（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题7.3平面向量数量积及应用

7.3 平面向量数量积及应用
课标要求 考情分析 核心素养
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 直观想象 逻辑推理
2022(Ⅱ)卷 4 利用向量数量积的坐标运算求夹角
2021(Ⅰ)卷 10 向量数量积的坐标运算，向量的模
2021(Ⅱ)卷 15 向量数量积的运算
2020(Ⅰ)卷 7 向量数量积的运算和投影
1.向量的夹角
定义 范围 共线与垂直 图示
已知两个非零向量和,作,,则叫做向量与的夹角． 或; 向量夹角：共起点
2.平面向量的数量积
定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积,记作. 即.
特殊情况
运算律 （交换律）;（结合律）;（分配律）
运算性质
3. 投影向量
如图，设是两个非零向量,,,考虑如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为、,得到,称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
若向量的夹角为,则向量在向量上的投影向量为
4.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量，的夹角为.
几何表示 坐标表示
数量积
夹角
模
垂直
共线
不等关系 共线时等号成立
1.向量模长不等式：;
2.两个向量的夹角为锐角且不共线;两个向量的夹角为钝角且不共线
1.【P24 T21】在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
2.【P41 T3】设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，,且与的夹角为，如图所示．
求的大小； 求与的夹角．
考点一　平面向量数量积的运算
【方法储备】
1.平面向量数量积的运算方法
2.已知数量积求参数
已知向量的数量积，用上述方法展开，得出关于参数的方程，进而求出参数.
角度1投影向量
【典例精讲】
例1.(2022·安徽省期中)已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 ．
【名师点睛】
本题考查向量的夹角、向量的投影，属于中档题．
设与的夹角为，求出，根据投影向量的概念，即可求出结果．
【靶向训练】
练1-1(2021·江苏省无锡市期末)设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·陕西省模拟)已知的外接圆圆心为，且，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
角度2平面向量数量积的概念及运算
【典例精讲】
例2.(2022·山东省潍坊市模拟)在梯形中，，，，，是的中点，则
【名师点睛】
本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题,把所求向量转化，再结合数量积的运算即可求解结论．
【靶向训练】
练1-3(2022·江西省模拟)已知两个单位向量，的夹角为，若，则 ．
练1-4(2022·北京市期末)已知是边长为的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为( )
A. B. C. D.
角度3平面向量数量积的坐标运算
【典例精讲】
例3.(2021·新课标Ⅰ卷.多选)已知为坐标原点,点,,
，，则( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查三角函数的恒等变形公式，属于中档题．
根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可．
【靶向训练】
练1-5(2022·辽宁省大连市模拟)设向量，，且，则 ．
练1-6(2022·江西省萍乡市期末)已知向量，，其中，函数，且的最小正周期为，则的解析式为 ．
考点二　平面向量的夹角、模长、垂直、共线问题
【方法储备】
1.求平面向量模的方法
2.求平面向量夹角的方法
3.向量的垂直、共线问题
(1)两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，
即:, ,则.
应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直.
(2)利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参或最值问题最常用的解题技巧.
【特别提醒】在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.
角度1平面向量的模
【典例精讲】
例4.(2022·山东省模拟)已知向量，夹角为，且，，则 ．
【名师点睛】
利用数量积的性质即可得出．
本题考查了数量积的性质，向量模的计算，属于基础题．
【靶向训练】
练2-1(2022·湖北省咸宁市期末)已知向量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·.山东省济南市期末.多选) 若平面向量、、两两的夹角相等，且，，，则( )
A. B. C. D.
角度2平面向量的夹角
【典例精讲】
例5.(2022·江西省模拟)若非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．
本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．
【靶向训练】
练2-3(2021·湖北省武汉市期末)在平行四边形中，，，，，
若，则( )
A. B. C. D.
练2-4(2022·江苏省南通市期末) 已知向量，满足，则向量，( )
A. B. C. D.
角度3平面向量的垂直
【典例精讲】
例6.(2021·浙江省温州市模拟)若，，与的夹角为，若，则的值为
【名师点睛】
本题考查向量数量积的计算公式，两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为．
由条件可求得，根据两向量垂直，则两向量的数量积为，从而会得到关于的方程，解方程即可求出．
【靶向训练】
练2-5(2021·山东省模拟)已知向量与的夹角是，且，，若，则实数( )
A. B. C. D.
练2-6(2022·上海市期末)已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为 ．
考点三　平面向量中的最值、范围问题
【方法储备】
1.求最值、范围问题的思路
（1）将向量的最值、范围问题转化为平面几何的最值、范围问题，利用平面几何的知识求解；
（2）将向量坐标化，转化为函数、方程、不等式的问题解决.
【典例精讲】
例7.(2022·湖北省黄冈市模拟)已知直角三角形中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查向量数量积的计算，涉及直线与圆的位置关系．
根据题意，设为斜边上的高，求出的值，连接，可得，分析可得当与同向时，取得最大值，据此计算可得答案．
【靶向训练】
练3-1(2022·湖北省模拟)已知梯形中，，，，，点，在线段上移动，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·江苏省宿迁市期末)在中，角的对边分别为，若，且是的重心，的最小值为 ．
核心素养系列 直观想象、数学运算——平面向量与极化恒等式
【方法储备】
1.极化恒等式：
三角形模型：在中，D为BC的中点，则
平行四边形模型：在平行四边形中：则
2.利用极化恒等式求数量积问题的步骤：
【典例精讲】
例8.(2022·山东省模拟) 如图，在中，，，，为边的中点．
求的值；
若点满足，求的最小值；
若点在的角平分线上，且满足若，求的取值范围．
【名师点睛】
本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化，考查运算求解能力，是中档题．
由极化恒等式及向量的加减运算求解；
设，，由已知结合极化恒等式求解与值，进一步可得的值．
【靶向训练】
练4-1(2021·湖北省模拟)如图，已知是半径为，圆心角为的一段圆弧上一点，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·福建省龙岩市期中)阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点．
若，求的值；
若，，求的值．
易错点1．投影向量理解错误
例9.(2022·湖北省武汉市期末.多选)若是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是( )
A.
B.
C. 点、、一定在一条直线上
D. 、在向量方向上的投影数量一定相等
易错点2．向量夹角定义理解错误
例10.(2021·辽宁省期中)已知，，当时，向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
易错点3．平面向量的运算律运用错误
例11.(2022·江苏省南通市模拟.多选)关于平面向量，，，下列说法不正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
易错点4．混淆平面向量共线、垂直的坐标关系
例12.(2022·福建省名校联考.多选)已知向量，，则( )
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为

答案解析
【教材改编】
1.【解析】在中，，
，，即，
点满足，则为的重心，
设的中点为,向量在向量方向上的投影向量为：，
，
向量在向量方向上的投影向量为：，
故答案选：．
2.【解析】由，，处于平衡状态，知，,,且与的夹角为，
；
，，
设与的夹角为，，解得，
又，．即与的夹角为．
【考点探究】
例1.【解析】设与的夹角为，因为，，，所以，
因为是与方向相同的单位向量，所以在上的投影向量为：．
故答案为．
练1-1.【解析】因为平面向量，满足，
所以在方向上的投影向量是．
故答案选；．
练1-2.【解析】因为，所以为中点，又外接圆的圆心为，
所以三角形为以为直角顶点的直角三角形，
又，所以为等边三角形，则，，
所以向量在向量上的投影向量为：
．
故答案选：．
例2.【解析】在梯形中，，，，，是的中点，
，
故答案为：．
练1-3.【解析】，，，
，是单位向量，，
又与的夹角为，，
，．
故答案为：．
练1-4.【解析】如图，D、分别是边、的中点，且，
．
故答案选：．
例3.【解析】，，，，
，，
对于，，，A正确；
对于，，
，因为不一定相等，所以，不一定相等，B错误；
对于，；，C正确；
对于，，，不一定相等，D错误．
故选：．
练1-5.【解析】向量，，，
，，解得．
故答案为：．
练1-6.【解析】
，
最小正周期为，故，则的解析式为．
故答案为：．
例4.【解析】向量，夹角为，且，．，
化为，化为，，解得．
故答案为：．
练2-1.【解析】因为，所以．
因为，所以．
故选：．
练2-2.【解析】因为平面向量、、两两的夹角相等，所以夹角为或，
由题意知：，，，
当夹角为时，，，，
则
，故选项D正确；
当夹角为时，，，，
则，
故选项A正确．
故选：．
例5.【解析】，，
即，即，，，即，，
故选：．
练2-3.【解析】根据题意，因为，，，，
所以
，
所以，即，即，
又，所以．
故答案选：．
练2-4. 【解析】，，
又，，
，
，
故向量与的夹角为．
故答案选：．
例6.【解析】，，与的夹角为，
，
；．
故答案为：．
练2-5.【解析】已知向量与的夹角是，且，，则：，
已知：，则：，即：，解得：，
故选：．
练2-6.【解析】与垂直，
，
又与垂直，，
由得,又由，易得：，则，
故答案为：
例7.【解析】根据题意，直角三角形中，，设为斜边上的高，
又由，，则，
连接，则圆的半径，
则，
当与同向时，取得最大值，
此时，，
则的最大值为，故的最大值为，
故选：．
练3-1.【解析】如图，以 为坐标原点， 所在的直线为 轴，
过点且垂直与的直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，，，，
所以，不妨设，，
则
，
由二次函数性质得当时，取得最小值．
故选D.
练3-2.【解析】由，得，
整理得，
即，
又，
所以，
由得所以，
又，
所以
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
【素养提升】
例8.【解析】由勾股定理知，；
解法一坐标法：建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，的中点，
所以，，
所以；
解法二基向量法：；
解法三定义法：
；
由题意，点在上，
解法一极化恒等式：，所以当时，此时，
取到最小值，即；
解法二坐标法：设，则，所以的最小值是；
解法一坐标法：以，为，轴建立坐标系，则的角平分线方程为，可以设，
则可以表示为，
所以，，，
当时，的取值范围是．
解法二几何法：由已知得，
则有，即；
由得，所以，所以，
所以．
练4-1.【解析】由题意可得，
又因为，则，所以，
取的中点，则，，
两式平方后作差得，
要使最小，就要使最小，
易知当圆弧的圆心与点，三点共线时，最小，
设的中点为，圆心为，连接和，
此时，
在中，，所以的最小值为，
代入求得最小值为．
故答案选：．
练4-2.【解析】由极化恒等式知，
；
设，，
由极化恒等式知，，，，
又，，
有，解得，，．
【易错点归纳】
例9.【解析】因为，所以，
所以，故选项B正确；
即，
所以，
则向量、在向量方向上的投影数量相等，
又，所以点、在同一条垂直于直线的直线上，
故A选项错误，选项C正确，选项D正确．
故选：．
例10.【解析】根据题意，设向量与的夹角为，
若，
则，
变形可得：，又由，则，
故选：．
例11.【解析】对于，，不一定有 ，故A不正确；
对于，利用向量数量积的运算性质可得： ，故B正确；
对于，若，则，但当，与的夹角不相等时，，故C不正确；
对于，与都为实数，而与不一定共线，因此故D不正确．
故选：．
例12.【解析】向量，，
A.若与垂直，则，解得，故A正确；
B.若，则，解得，故B正确；
C.若，则，所以，故C错误；
D.若，则，
则，，，
所以，
又，
所以与的夹角为 ，故D正确．
故选：．
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