（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题6.3等比数列

6.3 等比数列
课标要求 考情分析 核心素养
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等比数列的前项和公式,理解等比数列的通项公式与前项和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 4.体会等比数列与指数函数的关系. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 数学抽象
2020(Ⅰ)卷 18 求等比数列的通项公式
2020(Ⅱ)卷 18 求等比数列的通项公式、前项和
1．等差数列的有关概念
⑴等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（）.
用递推公式表示为：.
⑵等比中项：如果组成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，由等比数列的定义可知 .
⑶等比数列的通项公式及其变形：
① 等比数列中，
则，
当时，也成立，故；
② ，两式相除可得
⑷等比数列中的函数关系
等比数列中，，若设，则：
（I）当时，，等比数列是非零常数列. 它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
（II）当且时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线
（且）上的一些孤立的点.
①当且时，等比数列是递增数列；
②当且时，等比数列是递减数列；
③当且时，等比数列是递减数列；
④当且时，等比数列是递增数列.
（III）当时，等比数列是摆动数列.
2．等比数列的前项和
错位相减法求等比数列的前和：
①
②
①-②得：
得(为常数).
3．等比数列的性质
⑴等比数列的常用性质：
①在等比数列中，若且，则；
②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项，即；
③在等比数列中，相隔相等项组成的数列是等比数列；
④若数列是等差数列，则等仍为等比数列．
⑵ 等比数列的前和的性质
①连续项和（不为零）仍是等比数列.即成等差数列；
②数列项数为项，则，数列项数为,则.
1.只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项.
2.常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.
1．【P24 T2】复印纸幅面规格采用系列，其幅面规格为：所有规格的纸张的幅宽以表示和长度以表示的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此对开至规格，现有纸各一张，若纸的幅宽为，则纸的面积为 ，这张纸的面积之和等于 ．
2．【P41 T7】已知数列的前项和．
证明：是等比数列．
求数列的前项和．

考点一　等比数列的判定与证明
【方法储备】
1.证明数列是等比数列的主要方法：
⑴定义法：当时，证明对任意正整数都有等于同一个常数．
⑵等差中项法：证明对任意正整数都有.
2.判定一个数列是否为等比数列，用到的结论：
⑴通项公式：是以为首项，为公比的等比数列．
⑵前项和公式法： (为常数,) 数列是以为公比的等比数列．
【典例精讲】
例1. (2021·海南省模拟) 在，，这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答相应问题：
已知数列满足，且．
1证明：数列为等比数列；
2若_____，是否存在等比数列的前项和为？若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由．
例2. (2021·江苏省徐州市月考) 已知数列的前项和为，且
求，，的值；
是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出的值和通项公式；若不存在，请说明理由．
【名师点睛】
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【靶向训练】
练1-1(2022·湖南省娄底市期末.多选) 已知数列的前项和为，下列说法正确的是( )
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，，则
练1-2(2021·江苏省无锡市月考.多选) 已知数列的前项和为，若是与的等差中项，则下列结论中正确的是 ( )
A. 当且仅当时，数列是等比数列
B. 数列一定是单调递增数列
C. 数列是单调数列
D.
考点二　等比数列中的基本量运算
【方法储备】
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论，
当时，的前项和；当时，的前项和.
【典例精讲】
例3.(2022·广东省茂名市模拟) 已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【名师点睛】
1.等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【靶向训练】
练2-1(2022·广东省佛山市模拟.多选) 设等比数列的前项和为，且满足，则( )
A. 数列的公比为 B. 数列的公比为
C. D.
练2-2(2021·山东省济宁市期末.多选) 如图，已知点是上三个不同定点，为弦的中点，是劣弧上异于、的一系列动点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是
A. 数列是等比数列 B.
C. D.
考点三 等比数列的性质及应用
【方法储备】
等比数列性质的应用可以分为三类：
(1)通项公式的变形．
(2)等比中项的变形．
(3)前项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
【典例精讲】
例4. (2021·湖南省常德市月考.多选) 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
例5. (2021·江西省上饶市模拟) 已知公比不为的等比数列，存在，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.
【靶向训练】
练3-1(2022·天津市模拟) 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，
，则的值是
A. B. C. D.
练3-2(2022·安徽省淮南市模拟)为等比数列的前项和，若，则的最小值为 ．
考点四　等比数列的前项和公式的综合应用
【方法储备】
1.等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：当时，的前项和；当时，的前项和.
2.等比数列最值有关问题的解题思路
求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量的函数关系进行求解，有时也注意基本不等式的应用．
3.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
【典例精讲】
例6.(2021·江苏省南通市月考) 设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
例7.(2022·山东省莱芜市月考) 已知等差数列和等比数列满足，，，
．
求数列，的通项公式；
设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
【名师点睛】
1.在运用等比数列的前项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形而导致解题失误.
2.涉及最值问题时，要注意方程思想与不等式知识的应用.
【靶向训练】
练4-1(2021·广东省揭阳市模拟.多选) 已知等比数列的公比为，且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
练4-2(2021·河北省邢台市期中) 已知等比数列的前项和与前项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的的最大值为( )
A. B. C. D.
易错点1 利用等比数列前n项和公式时，忽略公比致错
例8. (2022·安徽省蚌埠市月考) 已知等比数列的前项和为，且，．
若成等比数列，求值；
求的值．
答案解析
【教材改编】
1．【解析】由题意，若长宽，长宽，长宽，
，可得，
则长宽，
故其面积为．
由上知：张纸的面积是首项为，公比为的等比数列，
张纸的面积之和：．
故答案为：，．
2．【解析】证明：当时，，
又，符合上述通项公式，
所以的通项公式为．
因为，所以是首项为，公比为的等比数列．
解：因为，所以，
所以数列的前项．
【考点探究】
例1.【解析】1证明：数列中，，且，
所以，
数列是公比的等比数列；
2选择条件，不存在，
因为，所以，
因为是公比为的等比数列，所以，
解得，，
；
当时，，
，因为，不符合上式，
所以数列不是等比数列，所以不存在．
选择条件，不存在，
因为是公比为的等比数列，所以，
又，得，所以，
，
当时，，
所以，因为，不符合上式，
所以数列不是等比数列，所以不存在．
选择条件，存在，
因为是公比为的等比数列，所以，
又，得，所以，，
当时，，
所以，因为，符合上式，
所以数列是等比数列，所以存在，此时．
例2.【解析】当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，
解得．
假设是等比数列，
则，
即，解得．
下面证明为等比数列：
，，
，即，
，，
存在，使得数列是首项为，公比为的等比数列．
，
即
练1-1.【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，若，则，，，则不是等差数列，A错误，
对于，若，则，当时，，综合可得，则是等比数列，B正确，
对于，是等差数列，则，C正确，
对于，若是等比数列，当时，则，D错误，
故选：．
练1-2.【解析】因为是与的等差中项，所以，所以可得，
又，得：，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，得，故选项A错误；
当时，数列是单调递减数列，故选项B错误；
因为，所以，当时，数列是单调递减数列；当时，数列是单调递增数列，故选项C正确；
由于，故选项D正确．
所以正确选项为．
例3.【解析】
，故A错误；
B. ，故B正确；
C.由，
解得，或，，
当时，
当时，，故C错误；
故或故D错误．
故选B．
练2-1.【解析】设等比数列的公比为，则根据题意有：
；即；解得；
则；
故选AD．
练2-2.【解析】
，设
所以，即
又
故数列是以为首项，为公比的等比数列
故 ，对，错；
，对；，错．
故选AB．
例4. 【解答】因为等比数列的公比为，由得，
所以数列为等差数列，公差为，
由于，，则且，
得，，
由，得，，
若，则，而，则，则，，
此时不成立，所以，所以，所以A正确；
由，，得，又因为，
所以数列为递减数列，
从第项开始小于零，故前项和最大，即可的最大值为，所以D正确，
因为，所以，所以不正确，
因为，，所以数列各项均为正数，所以没有最大值，所以不正确，
故选：．
例5.【解析】存在，，满足，
，且， ，
则，
令，则，
因为，，，所以，
令，则在单调递减，在单调递增，
又，
所以，
即当且仅当，时，有最小值，
所以．即 的最小值为．
故选：．
练3-1.【解析】在等差数列中，由，
得，，，
在等比数列中，由，得，，
，
则．
故选D．
练3-2.【解答】设等比数列的公比为，
由于，，，
所以，
整理得：，即，则，
由题意知公比，则由等比数列的性质得：，，成等比数列，
所以，
因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
例6.【解析】设等比数列的的公比，，
，，
，，
则，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
故选：．
例7.【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，可得，，
则，，，，；
由题意可得的前几项为，，，，，，，，，，，，
即在与之间有项，可得的第项在与之间，
所以
．
练4-1.【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，当且仅当时等号成立，A正确，
对于，，当时，不成立，B错误，
对于，，则，C正确，
对于，，则，则不恒成立，D错误，
故选：AC.
练4-2.【解析】因为，，公比为正数且不为，
所以，解得，，所以，
则，
要使，则，解得，
故的最大值为．
故选：．
【易错点归纳】
例8.【解析】因为成等比数列，
所以 ，
因为，，所以 ，
所以．
设等比数列公比为，
当时，，此时，满足题意
当时，依题意得，解得
综上可得或．
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