（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题5.4三角函数的图象和性质

5.4 三角函数的图象和性质
课标要求 考情分析 核心素养
1.能画出的图像,了解三角函数的单调性等性质; 2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性; 3.了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数，，对函数图像变化的影响; 4.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 直观想象 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 6 正弦函数的周期性和对称性
2022(Ⅱ)卷 9 三角函数的单调性、对称轴与对称中心，函数的极值与切线方程
2021(Ⅰ)卷 4 正弦函数的单调区间
2020(Ⅰ)卷 10 由部分图象求三角函数解析式
2020(Ⅱ)卷 11、16 由部分图象求三角函数解析式，弧长及扇形面积
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）“五点法”作图原理：
在正弦函数的图象上，五个关键点是：．
在余弦函数的图象上，五个关键点是：.
（2）五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
三角函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称轴方程: 对称中心: 对称轴方程: 对称中心: 对称中心:
单调性 单调递增区间： 单调递减区间： 单调递增区间： 单调递减区间： 单调递增区间
最值 当时, 当时, 当时, 当时, 无最值
3.函数的图象与性质
（1）的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
（2）用五点法画一个周期内的简图，要找五个关键点，如下表所示：
（3）函数的图象经变换得到的图象的两种途径
（4）函数的图象与性质的综合应用
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数： 偶函数：
对称性 对称轴方程：令，得 对称中心：令，得
单调性 1.设则，利用复合函数的单调性性质“同增异减”，由内函数的单调性，判断外函数的单调性； 2.得出外函数的单调区间，即的取值范围，解不等式，得出函数 的单调区间
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
(3)有关周期的结论
①函数的周期均为；
②函数的周期为.
2.奇偶性
若，则：
①为奇函数的充要条件是;②为偶函数的充要条件是.
若，则：
①为奇函数的充要条件是;②为偶函数的充要条件是.
3.单调性
(1)对于不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间上为增函数.
(2)要注意求的单调性时和的符号,尽量化成时情况,避免出现增减区间的混淆.
4.函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
5.求解函数的性质问题的四种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式．
(2)整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“”，采用整体代入求解．
(3)讨论意识：当为参数时，求最值应分情况讨论，.
(4)数形结合意识：函数的图像反映了函数性质，函数的性质决定函数图像，解决三角函数性质有关问题时，可借助图像使解题思路更直观更形象．
1.【P239 T2.多选】已知曲线：，：，则下面结论正确的是( )
A. 把上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线
D. 把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线
2.【P241 T7】一个半径为米的水轮如图所示，其圆心距离水面米，已知水轮按逆时针匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计算时间．
以过点且与水面垂直的直线为轴，过点且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数；
在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？
考点一　三角函数的定义域和值域
【方法储备】
1.三角函数与基本初等函数复合，求其定义域，一般有以下几种情形：
(1)分式中的分母不为零；
(2)偶次方根下的数(或式)大于等于零；
(3)指数式的底数大于零且不等于1；
(4)对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零；
(5)由几部分数学式子组成的，那么函数的定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.
2.求解三角函数的值域(最值)常见四种类型：
【典例精讲】
例1.(2022·河北省模拟)已知函数在区间上的值域为,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
作出函数的图象，的最大值为内使函数值为的的值，即可求实数的取值范围．
【靶向训练】
练1-1(2022·河南省驻马店市期中)函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
练1-2(2022·江西省模拟)函数的值域为 ．
考点二　三角函数的性质
【方法储备】
1.已知三角函数的解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”;
(2)求形如或其中的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解，如果,那么一定要先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错.
2.已知三角函数的单调性求参数
3.三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路
角度1 三角函数的单调性
【典例精讲】
例2.(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，属于函数单调递增区间的是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．
【靶向训练】
练2-1(2022·北京市期中)函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
练2-2(2022·江苏省苏南三校联考)已知函数，把函数的图象向右平移得到函数的图象，函数在区间上单调递减，在上单调递增，则( )
A. B. C. D.
角度2 三角函数的奇偶性
【典例精讲】
例3.(2022·广西壮族自治区期中.多选)已知函数，则( )
A. 存在的值，使得是奇函数 B. 存在的值，使得是偶函数
C. 不存在的值，使得是奇函数 D. 不存在的值，使得是偶函数
【名师点睛】
利用诱导公式、三角函数的奇偶性，得出结论．
【靶向训练】
练2-3(2022·江苏省盐城四校联考)已知函数是偶函数，则函数的值为 ．
练2-4(2022·广东省模拟)若函数为偶函数，则常数的一个取值为 ．
角度3 三角函数的周期性与对称性
【典例精讲】
例4.(2022·新高考Ⅰ卷)记函数的最小正周期为若，且的图像关于点中心对称，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期与的关系，从而建立不等关系.
【靶向训练】
练2-5(2022·海南省期中.多选)函数在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. 函数的解析式为
B. 函数的一条对称轴方程是
C. 函数的对称中心是
D. 函数是偶函数
练2-6(2022·福建省联考.多选)已知函数，则( )
A. 的最大值为 B. 的图象关于点对称
C. 图象的对称轴方程为 D. 在上有个零点
考点三　三角函数的图象变换
【方法储备】
由函数的图像通过变换得到的图像有两种途径
（1）两种方法：先平移再伸缩，先伸缩再平移；
（2）两种方法的区别：若先平移，则平移个单位；若先伸缩，则平移个单位.
【典例精讲】
例5.(2022·福建省联考)若将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，最后得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
利用函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象的解析式为，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，即用换，从而求解．
【靶向训练】
练3-1(2021·广东省模拟.多选)将函数的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的,得到函数的图象,若的图象关于直线对称,则的取值可能为( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·辽宁省二轮联考.多选)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为减函数，则的值可能为( )
A. B. C. D.
考点四　由部分图象求三角函数解析式
【方法储备】
确定的步骤和方法
(1)求,：确定函数的最大值和最小值，则．
(2)求：确定函数的周期，则可得．
(3)求：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时，，已知）或代入图象与直线y＝b的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”（即图象上升时与轴的交点）时；“第二点”（即图象的“峰点”）时 “第三点”（即图象下降时与轴的交点）时；“第四点”（即图象的“谷点”）时 “第五点”时．
【典例精讲】
例6.(2022·山东省济南市期末)已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
通过已知函数图象分析可得三角函数的周期、特殊点、振幅等信息，
结合即可求出答案．
【靶向训练】
练4-1(2022·湖北省模拟)函数的部分图象如图所示，则函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
练4-2(2022·广东省佛山市期末) 已知函数在一个周期内的图象如图所示，图中，，则___．
考点五　三角函数的零点问题
【方法储备】
三角函数的零点问题和转化为两个函数图像的交点问题求解.
【典例精讲】
例7.(2022·全国理科乙卷)记函数的最小正周期为若，为的零点，则的最小值为 ．
【名师点睛】
结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可．
【靶向训练】
练5-1(2022·湖南省湘潭市三模)若函数在上恰有个零点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
练5-2(2022·浙江省金华市模拟.多选)关于函数，下列选项正确的是( )
A. 是偶函数 B. 在区间单调递增 C. 在有个零点 D. 的最大值为
核心素养系列 数学建模——三角函数模型的应用
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法储备】
构建三角函数模型求解实际问题时，一般需要根据实际问题得到解析式，求得的解析式一般为的形式，然后利用三角函数的有关性质和题中条件进行求解.
【典例精讲】
例8.(2022·湖北省宜昌市模拟.多选)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度米，转盘直径为米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处以下关于摩天轮的说法中，正确的为( )
A. 摩天轮离地面趣近的距离为米
B. 若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C. 若在时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为
D. ，使得游客在该时刻距离地面的高度均为米
【名师点睛】
中，摩天轮离地面最近的距离为米；中，高度关于时间的函数解析式是；中，在，时恒成立；中，根据余弦函数的对称性知，，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为米．
【靶向训练】
练6-1(2022·江西省赣州市期末)铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为，如图，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是( )
A. B.
C. D.
练6-2(2022·浙江省温州市模拟) 如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．
游客进入摩天轮的舱位，开始转动后，他距离地面的高度为，求关于的函数解析式；
已知在距离地面超过的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？

易错点1．忽略定义域致错
例9.(2022·湖北省武汉市模拟)函数的单调递增区间为 ．
易错点2．平移、伸缩变换错误
例10.(2022·浙江省模拟)设，函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是 ．
易错点3．忽视的系数为负数致错
例11.(2022·重庆市期末)函数的图象为，则下列结论中正确的是( )
A. 图象关于直线对称
B. 在区间上递减
C. 图象关于点对称
D. 由的图象向左平移得到
答案解析
【教材改编】
1.【解析】把上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象；
再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线：的图象．
把向左平移个单位长度，可得的图象；
再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线：的图象．
故选：．
2.【解析】如图，设水轮与轴正半轴交点为，轴与水面交点为．
根据题意，设，，，，，
因为函数的最小正周期，所以，
点距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数是
根据题意，， ，
不妨设，则，所以，解得，，
所以，在水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度超过米的时间有秒
【考点探究】
例1.【解析】作的图象如图，
时，最大值为，．
又在上递减，
故的最大值为内使函数值为的的值．
令，．则．故的最大值为．
故选D．
练1-1.【解析】，即解得 ．
故选D．
练1-2.【解析】的最小正周期为，只需求在的值域，
当时，，
而，，此时
当时，，
而或，，此时
的值域为
例2.【解析】令，．则，．
当时，，，，
故选：．
练2-1.【解析】由图象可函数的最小正周期为，所以，解得，
，根据五点作图法和函数图象可得，解得，
所以，令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为，．
故答案选：．
练2-2.【解析】由题意可知
令，则
当上时为减函数，当上时为增函数．
又因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当即时，所以，解得，
此时，当时，解得，函数单调递减，
当时，解得，函数单调递增，符合题意，，
故选：
例3.【解析】对于函数，
存在，使得是偶函数，故B正确，且不正确；
当，时，才为奇函数，但，
所以不存在的值，使得是奇函数，故C正确，且不正确，
故选：．
练2-3.【解析】根据题意，函数是偶函数，则有，
变形可得：，解得，则，
则．
练2-4.【解析】根据题意，函数为偶函数，
则，即，
变形可得：，
则有对任意恒成立，必有，则，
故答案为：答案不唯一．
例4.【解析】由题可知：，所以．
又因为的图像关于点中心对称，所以，且．
所以，，所以所以所以．
故选A.
练2-5.【解析】由题意可知：，则，则，则．
则，过点，所以，
则，则，则
因为，所以所以，故A错误；
当时，，是函数的一条对称轴，故B正确；
令，则，则，
所以对称中心为，故C错误
，是偶函数，故D正确．
故选BD．
练2-6.【解析】
，则的最大值为，故A正确．
令，得，此即图象的对称轴方程，故C正确．
易知图象的对称中心的纵坐标为，故B错误．
由，得，
当时，，因为，
所以方程在上有个不同的实根，即在上有个零点，故D正确．
故选ACD．
例5.【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象的解析式为，
再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．
所以．
故答案为．
练3-1.【解析】函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数
的图象关于直线对称， 又，
当时，；当时，；当时，；
故选：．
练3-2.【解析】由题意可知，，
当时，，因为函数在上为减函数且，则，解得
故选AB．
例6.【解析】由图象可知，振幅为，即，，解得，
又因为，故，此时函数，
将点代入，得，即，
，，且，可得，
因此函数；
故选：．
练4-1.【解析】根据函数的部分图象，
可得．
点是五点作图的第二个点，则，
故选D．
练4-2.【解析】函数，，
，， ， 或， ，
，当时，或，当时，，
，．，，
，，，，
，结合图像可知，取，，，
；当时，，
，
，，，，，，
，结合图像可知，
取，，，
，不合题意，舍去
故答案为：．
例7.【解析】函数的最小正周期为，
若，则，所以
因为为的零点，所以，
故，，所以，，则的最小值为．
故答案为：．
练5-1.【解析】
因为，所以．
又在上恰有个零点，所以，则．
故本题选：．
练5-2.【解析】，故是偶函数 ，对；
时，，故在区间单调递减，错；
当时，，令得到或，
又在是偶函数，故在有个零点，分别为 ，错；
，故，又，故的最大值为，对．
故选AD．
例8.【解析】对于，由题意，所以摩天轮离地面最近的距离为，故A错；
对于，当时，旋转角度为，所以分钟后的角度，
此时游客距离地面的高度，故 B对；
对于，若时刻，游客距离地面的高度相等，在摩天轮转第一圈时，，
所以，当第二圈高度相等时，，故最小值为，故C对；
对于，设，当存在一时刻使得游客距离地面的高度为米，
当最小，，故D错．
故选BC．
练6-1.【解析】由题意分析可知当圆与长方形砖块较长的边相切时，
且切点为中点时，圆的半径最大，
如图，设为内切圆的圆心，为内切圆的半径．
由，，，
得，解得．
故选：．
练6-2.【解析】由题意可知：设在时刻时点距离地面的高度．
，，，，即．
又时，，，解得，．
由知，，
，化为：．
所以，，即．
令，则，
在距离地面超过的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是：．
【易错点归纳】
例9.【解析】令，解得，
所以函数的定义域为，
要求函数的单调递增区间，等价于求函数的单调递减区间
等价于求函数的单调递减区间，
因为函数的单调递减区间为，
所以函数的单调递增区间为，
故答案为： ．
例10.【解析】函数的图象向右平移个单位长度后为
与原图象重合，，则，
所以，，的最小值是．
故答案为： ．
例11.【解析】由函数的图象为，
对于，时，，所以图象不关于直线对称，A错误；
对于，时，，则函数在区间上单调减，B正确；
对于，时，，所以图象不关于对称，C错误；
对于，的图象向左平移，得的图象，不是函数的图象，D错误．
故选：．
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