（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题6.1数列的概念与表示方法

6.1 数列的概念与表示方法
课标要求 考情分析 核心素养
通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 17 由与的关系求通项公式
1．数列的有关概念
名称 概念 说明
数列 按照一定顺序排列的一列数，一般记为数列 数列中的数具有有序性，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
数列的项 数列中的每一个数 数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项
数列的通项 数列的第项 区别与：是数列中的项，表示数列，与是从属关系
通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系能用一个式子表示，这个式子叫作数列的通项公式 1.并不是所有的数列都有通项公式 2.同一个数列的通项公式可能不唯一 3.对于一个数列，若只知道前几项，二没有指出变化规律，是不能确定这个数列的
递推公式 如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子就叫作数列的递推公式 1.与通项公式的区别：将直接带入，求；通过一次或多次赋值逐项求出所需，或变形求通项公式； 2.联系：都可以确定一个数列，或求任意一项
2.数列的函数特性
1.数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数
2.数列的函数特性
名称 数列 函数
解析式
表示 列表法、图象法、解析式法
图象 一些孤立的点 连续的曲线
定义域 或 使函数有意义的自变量的取值范围
值域 数列中的项组成的集合
单调性 若，则数列递增 若，则数列递减 若, ，函数在区间上递增； ，函数在区间上递减
周期性 若（为非零常数），则数列为周期数列，为数列的一个周期 对于定义域内任一个，存在非零实数，，则函数为周期函数，为函数的一个周期
3．数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中
递减数列
常数列
按其他标准分类 有界数列 存在正数，使
摆动数列 的符号正负相间，如1，－1，1，－1，…
1．若数列的前项和为，通项公式为，
则
2．在数列中，若最大，则若最小，则
1．【P8 练1】某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图，，，为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第个图形包含个小正方形，则 ．
2．【P8 练4】已知数列的前项和公式，则通项公式 ．
考点一　由数列的前几项求数列的通项公式
【方法储备】
1. 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．常用方法：观察规律、比较已知数列、归纳、转化为特殊数列、联想常见数列等方法；
2.具体策略：
（1）观察相邻项的变化特征：符号特征、分子分母特征、绝对值特征；
（2）分式：分子、分母分别观察规律；或者寻找分子、分母之间的关系；
（3）对于正负符号变化，可用或来调整.
（4）拆项
（5）与特殊数列产生联系：如自然数、偶数、奇数、自然数的平方等.
【典例精讲】
例1. (2022·山东省济南市月考.多选) 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题其前项依次是，，，，，，，，，，则( )
A. 此数列的第项是
B. 此数列的第项是
C. 此数列的通项公式为
D. 不是此数列中的项
【名师点睛】
1.由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
2.根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．
【靶向训练】
练1-1(2022·安徽省蚌埠市期末.多选）可以作为数列，，，，，，，的一个通项公式是( )
A. B.
C. D.
练1-2(2022·贵州省贵阳市模拟) 已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
考点二　利用与的关系求通项
【方法储备】
1.已知求的一般步骤
⑴当时，求；
⑵当时，求；
⑶对于步骤⑵中求出的通项公式，要检验是否满足，若满足则用一个式子表示，如不满足，则用分段的形式表示.
2.由求的一般步骤
⑴利用，将中的替换，转化为的关系式，求出，在利用与的关系求；
⑵利用，消去中的，转化为的关系式，再求解.
【典例精讲】
例2.(2022·安徽省合肥市月考) 已知数列的前项和满足，则的值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，即要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一．
【靶向训练】
练2-1(2022·辽宁省盘锦市月考) 已知数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·江苏省连云港市月考.多选) 数列的前项和为，，，则下列命题正确的是 ( )
A. B.
C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列
考点三　由递推关系求通项公式
【方法储备】
由数列的递推关系求通项公式的常用方法：
1.累加法：已知，且，
;
2.累乘法：a1(a1≠0)，且，
;
3.构造法：
⑴已知，且，（）
(其中可用待定系数法确定)，构造出以为首项，为公比的等比数列；
⑵已知，且，（）
，令，则，
①若，则构造等差数列；②若，则按第⑴中思路求解；
再按第⑴中思路求解；
说明：还可以通过其他变形方式构造数列，如，利用累加法求通项公式；
⑶已知（）
，其中满足，再按第⑴中思路求解；
4.取倒数法： 已知，（为常数）
,
①若，则构造等差数列；②若，则按第⑴中思路求解；
5. 取对数法：已知，且
等式两边同时取对数，，转化为型，求解.
【典例精讲】
例3.(2022·四川省成都市期中) 已知数列满足，，数列满足，
，则( )
A. B. C. D.
例4.(2020·贵州省贵阳市模拟) 已知数列中，，前项和．
若数列满足，求与之间的递推关系式；
求数列的通项公式．
【名师点睛】
1.累加法或累乘法求通项公式时，要注意求出的通项公式是从第几项使用，对于未取到的项需验证.
2.其他求通项公式的方法
⑴赋值法：已知
，两式相减，得出，再讨论的情况.
⑵分奇偶讨论
①已知，两式相减得，然后按奇、偶分类讨论；
②已知，两式相除得，然后分奇、偶讨论即可.
【靶向训练】
练3-1(2022·江苏省南通市月考) 设数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·四川省泸州市期中) 在数列中，，，且对任意的，都有
，则数列的通项公式为 ．
考点四 数列的函数特性
【方法储备】
1.数列周期性的应用
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2.解决数列单调性问题的三种方法
⑴作差比较法：数列为递增数列；数列为递减数列；
⑵作商比较法：根据 (或)与1的大小关系进行判断；
⑶数形结合法：结合相应函数的图象直观判断，注意数列中的取值为正整数.
3.求数列最大项或最小项的方法
⑴可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式找到数列的最小项．
⑵若数列是递增数列，则最小项为；若数列是递减数列，则最大项为；
⑶将数列看作函数，利用函数求最值，注意数列中的取值为正整数.
【典例精讲】
例5. (2021·江苏省苏州市期中) 已知数列中，，且，则等于( )
A. B. C. D.
例6. (2021·湖北省孝感市月考) 已知数列满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
【靶向训练】
练4-1(2022·陕西省西安市期中) 已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·江苏市连云港市月考.多选) 数列的前项和为，，，则下列命题正确的是( )
A. B.
C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列
易错点1 已知求时, 易忽略致错
例7. (2022·江苏省南京市月考) 若数列的前项和，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
易错点2 忽略数列与函数的区别致错
例8. (2022·安徽省合肥市月考) 设数列的前项和为，已知，，若，则的最小值是 ．
答案解析
【教材改编】
1．【解析】根据前面四个发现规律：，
，
，，
，
这个式子相加可得：，
所以，
当时，，
故答案为．
2．【解析】当时，；
当时，，
又当时，不满足上式，
故数列的通项公式．
故答案为：．
【考点探究】
例1. 【解析】观察此数列，为偶数时，，为奇数时，，
所以此数列的通项公式为，所以C正确；
，A正确；
，B错误；
，故D错误．
故选AC．
练1-1.【解析】、当为奇数时，，当为大于的偶数时，，显然表示数列，，，，的一个通项公式，故A错误；
B、根据余弦函数的性质可知，可以作为数列，，，，，的一个通项公式，故B正确；
C、根据正弦函数的性质可知，可以作为数列，，，，，的一个通项公式，故C正确；
D、根据余弦函数的性质可知，表示数列，，，，的一个通项公式，故D错误．
故选BC．
练1-2.【解析】当时，
由，得．
令，在同一个坐标系内作出两函数在区间上的图象，
由图象易知交点为，故得到函数的零点为．
当时，，
，
由，得．
令，在同一个坐标系内作出两函数在区间上的图象，
由图象易知交点为，故得到函数的零点为．
当时，，
，
由，
得令，在同一个坐标系内作出两函数在区间上的图象，
由图象易知交点为，故得到函数的零点为．
依此类推，当，，，时，
构造的两函数图象的交点依次为，，，，
得对应的零点分别为，，．
故所有的零点从小到大依次排列为，，，，．
其对应的数列的通项公式为．
故答案选B．
例2.【解析】因为，
所以，
当时，
，
，，
所以，
故选：．
练2-1.【解析】由已知
得，即，而，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．故选：．
练2-2.【解析】由，得，
，
，，
则，故数列为递增数列，故 D正确；
，故A正确；
当时，成立，，
时，，
当时，，不符合当时的通项，，故B错误，C错误．
故选：．
例3.【解析】由数列满足，可得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则，
数列满足，，
，
，
，
则．
故本题选A．
例4. 【解析】，
．
，
整理得，得，
即；
由知，即
所以
，
得．
练3-1.【解析】在数列中，因为，
所以，即，
而，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
因此．
故本题选C．
练3-2.【解析】由，得，
又，，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，，
因为符合上式，所以．
故答案为．
例5.【解答】由题设知：，，，，
则，
数列是周期为的周期数列，
，
故选：．
例6.【解析】由，
得，
即，
，
，
以上式子相加得，，
当时，上式成立，即，
，
令，，即，
所以可化为，
又在上单调递增，当取得最小值为，
即的最小值是，
故选C．
练4-1.【解析】根据题意得
要使是递增数列，必有解得，
故实数的取值范围是．
故本题选C．
练4-2. 【解答】由，得，
，
，，
则，
，
当时，成立，
，而为递增数列，故AD正确．
时，，
当时，，不符合当时的通项，
，显然不是递增数列，故BC错误．
故选AD．
【易错点归纳】
例7. 【解析】，
当时，；
当时，．
．
故选D．
例8.【解析】因为，，
所以当，，，
即可得，
因为，即可得，即可得，
所以可得当，时，数列是首项，公比的等比数列，
所以，
所以数列，
所以若，整理得 ，
即可得，解得或，
所以的最小值为，
故答案是．
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