（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题6.4数列求和

6.4 数列求和
课标要求 考情分析 核心素养
1.熟练掌握等差、等比数列的前项和公式． 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 数学抽象
2022(Ⅰ)卷 17 裂项相消法求和
2021(Ⅰ)卷 16 17 错位相减法求和、公式法求和
2020(Ⅱ)卷 14 公式法求和
2020(Ⅱ)卷 18 公式法求和
1．数列求和
⑴公式法
①等差数列前项和公式：.
②等比数列前项和公式：.
⑵重要公式
①
②
③
④
⑤等差数列中：；
⑥等比数列中：.
2．数列求和方法的选择
给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
1．【P40 T3】已知数列满足：，，则数列的前项和__________．
2．【P56 T10】已知数列的前项和为，且．
求的通项公式
若，求数列的前项和．
考点一　分组(并项)法求和
【方法储备】
分组转化法求和的常见类型:
1.若，且为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和．
2.通项公式为的数列，其中数列是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
提醒：一些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
【典例精讲】
例1. (2022·湖北省武汉市月考)设等比数列的首项，前项和为，且
．
若等比数列的公比，求的通项公式；
若为正项数列，求的前项和．
【名师点睛】
1.分组求和的基本策略:①根据两个特殊数列(等差、等比数列)进行合理分组;②根据数列中的项的正号、负号进行合理分组等.
2.技巧策略:利用分组转化法进行数列求和要过“转化”关、“方程”关、“分组求和”关和“公式”关.
【靶向训练】
练1-1(2022·河北省保定市月考）已知数列满足，，
记．
证明：是等比数列；
设，求数列的前项和．
练1-2(2022·浙江省台州市月考) 已知正项数列，其前项和为，
求数列的通项公式：
设，求数列的前项和．
考点二　错位相减法求和
【方法储备】
错位相减法求和的策略：
1.如果数列是等差数列，是等比数列，求数列 前项和时，可采用错位相减法.
设等比数列的公比为, 等差数列的公差为：
①
②
①-②得,
整理求得.
2.提醒
⑴在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．
⑵在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分为公比等于1和不等于1两种情况求解．
【典例精讲】
例2.(2022·浙江省杭州市月考) 已知数列的前项和为，且，
求的通项公式
若数列满足，记数列的前项和为，求证：．
【名师点睛】
应用错位相减法求和时还需注意：①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为项.
【靶向训练】
练2-1 (2022·上海市市辖区模拟) 已知是公差为的等差数列，，且是和的等比中项．
求的通项公式；
设数列满足，求的前项和．
练2-2(2021·广东省深圳市期末) 设数列的前项和为，已知，，．
证明：为等比数列，求出的通项公式
若，求的前项和，并判断是否存在正整数使得成立若存在求出所有值，若不存在说明理由．
考点三 裂项相消法求和
【方法储备】
1.裂项相消求和问题是常考题型. 裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意的两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理.
2.常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
⑴若为等差数列，为公差，则，即分母为同一个等差数列中的两项相乘即可裂项；
⑵； ⑶；
⑷； ⑸；
⑹； ⑺；
⑻； ⑼；
⑽； ⑾
【典例精讲】
例3. (2022·广东省深圳市模拟) 已知正项等比数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
数列满足，当时，，求数列的前项和．
例4. (2022·河北省石家庄市模拟) 已知数列满足，，．
设，，求证：数列为等差数列；
求证：，．
【名师点睛】
1.对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：
⑴裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；
⑵消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．
2. 裂项放缩是使用放缩法解题的常用技巧,即通过裂项的方式来达到放缩求解的目的.考虑到数式的结构较为复杂,因此在实际解题时一般需要调用常见不等式,利用公式模型来提高解题效率.常见形式有：
①；②；
③；④.；
⑤.
【靶向训练】
练3-1(2021·江西省宜春市期末) 已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则数列前项和为 ．
练3-2(2021·湖北省孝感市月考) 已知数列满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
考点四　倒序相加法求和
【方法储备】
如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
【典例精讲】
例5.(2021·湖南省益阳市期中) 已知函数，数列是正项等比数列，且， ．
【名师点睛】
倒序相加法即采取把正着写与倒着写的两个式子相加,然后求和的方法,实质是“不相同的数求和”化归为“相同的数求和”.常适用于“下标和相等时该两项和为定值”这种典型规律的数列,倒序相加思想的应用不局限于等差数列的范围内,它的应用范围可以扩大到函数（如练4-2）,组合数（利用性质）,三角函数等.
【靶向训练】
练4-1(2022·福建省福州市月考) 已知是上的奇函数，
，，则数列的一个通项公式为( )
A. B.
C. D.
练4-2(2021·江苏省南通市月考) 已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
易错点1 用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项
例6. (2022·安徽省蚌埠市模拟) 若数列的前项和为，首项且
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
答案解析
【教材改编】
1．【解析】由，得，
所以，
因此数列是以为公比的等比数列，
又，所以，
因此，所以，
因此．
故答为．
2．【解析】数列的前项和为，且，
当时，，
当时，，
由得：，
当时也适用，故．
由得，
所以，
，
两式相减得：
，，
整理得：．
【考点探究】
例1.【解析】由，得，
即，
可得．
或，
或；
由可知，或，
又，或；
为正项数列，，，
又是首项为，公比的等比数列，
，
，
，
两式相减得：
．
练1-1.【解析】证明：因为数列满足，，，
所以，
因为，所以，
因为，所以是首项为，公比为的等比数列．
解：由知，
因为，
所以
．
练1-2.【解析】正项数列，其前项和为，
，可得，解得，
当时，，又，
两式相减可得，化为，
则是首项和公比均为的等比数列，可得；
，
所以，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
综上可得，．
例2.【解析】解：当时，，即．
当时，，，
两式相减得，
又，所以，
故是以为首项，为公比的等比数列，
所以
证明：由得，
，
，
两式相减得，
所以， 又，
所以
练2-1 .【解析】是公差为的等差数列，，且是和的等比中项，
可得，即为，
解得负值舍去，
则；
数列满足，
可得时，，
时，，两式相减可得，
则，
即，
所以，
，
两式相减可得
，
化简可得，此式对也成立，
故的前项和．
练2-2.【解析】 ，
，，
为等比数列．
，公比为，
，，，
当时，，也满足此式，
．
，
，
两式相减得：，
．
代入得，
令，在成立，
，为增函数；
，
不存在正整数使得成立．
例3. 【解答】设正项等比数列，公比为，
因为，所以，
又由，所以，即，
解得或 舍去，所以，
所以数列的通项公式．
由，所以，
当时，可得，且，
所以时，，
当时，，适合，
所以．
例4.【解析】因为，所以，
因此，即，
于是，
注意到，，则，即，
所以数列是公差为的等差数列．
因为，且数列是公差为的等差数列，
所以，
因此，即，
于是
．
练3-1.【解析】由题设可得：，
，
设数列前项和为，
则
．
故答案为：．
练3-2.【解答】由，
得，
即，
，，
以上式子相加得： ，
因为，所以，
当时，上式成立，即，，
令，，即，
所以 ，
又在时单调递增，当取得最小值为，
即的最小值是．
故选：．
例5.【解析】由题意，函数，可得，
又由数列是正项等比数列，且，
根据等比数列的性质可得，
设，
则，
所以，
可得，即．
故答案为：．
练4-1.【解析】由题已知是上的奇函数，
故，
代入得：，
函数关于点对称，
令，
则，
得到，
，
，
倒序相加可得，
即，
故选：．
练4-2(2021·江苏省南通市月考) 已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【解析】由题可知：，
令，
又，
于是有，
所以，因此，则，
所以，
因为，，则，
而是开口向上的二次函数，且对称轴为，
所以的最小值为，当时，取得最小值．
故选A．
【易错点归纳】
例6.【解析】当时，，

当时，，
即，
或，
所以数列是公比为的等比数列或公差为的等差数列，
或；
，，
，
，
．
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