（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题6.5数列的综合应用

6.5 数列的综合应用
课标要求 考情分析 核心素养
1.能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题,感受数学模型的现实意义与应用； 2.了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系,感受数列与函数的共性与差异, 体会数学的整体性. 新高考3年考题 题 号 考 点 逻辑推理 数学抽象 数学建模
2022(Ⅰ)卷 17 数列不等式的证明
2021(Ⅱ)卷 17 解数列不等式
1.数列与函数的综合
数列是一种特殊的函数，它的图象是一些孤立的点，此类问题大部分要归于对函数性质的研究，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想求解.
2.数列与不等式
判断数列中的不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者借助数列对应的函数的单调性比较大小；数列中的恒成立问题，可转化为函数求最值问题解决；数列中的不等式证明问题，可构造函数进行证明，或者采用放缩法进行证明.
3.数列在实际应用中的常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系.
1．【P56 T8】复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法小闯同学一月初在某网贷平台贷款元，约定月利率为，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为元，如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为元则的值为参考数据：( )
A. B. C. D.
2．【P41 T11】已知数列的前项和．
求数列的通项公式
若，求满足条件的最大整数．
考点一　数列与函数综合
【方法储备】
数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.
【典例精讲】
例1. (2021·河南省信阳市月考) 已知函数，若单调递增数列满足，则实数的取值范围为 ．
例2. (2022·安徽省合肥市模拟) 已知数列满足，，则( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，遇到数列中的最值问题，利用函数性质或不等式性质求解较为常规．
【靶向训练】
练1-1(2022·浙江省台州市月考) 设数列的前项和为，且，，请写出一个满足条件的数列的通项公式 ．
练1-2(2022·江苏省南京市月考）若数列满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
考点二　数列与不等式
【方法储备】
1.函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式赋特殊值得出数列中的不等式.
2. 比较法：作差或者作商进行比较.
3. 放缩法：一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”.
放缩法常见的放缩技巧有：
(1)
(2)
(3)
(4)
4.数列中不等式恒成立问题:数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.
【典例精讲】
例3.(2022·四川省南充市月考) 已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，若对任意的恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
例4.(2022·江苏省无锡市模拟) 已知数列，，且，．
求数列的通项公式
记数列的前项和为，求证：．
【名师点睛】
数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式外，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用.利用放缩法证明不等式时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩.
【靶向训练】
练2-1(2022·陕西省西安市期末) 若数列的前项和为，对任意正整数都有，
记．
1求，的值；
2求数列的通项公式；
3令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．
练2-2(2021·浙江省杭州市月考) 已知正项数列满足，则下列说法错误的是( )
A. B.
C. D.
考点三 数列的实际应用问题
【方法储备】
解答数列实际应用问题的步骤:
1.确定模型类型：理解题意，判断符合哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：
⑴ 等差数列模型：均匀增加或者减少；
⑵ 等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题；
⑶ 简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出(常数)作为下年度的开销，即数列满足.
2.准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．
3.给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．
【典例精讲】
例5. (2022·江苏省南京市模拟) 复印纸幅面规格采用系列，其幅面规格为：，，，，，所有规格的纸张的幅宽以表示和长度以表示的比例关系都为：：；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此对开至规格，现有，，，，纸各一张，若纸的幅宽为，则纸的面积为 ，这张纸的面积之和等于 ．
【名师点睛】
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
【靶向训练】
练3-1(2022·山东省济南市月考) 按照小李的阅读速度，他看完红楼梦需要个小时年月日，他开始阅读红楼梦，当天他读了分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加分钟，则他恰好读完红楼梦的日期为( )
A. 年月日 B. 年月日
C. 年月日 D. 年月日
练3-2(2021·重庆市模拟) 为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从年月日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行达到个暂停运行周，达到个暂停运行周，并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周班航班计划已知某国际航空公司航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司航线的第次航班被熔断的概率为．
求
证明：为等比数列
求数列的前项和，并说明的实际意义．
核心素养系列 数列的新定义问题
数列创新定义问题是高考数学试卷中一类比较常见的数学问题,其是数列部分知识的进一步深入、提升与拓展,结合创新定义合理设置,在等差数列、等比数列的基础上加以类比创新,借助特殊数列的定义、公式或性质等拓展与延伸,结合创新意识与创新应用,实现化归与转化、知识与能力的综合等.
【方法储备】
解数列中的新定义问题的解题步骤：
①读懂定义, 理解新定义数列的含义；
②通过特例列举(一般是前面一些项)寻找新定义数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系,进行求解.
【典例精讲】
例6. (2022·广东省深圳市模拟) 已知等差数列和正项等比数列满足，，
，．
1求和的通项公式；
2对于集合，，定义集合且，设数列和中的所有项分别构成集合，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前项和．
【名师点睛】
数列的新定义问题，要从创新、繁杂的新定义中提炼公式等相关的内容,结合公式的变形,以及合理的方法应用(如原形迁移、类比推理、化归与转化等),进而得以合理分析与求解.
【靶向训练】
练4-1. (2022·江苏省常州市月考) 已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为( )
A. B. C. D.
练4-2. (2021·辽宁省大连市模拟) 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设，且，则 ；数列的前项和为，则 ．
易错点1 数列中的最值错误
例7. (2022·江苏省南京市期中) 数列中，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1．【解析】由题知，按复利计算，设小闯同学每个月还款元，
则小闯第一次还款元后，还欠本金及利息为元，
第二次还款元后，还欠本金及利息为元，
第三次还款元后，还欠本金及利息为元，
依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即：
，
即：，解得．
故元．
按照单利计算利息，月后，所结利息共元，
故元，
故．
故选：．
2．【解析】，
，
整理，得，．
又，则．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列．
的通项公式为，．
由知：数列是首项为，公比为的等比数列．
．
整理，得，又，
，，，，．
所以，满足条件的最大整数．
【考点探究】
例1. 【解析】根据题意，
要使是递增数列，必有．
故答案为 ．
例2.【解析】 由，可得，
将代入到上式可得，，
所以数列为周期数列，且，
所以，
故选D．
练1-1.【解析】，，则数列是递增的，
，，即最小，
只要前项均为负数，第项开始为正数，或前项为负数，第项为，第项开始为正数即可，
所以，满足条件的数列的一个通项公式答案不唯一．
故答案为：答案不唯一.
练1-2.【解析】由，
得，，，，，
累加得：，
又，
，验证适合上式，
，则，
在上单调递减，在上单调递增，
又，当时，取最小值为，
的最小值为．
故选A．
例3.【解析】由，
得，
由随着的增大而减小，，
由对任意的恒成立，得，
所以实数的最大值为．
故选：．
例4.【解析】由移项得，
当时，
，
当时，也适合上式，
所以数列的通项公式为，
由知，所以，
从而
，即证．
练2-1.【解析】1由题得，
得，解得．
同理，得，解得．
2由，，
当时，有，，
，，整理得：，
数列是首项，公比的等比数列，
．
，
．
3证明：由2有：
．
．
对于任意的，都有．
练2-2.【解析】正项数列满足，
可得负值舍去，
又，
可得是递增数列，则，故A正确；
由，可得，而，
即有，又，故B错误，C正确；
由，可得，故D正确．
故选：．
例5.【解析】根据题意，的长、宽分别为是；的长、宽分别为；
的长、宽分别为；的长、宽分别为；的长、宽分别为．
纸的面积为；
，，，，纸张的面积构成以为首项，以为公比的等比数列，
则这张纸的面积和为．
故答案为：；．
练3-1.【解析】根据题意，从年月日开始到读完的前一天，
他每天阅读红楼梦的时间单位：分钟依次构成等差数列，且首项为，公差为，
则，整理得．
设，则为增函数，
因为，，
所以他恰好读完红楼梦共需要天，故他恰好读完红楼梦的日期为年月日．
练3-2.【解析】由题意可知
由题得，
，
又，
数列是以为首项、为公比的等比数列
由知，
故，
从而，
由于可以理解为第次航班平均被熔断的次数，
表示前次航班平均被熔断的次数．
【素养提升】
例6.【解析】1设等差数列的公差为，等比数列的公比为，得
解得或，
因为正项数列所以，
因为，
所以，
，，
，．
2，又，
所以中要去掉数列的项最多项，
数列的前项分别为，，，，，，
其中，，三项是数列和数列的公共项，
所以前项由的前项再去掉的，，这项构成．
．
练4-1.【解析】因为，所以，
则，即，即，
所以，因为，所以，
故．
因为，所以，
所以数列的所有“和谐项“的平方和为：
．
故选：．
练4-2.【解析】因为，，
所以，
故，
所以，
所以，
所以，即，
又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，．
故答案为：；．
【易错点归纳】
例7.【解析】数列中，，若对任意，都有成立，
故有，，即，
当时，，不等式恒成立，
当时，，即，
当时，，
当时，，
综上，实数的取值范围为，
故选：．
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