为___________．
角度2 给角求值
【典例精讲】
例5.(2022·江苏省期末)( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查两角和与差的正切公式，属于基础题．
【靶向训练】
练3-3(2021·山东省东营市期末) ．
练3-4(2021·江西省萍乡市期末)求值： ．
角度3 给值求角
【典例精讲】
例6.(2022·江苏省期末)已知锐角，满足，则的值为 ．
【名师点睛】
本题考查两角和的正切公式，确定的范围是解答本题的关键，属于基础题．
由已知化简可得，代入两角和的正切公式，可以求出的正切值，根据、为锐角，易得的值．
【靶向训练】
练3-5(2022·湖北省武汉市模拟)已知，，且，为锐角，则 ．
练3-6(2022·江苏省无锡市模拟)已知，，且、求：
Ⅰ的值；
Ⅱ的值．

考点四　三角恒等变换的综合应用
【方法储备】
1.三角恒等变换主要有以下四变:
2.三角函数式化简的方法
（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
（2）常值代换，三角公式的正用、逆用、变形用.
（3）在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次．
（4）三角函数式的化简过程中通常会用到辅助角公式.
3.化简要求
使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；式子中的分母尽量不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.
角度1 辅助角公式的应用
【典例精讲】
例7.(2022·山西省模拟)设，，，则有( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式和半角公式的应用，三角函数的性质 综合性较强，为比较大小，往往须先化简三角函数式，利用函数单调性或引入“媒介”．
【靶向训练】
练4-1(2022·广东省揭阳市期中)已知，则的值是( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·湖北省荆州市模拟)已知角是锐角，若，是关于的方程的两个实数根，则实数和的关系式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
角度2 三角函数式的化简
【典例精讲】
例8.(2022·新高考Ⅱ卷)若，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查三角恒等变换的应用.
法一：利用特殊值法，排除错误选项即可；法二，利用三角恒等变换，求出正确选项.
【靶向训练】
练4-3(2022·湖南省长沙市期末)化简： ．
练4-4(2021·全国甲卷文科)若，，则( )
A. B. C. D.

易错点1．忽略隐含条件致错
例9.(2022·浙江省温州市模拟) 在中，，则的最大值是 ．
易错点2．凑角、拆角选择错误致错
例10.(2022·湖南省长沙市模拟.多选)下列选项化简值为的有( )
A. B.
C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】对：，
故，故A正确；
对：，故B错误；
对：，故C错误；
对：，故D正确．
故选：．
2.【解析】在中，设，，
则，，
在中，，
，，
则
，其中，，．
当且仅当时，取得最大值．
故答案为：．
【考点探究】
例1.【解析】，两边平方可得：，，
，两边平方可得：，，
由得：，
即，．．
故答案为：．
练1-1.【解析】，
，
．
故答案为：．
练1-2.【解析】．
故选：．
例2.【解析】，，且，
，，，，
，，
．
故选B．
练1-3.【解析】因为，所以，
所以，
所以．
故选：．
练1-4.【解析】因为，，
所以．
故答案为．
例3.【解析】中，，故A正确；
中，，故B正确；
中，，所以不正确；
中，，所以D正确．
故选：．
练2-1.【解析】，，，
．则．
故答案为：．
练2-2.【解析】解法一：，，
，且，．
又，．负值舍去．
解法二：，
又，，．
如图，构造直角三角形，易知．
故选：．
例4.【解析】由，两边平方得：，即，
又，，且，故，即，
故，
故选：D.
练3-1.【解析】法：，
，
法： ， ，．
故选：．
练3-2.【解析】由，可得
又，因此有，所以．
故答案为：．
例5.【解析】．
故选C．
练3-3.【解析】
．
练3-4.【解析】
例6.【解析】，
可得：，，
，为锐角，可得：，．
故答案为．
练3-5.【解析】，，且，均为锐角，
，，
则．再根据，求得，
故答案为．
练3-6.【解析】Ⅰ解：，，，，
，，
．
Ⅱ由Ⅰ得，，
又，．
例7.【解析】 ，
，
，
所以
故选B．
练4-1.【解析】，
，则．
故选B．
练4-2.【解析】因为两根，不一定相等，所以判别式不一定为零，A错误；
由韦达定理及锐角可得，，所以，C错误；
因为，， B正确；
是锐角，所以
所以，D正确．
故选BD．
例8.【解析】解法一：设则，取，排除，
再取则，取，排除选C．
解法二：由
，
故
故，即，
故，
故，故．
练4-3.【解析】
．
故答案为．
练4-4.【解析】由，得，
即，，，
则，解得，则，．
故选：．
【易错点归纳】
例9.【解析】，，，
，，，可得为锐角，为钝角．
，当且仅当时取等号，．
故答案为．
例10.【解析】对于．
；
对于．；
对于．
；
对于．．
故选ABD．
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