（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题6.2等差数列

6.2 等差数列
课标要求 考情分析 核心素养
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前项和公式,理解等差数列的通项公式与前项和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元一次函数的关系. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 数学抽象
2022(Ⅰ)卷 17 等差数列的通项公式
2022(Ⅱ)卷 17 等差数列的通项公式
2021(Ⅰ)卷 17 求等差数列的通项公式与前项和
2021(Ⅱ)卷 17 等差数列的通项公式与前项和公式
2020(Ⅱ)卷 18 等差数列求和
1．等差数列的有关概念
⑴等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.
用递推公式表示为或.
⑵等差中项：如果组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义可知 .
⑶等差数列的通项公式及其变形：
① 等差数列中，
则，
当时，也成立，故；
② ，两式相减可得
4.等差数列与一次函数的关系
由通项公式变形可得：
⑴当时，等差数列为常数列；
⑵当时，等差数列的图象即为一次函数图象上，均匀排开的一系列的点；
①当时，等差数列为递增数列；
②当时，等差数列为递减数列；
2．等差数列的前项和
1.倒序相加法求等差数列的前和：
①
②
①+②得：
故
2.变形：将代入上式
3.与二次函数的关系：
⑴当时，；
⑵当时， ，关于的式子可看作二次函数.
知识点3．等差数列的性质
1.等差数列的常用性质：
⑴在等差数列中，若且，则；
⑵在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项，即；
⑶在等差数列中，相隔相等项组成的数列是等差数列；
⑶在等差数列中，若，则；
⑷两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列；
⑸若数列是等差数列，则仍为等差数列．
2. 等差数列的前和的性质
⑴等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列；
⑵为等差数列，公差为数列公差的一半；
⑶设数列是等差数列，且公差为，
（I）若项数为偶数，设共有项，则①； ②；
（II）若项数为奇数，设共有项，则① (中间项)；②.
⑷若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
1.已知数列的通项公式是(其中为常数)，则数列一定是等差数列，且公差为.
2.在等差数列中，，则存在最大值；若，则存在最小值.
3.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.
1．【P24 T2】在等差数列中，，，若，则( )
A. B. C. D.
2．【P23 例9】设等差数列的前项和为若，，则当取最小值时，等于 ( )
A. B. C. D.
考点一　等差数列的判定与证明
【方法储备】
1.证明数列是等差数列的主要方法：
⑴定义法：证明对任意正整数都有等于同一个常数．
⑵等差中项法：证明对任意正整数都有.
2.判定一个数列是否为等差数列，常用到的结论：
⑴通项公式：(为常数)为等差数列．
⑵前项和公式法： (为常数) 数列是等差数列.
问题的最终判定还是利用定义.
【典例精讲】
例1. (2022·广东省茂名市月考) 记为数列的前项和，，数列满足，
且．
证明：数列是等差数列；
求的通项公式．
例2. (2022·湖北省咸宁市模拟) 已知数列的前项和为，且满足．
求数列的通项公式；
求证：对任意的，，，成等差数列．
【名师点睛】
1.证明等差数列时，注意的式子中，的取值范围，若取不到1，需验证成立.
2.若判断一个数列不是等差数列，只需用验证即可．
【靶向训练】
练1-1(2021·浙江省丽水市月考）在数列中，，则( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·浙江省台州市月考) 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. 数列是等差数列
B. 数列是递增数列
C. 成等差数列
D. 成等差数列
考点二　等差数列中的基本量运算
【方法储备】
1．方程思想
等差数列的通项公式和前项和公式中涉及5个量：，知三求二.通常利用已知条件、通项公式、前项和公式列出方程组求解.
2.整体思想
若已知条件只有一个，则将已知条件与所求条件都用两个基本量表示，整体代换.
3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为
.
【典例精讲】
例3.(2021·山东省临沂市月考.多选) 已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 当或时，取得最大值
D. 当时，的最大值为
【名师点睛】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【靶向训练】
练2-1(2022·湖北省黄石市月考) 等差数列中，，公差为，，，则公差的值为( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·陕西省西安市期末) 我国明代数学家程大位算法统宗中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少贯文贯文，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为( )．
A. 贯 B. 贯 C. 贯 D. 贯
考点三 等差数列的性质及应用
【方法储备】
1.应用性质解题时，要注意性质成立的条件；
2.要灵活运用等差数列的通项公式和前n项和公式：
，，等．
【典例精讲】
例4. (2022·江苏省无锡市模拟.多选) 等差数列的前项和为，公差为，若，则下列结论正确的是 ( )
A. 若，则 B. 若，则最小
C. D.
例5. (2021·安徽省淮北市模拟)设等差数列的公差不为，其前项和为，若，，则 ( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式．
4.解综合题时要审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.
【靶向训练】
练3-1(2021·陕西省西安市模拟) 等差数列中，，前项和为，若，则 ( )
A. B. C. D.
练3-2(2021·江苏省南通市模拟.多选) 设为正项等差数列的公差，若，，则( )
A. B. C. D.
考点四　等差数列的前项和公式
【方法储备】
1.等差数列的前项和公式应用
⑴若已知首项和末项，则，结合等差数列的性质，灵活运用；
⑵等差数列的首项是，公差是，则其前项和公式为，可以从二次函数的角度解题.
2．求等差数列前项和的最值：
⑴通项法：
①当，时，有最大值；令，确定的值；
若，则和都为最大值；
②当，时，有最小值；令，确定的值；
若，则和都为最小值；
⑵二次函数法：为二次函数，借助和二次函数的性质，确定的值及的最值；
⑶不等式组法：令，确定的值及的最大值；令，确定的值及的最小值.
【典例精讲】
例6.(2022·江苏省无锡市月考)已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
例7.(2022·江苏省南通市月考) 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，__________若存在正整数，使得有最小值．
1求的通项公式；
2求的最小值．
从，，这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．
【名师点睛】
等差数列前项的和的最值问题,将数列与函数、方程等知识进行结合, 求解的思路一般是从数列通项、二次函数和图象等角度入手，渗透着化归与转化思想、数形结合的思想.
【靶向训练】
练4-1(2022·福建省福州市期末) 等差数列的前项和为，若，公差，则( )
A. 若，则 B. 若，则是中最大的项
C. 若，则 D. 若，则
练4-2(2021·安徽省滁州市模拟) 设是公差为正数的等差数列，若，且，是数列的前项的和，则的最小值为( )
A. B. C. D.
易错点1 乱用结论致错
例8. (2022·安徽省合肥市月考) 已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
例9. (2022·河北省石家庄市模拟) 等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1．【解析】设等差数列的公差为，
由，得，解得，
又，所以，
故，，
所以；
令，则，解得．
故选：．
2．【解析】设等差数列的公差为，
法一：，
，．
．
显然，当时，取得最小值．
法二：由，得：
，
，
，，
当时，取得最小值．
故选：．
【考点探究】
例1. 【解析】证明：由及可知，，
由得，，
整理得，，所以，即，
又知，
故数列是首项为，公差为的等差数列
解：由知，，所以，
当时，，
当时，，不满足上式，
故
例2. 【解析】当时，，所以
当时，因为，所以，
所以，
即．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为．
证明：对任意的，，
所以，即，，成等差数列．
练1-1.【解析】，．
是以为公差的等差数列，
，．
，．
故选：．
练1-2.【解析】，
，不符合上式，
不是等差数列，A错误．
不是递增数列，B错误．
，
，，不成等差数列，C错误．
，
，
，，成等差数列，D正确．
故选D．
例3.【解析】由公差，，可得，即，①
由是与的等比中项，可得，即为，
化为，②
由①②解得，，故A错误，B正确；
由，
由于为正整数，可得或时，取得最大值；故C正确；
由，解得，可得的最大值为故D错误．
故选：．
练2-1.【解析】由等差数列的通项公式可得：
，即，
又，，，．
故选：．
练2-2.【解析】由题意得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数构成等差数列，
故设等差数列的前项分别为甲、乙、丙、丁、戊所得钱数，
等差数列的公差为，
则有，解得
所以戊所得钱数为贯
故答案选：．
例4..【解答】因为，所以，
所以，，，即．
对选项A，若，则，因为，可得，
则，所以选项A正确；
对选项B，若，，则，，所以最小，故B错误
对选项C，因为，所以，所以，即，故C正确；
对选项D，因为，所以，，即．
，所以D正确．
故选ACD．
例5. 【解析】因为 ，
，
构造函数，则，所以在上是增函数，
又因为，
所以在上是奇函数，
则在上既是奇函数，又是增函数，
由已知：，
则，所以，
所以，则．
故选D．
练3-1.【解析】等差数列中，，前项和为，
所以也是等差数列，可设公差为，则首项为，
由，解得，
所以，所以．
故选B．
练3-2.【解答】
由题意得，，
又，
由，可知．
因为，，，所以，故A正确；
因为，故B正确；
因为，，，
所以，故C正确；
因为，所以，故D错误．
故选ABC．
例6.【解析】
的定义域为，
，
为奇函数，
当时，由于内层函数为增函数，外层函数也为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由于函数为奇函数，则该函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，所以，函数在上为增函数，
因为，，可得．
因此，．
故选：．
例7.【解析】选时，
根据题意得，，解得，
1，
2
所以当或时，．
选时，
根据题意得，
1
2，
所以当时，，
选时，
此时是递减数列，故不存在正整数，使得有最小值．
练4-1.【解析】若，则，即，即，
，数列是递减数列，
又，故选项A错误；
又，不妨取，则，故选项B错误；
若，则，又，数列是递减数列，所以，
，故选项C正确；
又当时，有大于的情形，故选项D错误，
故选：．
练4-2.【解析】是公差为正数的等差数列，
由得，
设公差为，由，
即，得或舍去，得，
则，，则，
令，则，
设，
则，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，
且当，即时，；当，即时，，
故的最小值为．
故选：．
【易错点归纳】
例8.【解析】由等差数列的性质可得：，，，成等差数列，
，解得，
，
，，成等差数列，可得，解得．
故选：．
例9.【解析】等比数列的前项和为，，，
，，，成等比数列，
，，，成等比数列，
，解得或，舍，
，，，分别为，，，，
．
故选：．
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