（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题7.1平面向量的概念及线性运算

7.1 平面向量的概念及线性运算
课标要求 考情分析 核心素养
1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 直观想象 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 3 向量加减、数乘混合运算
2020(Ⅱ)卷 3 向量加减、数乘混合运算
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量； 向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量的单位向量为
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律: 结合律:
减法 求与的相反向量的和的运算
数乘 求实数与向量的积的运算 ① ②当时,与的方向相同;当时,与的方向相反；
当时, ① ② ③
3.共线向量定理
向量平行(共线)的充要条件：.
向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得.
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，
即，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2.若为线段的中点，为平面内任一点，则．
3.三点共线定理：
对于平面上的任一点，不共线, (,为实数)，若点共线，则.
4.解决向量的概念问题要注意两点：
①不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；
②要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
5.
1.【P24 T22】如图在梯形中，，，设，则 ( )
A. B. C. D.
2.【P16 T8】设是两个不共线的向量，已知．
求证：，，三点共线；
若，且，求实数的值．

考点一　向量的有关概念
【方法储备】
向量有关概念的关注点：
【特别提醒】1.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定，但方向不确定.
2.两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.
【典例精讲】
例1.(2022·湖南省株洲市联考)以下说法正确的是( )
A. 若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 B. 零向量没有方向
C. 共线向量又叫平行向量 D. 若向量和都是单位向量，则
【名师点睛】
解决向量的概念问题需要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性.
【靶向训练】
练1-1(2021·湖北省黄冈市月考)给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若，都是单位向量，则；向量与相等．则所有正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·黑龙江省模拟.多选)下列叙述中错误的是( )
A. 若，则
B. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，是一个单位向量
考点二　平面向量的线性运算
【方法储备】
1.平面向量线性运算的解题策略
2.平面向量线性运算中的参数问题
角度1 平面向量的线性运算
【典例精讲】
例2.(2022·浙江省温州市模拟)我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．
【靶向训练】
练2-1(2022·广东省模拟)如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量( )
A. B.
C. D.
练2-2(2022·广东省佛山市模拟)如图，在中，，，的平分线交的外接圆于点，设，，则向量 ( )
A.
B.
C.
D.
角度2平面向量线性运算中的参数问题
【典例精讲】
例3.(2022·广东省一轮复习联考)已知梯形中，，，，且，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
【名师点睛】
在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
【靶向训练】
练2-3(2022·安徽省期末)已知平行四边形的对角线交于点，为的中点，若，则( )
A. B. C. D.
练2-4(2022·湖北省武汉市期中)在中，已知点为边的中点，点在线段上，且，
若，则( )
A. B. C. D.
考点三　平面向量共线定理及其应用
【方法储备】
1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
2.向量共线是指存在不全为零的实数，使成立，
若，当且仅当时成立，则向量不共线．
【特别提醒】在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.
角度1 向量共线的问题
【典例精讲】
例4.(2022·广东省模拟)已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为 ；若与共线反向，则实数的值为 ．
【名师点睛】
考查平面向量的共线定理应用问题，根据平面向量的共线定理，列方程求得的值，验证与是否共线反向即可．
【靶向训练】
练3-1(2022·江西省宜春市月考)设与是两个不共线向量，且向量与共线，则 ．
练3-2(2022·山东省模拟.多选)已知向量，是两个非零向量，在下列条件中，一定能使，共线的是( )
A. 且
B. 存在相异实数，，使
C. 其中实数，满足
D. 已知梯形，其中
角度2 三点共线的问题
【典例精讲】
例5.(2022·江苏省扬州市模拟)设平面向量，不共线，若，，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
【名师点睛】
本题主要考查向量的加减，以及平面向量的共线的条件，利用平面向量的加减，以及向量共线的充要条件求解．
【靶向训练】
练3-3(2022·辽宁省模拟)已知向量，不共线，向量，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
练3-4(2022·湖南省邵阳市期中)在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
核心素养系列 直观想象——平面向量在平面几何中的应用
平面向量作为一种基本工具,在平面几何问题的求解中有极其重要的地位和作用,尤其是平面向量的几何意义,其中又有很多独特之处,若在解题中能合理运用,必能起到化难为易,化繁为简的作用.
【方法储备】
利用向量运算法则的几何意义解决问题通常有两种方法：
1.根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题;
2.平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向量知识求解.
【典例精讲】
例6.(2022·江苏省南通市模拟)已知为的重心，点，分别在边，上，满足其中则和的面积之比为 ．
【名师点睛】
本题考查向量的加减运算，平面向量基本定理，属于基础题．
根据题意，利用平面向量基本定理解得，则和的面积之比为，代入即可．
【靶向训练】
练4-1(2021·江苏省联考)已知，是不共线向量，设，，，，若的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·河南省鹤壁市模拟)点是菱形内部一点，若，则菱形的面积与的面积的比值是( )
A. B. C. D.

易错点1．平面向量概念理解错误
例7.(2022·山东省青岛市模拟.多选)下面的命题正确的有( )
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若，满足且与同向，则
D. “若、、、是不共线的四点，则”“四边形是平行四边形”．
易错点2．共线定理理解错误
例8.(2022·湖南省长沙市联考)已知所在平面内的一点满足，则点必在( )
A. 的外面 B. 的内部 C. 边上 D. 边上
答案解析
【教材改编】
1.【解析】取中点，连接，
因为在梯形中，，所以四边形是平行四边形，所以，，
则

．
故选D．
2.【解析】证明：由已知可得：，，
与有公共点，、、三点共线；
解：，存在实数，使，，，
又不共线，解得．
【考点探究】
例1.【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误；
零向量是方向任意的向量，B错误；
共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；
若，都是单位向量，两向量的模长都为，但方向不一定相同，D错误；
故选C．
练1-1.【解析】根据零向量的定义可知正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；
向量与互为相反向量，故错误．
故选A．
练1-2.【解析】对于，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
对于，非零向量与且，则与的方向相同或相反，故B正确；
对于，若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；
对于，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，是其一个单位向量，故D正确．
故选AC．
例2.【解析】法一过点作于点，不妨设，，
则，，所以，
所以，
所以，
所以，，
所以．
故选：．
法二，
即，解得，即．
故选：．
练2-1.【解析】因为，，所以．
故选：．
练2-2.【解析】设圆的圆心为，半径为，连接、、．
在中，，，
所以，，
因为的平分线交的外接圆于点，
所以，则根据圆的性质，
又因为在中，，所以四边形为菱形，所以．
故选C．
例3.【解析】由，，，，，
，
，
故选D．
练2-3.【解析】在平行四边形中，由对角线交于点，则点为的中点，
又为的中点，则，
又，所以，则．
故选A．
练2-4.【解析】如图所示，中，点为边的中点，；
又点在线段上，且，
；
，
又，．
故选A．
例4.【解析】因为向量与共线，所以，解得或．
当时，，，与共线反向；
当时，，，则与是同向向量，
所以时，与共线反向．
故答案为：或； ．
练3-1.【解析】已知与是两个不共线的向量，且向量与共线，
所以存在常数 使，所以所以．
故答案为．
练3-2.【解析】对于选项，因为向量，是两个非零向量．且，所以，，此时能使，共线，故A正确；
对于选项，存在相异实数，，使，要使非零向量，共线，由共线向量基本定理知成立，故B正确；
对于选项，当时，，如果，则不能使，共线，故C错；
对于选项，已知梯形，其中，，如果，是梯形的上下底，则能使，共线，否则错误，故D错；
故选AB．
例5.【解析】，，，
，
与有公共点，与共线，即，，三点共线．
故选A．
练3-3.【解析】因为，，三点共线，所以，使得 ，即，
即．又因为向量，不共线，所以，则．
故选A．
练3-4.【解析】因为，，，
所以，
因为，，共线，所以，
所以，
当且仅当且，即时取等号，此时的最小值为．
故选：．
【素养提升】
例6.【解析】设边的中点为，为的重心，
所以，即,所以，则，
因为，则，所以，即，所以和的面积之比为．
故答案为：．
练4-1.【解析】，，，
，,，
作如图所示，取的中点，中点，
过作和的垂线并交于点，交于点，
，．
，，三点共线,又，，又
故选D．
练4-2.【解析】由，得，
，，
如图所示，连接交于点，记，
因为在上，所以，
又因为，所以，
所以，解得，
即，且，所以为中点，
所以，所以．
故选A．
【易错点归纳】
例7.【解析】因为方向相反的两个非零向量必定平行，
所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A是对的
B.单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B是错的
C.向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误
D.若、、、是不共线的四点，则，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等，故D正确．
故选AD．
例8.【解析】因为 ，可得，
即，所以，可得，，三点共线，所以点在边上．
故选：．
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