（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题7.2平面向量基本定理及坐标表示

7.2 平面向量基本定理及坐标表示
课标要求 考情分析 核心素养
1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查 数学建模 数学运算 直观想象
1.平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
使.其中，不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
(2)向量加法、减法、数乘及数量积的坐标表示
设 ，，则，，，
;..
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设，，则.
3.平面向量共线的坐标表示
设 ，，其中.共线.
1.不共线的两个向量可作为一组基底,基底可以有无穷多组;不能作为基底;基底一旦确定,分解方式唯一;
2.若与不共线,,则;
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系，两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
4.定比分点公式
(1)向量形式：设为一边上一点,设则
(2)坐标形式：已知两点，，在两点连线上有一点，且 .
1.【P35 T5多选】当是线段的一个三等分点时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.【P27 T3】如图所示中，，，，线段，相交于点．
用向量与表示及
若，试求实数，的值．
考点一　平面向量基本定理及其应用
【方法储备】
应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。
用平面向量基本定理解决问题的一般思路:
角度1用基底表示平面向量
【典例精讲】
例1.(2022·天津市期中)如图，在中，为的中点，为的中点，设，，以向量，为基底，则向量( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查向量的四则运算，向量在几何中的应用，利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．
【靶向训练】
练1-1(2021·山东省青岛市期末.多选)设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
练1-2(2022·浙江省模拟)如图，为线段的中点，，，设，，试用，表示，，．
角度2平面向量基本定理的应用
【典例精讲】
例2.(2022·山东省淄博市期中.多选) 等边三角形中，，，与交于，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查平面向量的线性运算以及平面向量基本定理的应用.
【靶向训练】
练1-3(2022·河南省郑州市模拟)正方形中，点，分别是，的中点，那么( )
A. B.
C. D.
练1-4(2022·山东省泰安市期末)如图，在中，，点在线段上移动不含端点，
若，则 ，的最小值是 ．
考点二　平面向量的坐标运算
【方法储备】
1.利用向量的坐标运算解题步骤
2.两平面向量共线的充要条件有两种形式
3.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
【特别提醒】利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由向量平行求参数,当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.
角度1平面向量的坐标运算
【典例精讲】
例3.(2022·全国乙卷文科)已知向量，，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题主要考查向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算．
【靶向训练】
练2-1(2022·浙江省台州市期中)已知点，，向量，则向量( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·浙江省模拟)在平面直角坐标系中，已知点，，将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
角度2向量平行(共线)的坐标表示
【典例精讲】
例4.(2022·广东省茂名市月考)已知，．
当为何值时，与共线
若，且，，三点共线，求的值．
【名师点睛】
本题考查向量的坐标运算、向量共线的充要条件．
结合已知易得，再结合向量共线定理可得，解方程即可求出的值；由，，三点共线，可得，再结合已知条件求解．
【靶向训练】
练2-3(2021·湖南省邵阳市期中)已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
练2-4(2022·山东省临沂市期中)已知向量，，若，则 ．
角度3定比分点坐标表示
【典例精讲】
例5.(2021·福建省福州市模拟)设分别是的三边、、上的点，且
，则与( )
A. 互相垂直 B. 同向平行 C. 反向平行 D. 既不平行也不垂直
【名师点睛】
本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题，是中档题目．
根据平面向量基本定理和向量的定比分点坐标公式，将，，分别表示出来，再进行运算，即可得出结论．
【靶向训练】
练2-5(2021·江苏省苏州市模拟.多选)在平面直角坐标系内，为坐标原点，已知，，若是线段的三等分点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
练2-6(2022·辽宁省模拟)若是不共线的两个向量，设，，
且三点共线，求实数的值;
已知，点为线段上靠近的四等分点，求点的坐标．
考点三　坐标法在向量中的应用
【方法储备】
1.建立平面直角坐标系，根据向量间的关系，或者具体图形的结构特征，给向量赋予坐标，再进行向量间的运算，凸显向量的代数特征.
2.向量与三角函数、解析几何、函数等结合考查时，难度较大，往往选择将向量坐标化，转化为代数问题解决.
【典例精讲】
例6.(2022·湖北省襄阳市模拟) 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则 ．
【名师点睛】
建立适当平面直角坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于，的方程组，求得，的值．
【靶向训练】
练3-1(2022·山东省菏泽市模拟)如图，在长方形中，，分别为线段，的中点，
若，，，则的值为 ．
练3-2(2022·湖北省联考)已知四边形为矩形，，，动点满足，若则的最大值为
核心素养系列 数学建模、数学运算——平面向量与三角形的四心
向量具有代数与几何形式的双重身份，它是联系多个知识的媒介，因此理所当然的成为中学数学知识的一个交汇点，因此，将平面几何与平面向量融合交汇是新课程高考命题改革的一个发展方向和创新的必然趋势．
【方法储备】
1.四心的概念介绍
2.四心与向量的结合
(1)重心的向量形式
①是的重心
②是的重心,为平面内任意一点
③若的三个顶点坐标为,,，重心，则有
(2)内心的向量形式
①设是的三条边长, 是的内心,则
②是内任意一点,若,,则是的内心.
(3)垂心的向量形式
为的垂心
(4)外心的向量形式
为的外心
【典例精讲】
例7.(2022·山东省烟台市模拟.多选)对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是( )
B.
C. 过点的直线交、于、，若，，则
D. 与共线
【名师点睛】
本题考查了平面向量的综合应用，涉及了三角形外心、重心、垂心的应用，属于拔高题．
利用向量数量积的定义即可判断选项A，利用向量数量积的运算法则将变形，得到，利用三角形的外心的定义即可判断选项B，利用平面向量基本定理的推论即可判断选项C，利用向量数量积的运算和向量垂直的条件可判断与垂直，从而可判断选项D．
【靶向训练】
练4-1(2021·甘肃省兰州市期末)在中，设，则动点的轨迹必通过的( )
A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心
练4-2(2022·安徽省合肥市期中)若是的重心，，，分别是角，，的对边，
若，则角( )
A. B. C. D.

易错点1．平面向量基本定理理解错误
例8.(2022·福建省福州市模拟)若，是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为( )
A. B. C. D.
易错点2．混淆点的坐标与向量的坐标致错
例9.(2021·辽宁省期中)已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
易错点3．记错两个向量平行(共线)的坐标关系
例10.(2022·山东省临沂市模拟)已知向量则“”是“”的 ( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案解析
【教材改编】
1.【解析】由题意，设，是线段的一个三等分点，或．
即或，
即或解得或
故选AD．
2.【解析】由题设，，
．
设，，所以，
，且，，
所以，则，可得．
所以，又．故，．
【考点探究】
例1.【解析】因为为的中点，则因为为的中点，则．
所以，又，，所以
故选：．
练1-1.【解析】对，因为不能用表示，所以，不共线，故A符合题意；
对，因为，所以，共线，故B不符合题意；
对，因为不能用表示，所以，不共线，故C符合题意；
对，因为不能用表示，所以，不共线，故D符合题意．
故选：．
练1-2.【解析】因为，，
所以．
因为是线段的中点，所以，
所以，所以．
例2.【解析】如图，
等边三角形中，，是中点，所以，A正确；
，所以，B错误；
因为，，三点共线，所以，
，
于是，得到，C正确；
因为
，D错误；
故答案选：．
练1-3.【解析】，分别是，的中点，
，
故选：．
练1-4.【解析】因为在中，点在线段上移动不含端点，
所以设．
因为，
所以，即．
又因为，所以，因此，
，因此当时，取得最小值．
故答案为；．
例3.【解析】，，．．
故选D.
练2-1.【解析】设，因为，，所以
解得所以，又，所以，
故选A．
练2-2.【解析】设，
因为，所以，所以，，
则，故点的坐标是，
故选A．
例4.【解析】，．
因为与共线，所以，解得．
因为，，三点共线，所以，即，所以解得．
练2-3.【解析】；；．
故选B．
练2-4.【解析】向量，，，，，，解得．
故答案为：．
例5.【解析】如图所示， 中，，，，
根据定比分点的向量式，得
，，，
以上三式相加，得，
所以，与反向共线．
故选C．
练2-5.【解析】，，，
是线段的三等分点，或，
则或．
设，又，或，
即或，解得或．
故选：．
练2-6.【解析】由题意得，，
，
，，三点共线，，共线，，得；
设点坐标为，
点为线段上靠近的四等分点，，即，
，解得，即点的坐标为．
例6.【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则，
由与的夹角为，且，，，，
，，
．
，，，
解得，，则．
故答案为：．
练3-1.【解析】设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示坐标系，
则，，，，，，
则，，，
即，
则即，解得，，则．
故答案为：．
练3-2.【解析】建系如图
设，，，，，
因为，
所以
所以，所以最大值为．
例7.【解析】如图，设中点为，则，所以，
所以，
故选项A正确；
因为，所以，则，故，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，
比如直角三角形中，若为直角顶点，
则为斜边的中点，与不垂直，故选项B错误；
设的中点为，则，
因为，，三点共线，所以，则，故选项C正确；
因为
，
所以与垂直，
又因为，所以与共线，故选项D正确．
故选：．
练4-1.【解析】如图所示：
设线段的中点为，则．
，，
，即
，且平分．
因此动点的轨迹必通过的外心．
故选D．
练4-2.【解析】是的重心，，可得，
又，移项化简，得，
由平面向量基本定理，得，可得，
设，可得，由余弦定理得，
为三角形的内角，得，，
故选：．
【易错点归纳】
例8.【解析】在基底，下的坐标为，
．
令，，
解得
在基底，下的坐标为．
故选D．
例9.【解析】设顶点的坐标为，
，，，，．
又，点的坐标为．
故答案选：
例10.【解析】因为向量，，
当时，有，得或，故必要性不满足．
当时，满足，故充分性满足．
故选：．
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