（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题7.4解三角形

7.4 解三角形
课标要求 考情分析 核心素养
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 直观想象 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 18 三角恒等变换,正弦定理，
对勾函数求最值
2022(Ⅱ)卷 18 面积公式，正、余弦定理综合应用
2021(Ⅰ)卷 19 正弦定理，余弦定理
2021(Ⅱ)卷 18 利用余弦定理判断三角形形状，
面积公式，正弦定理
2020(Ⅰ)卷 17 正、余弦定理综合应用(结构不良)
2020(Ⅱ)卷 17 正、余弦定理综合应用(结构不良)
1.正弦定理、余弦定理
在中，若角所对的边分别是，为外接圆半径，
定理 正弦定理 余弦定理
公式
常见变形 ①
② ③
3.三角形面积公式
(是三角形内切圆的半径)，
4.测量中的几个术语
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
(2)方位角
从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角.
如点的方位角为(如图2).
(3)方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)(如图)，.
①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向．
②北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
(4)坡度(坡比)：坡面与水平面所成的二面角的正切值.即(为坡比,为坡角)
解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
1.三角形中的三角函数关系
(1)；(2)；(3)；(4).
2.三角形中的射影定理
在中，，，.
(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)
3.在中，已知和时，解的情况如下：
为锐角 为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 无解
4.边之间的关系
(1)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
(2)大边对大角，即；
(3)设，若，则为钝角三角形；
若，则为直角三角形；
若，则为锐角三角形.
5.在中，平分,交于点,则.
1.【P53 T12】已知在中，，，是边上的中线，且，则的长为 ．
2.【P50 T11如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里小时，该救援船到达点需要多长时间
考点一　判断三角形的形状
【方法储备】
1.判断三角形形状的方法
【特别提醒】无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【典例精讲】
例1.(2022·安云南省模拟)在中，角、、所对的边分别为、、，且
若，则的形状是( )
A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【名师点睛】
常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.
【靶向训练】
练1-1(2021·江苏省盐城市期中)已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形
练1-2(2022·浙江省金华市模拟)在中，若，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
考点二　利用正、余弦定理解三角形
【方法储备】
正弦、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量,基本思想是方程思想.正弦、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.
1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：
①已知两角和一角的对边，求其他边与角；
②已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定 理进行判断).
2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：
①已知两边和它们的夹角，求其他边与角；
②已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
3.求最值或取值范围问题
将所求量表示出来，利用正、余弦定理，进行边角互化，转化为关于角或边的代数式.结合题意确定角或边的范围，利用恰当的方法求最值或范围.
(1)求三角形周长最值或取值范围解题策略
(2)求三角形面积最值或取值范围解题策略
【特别提醒】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
角度1利用正、余弦定理解三角形
【典例精讲】
例2.(2022·湖北省武汉市期中.多选)在中，角，，的对边分别为，，，若，
，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
正弦、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量,基本思想是方程思想.正弦、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.
【靶向训练】
练2-1(2022·山东省模拟)的内角的对边分别为若的面积为，则 ( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·天津市期末) 已知的面积为，，则 ．
角度2求长度有关最值或取值范围
【典例精讲】
例3.(2022·新高考1卷)记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求求的最小值．
【名师点睛】
本题主要考查三角恒等变换的综合应用及利用余弦定理和对勾函数解决最值问题.
【靶向训练】
练2-3(2022·全国甲卷理科)已知中，点在边上，，，当取得最小值时，
练2-4(2022·北京市模拟)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角，，的对边分别是，，，为的面积，若_______填条件序号
求角的大小；
若边长，求的周长的最大值．
角度3求面积有关最值或取值范围
【典例精讲】
例4.(2022·四川省成都市期中)在中，角，，的对边分别为，，，，点在边上，且，．
求角的大小；
求面积的最大值．
【名师点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,三角恒等变换、平面向量的线性运算以及基本不等式的应用.
【靶向训练】
练2-5(2022·浙江省湖州市期末)在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若点在边上，且，求面积的最大值．
练2-6(2019·全国新课标Ⅲ卷文科) 的内角、、的对边分别为、、，已知．
求；
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
考点三　平面图形中的计算问题
【方法储备】
1.平面几何中解三角形问题的求解思路
2.与三角形边长有关的问题
已知三角形的一边,利用正、余弦定理分别求其他两边长,或者用整体思想求另外两边的和,即可求得周长.
3.与三角形面积有关的基本量计算解题策略
角度1与三角形边长有关的问题
【典例精讲】
例5.(2022·湖北省黄石市联考)在平面四边形中，对角线与交于点，，，，，．
求的长 求的值．
【名师点睛】
本题考查正余弦定理在平面几何中的应用.
【靶向训练】
练3-1(2022·福建省南平市联考)如图，在中，是边上一点，，，．
求角的大小；
若，求和．
练3-2(2022·江苏省南通市模拟) 如图，已知四边形，，，，四点共圆，且，，
．
若，求的长；
求四边形周长的最大值．
角度2与三角形面积有关的问题
【典例精讲】
例6.(2022·浙江省温州市期中) 如图，在平面四边形中，．
若，求的面积；
若，求．
【名师点睛】
本题考查正余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用．
在中，由余弦定理求出，然后利用面积公式求解即可
设，分别在和中利用正弦定理，得出即可求解．
【靶向训练】
练3-3(2022·湖北省模拟)在中，是边上的中线，，，则的面积为 ．
练3-4(2022·云南省模拟) 如图所示，在四边形中，，且，，．
求的面积
若，求的长．
核心素养系列 数学建模、数学运算——解三角形的实际应用
三角函数是一种应用十分广泛的函数，常将一些代数问题、几何问题或某些实际应用问题通过三角代换，利用转化和化归的思想方法转化为三角问题来求解.
【方法储备】
1.距离问题
(1)类型:两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.
(2)解法:选择合适的辅助测量点构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.
2.高度问题
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
3.角度问题
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
4.求解解三角形实际应用问题的步骤
角度1 测量距离问题
【典例精讲】
例7.(2022·吉林省长春市模拟) 如图，从高为的气球上测量待建规划铁桥的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥的长为( )
A. B.
C. D.
【名师点睛】
本题考查了正弦定理，解三角形的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题.
【靶向训练】
练4-1(2022·福建省泉州市期末)为测量两塔塔尖之间的距离,某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面,，，，，，则塔尖之间的距离为( )
A. B. C. D.
角度2 测量高度问题
【典例精讲】
例8.(2022·山东省模拟)如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高
【名师点睛】
本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系．
中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得；在中，利用正弦定理求得；再在中，根据，计算求得结果
【靶向训练】
练4-2(2022·湖北省武汉市模拟)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点、、在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，为测量标杆间的距离，记为，、分别记为，，则该山体的高( )
A. B. C. D.
角度3 测量角度问题
【典例精讲】
例9.(2022·吉林省模拟)如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进米到达点，测得，则大坝的坡角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【名师点睛】
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了分析问题与解答问题的能力．
在中由正弦定理求得的值，在中由正弦定理求得,再利用诱导公式求出的值．
【靶向训练】
练4-3(2022·浙江省名校联考.多选)一艘轮船航行到处时看灯塔在的北偏东，距离海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该轮船由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向．下面结论正确的有( )
A. B.
C. 或 D.

易错点1．忽视解的讨论致误
例10.(2022·湖北省黄石市模拟)已知在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若此三角形有且只有一个，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
易错点2．正弦定理变形公式应用错误
例11.(2022·浙江省模拟)在中，若，，则( )
A. B. C. D.
易错点3．实际问题中题意理解错误
例12.(2022·山东省模拟)如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为( )
A. B. C. D.

答案解析
【教材改编】
1.【解析】如图，延长至，使得，连接和，得到平行四边形．
在三角形中，，，，
由正弦定理可得所以，，所以．
又因为，所以．
答案：．
2.【解析】由题意知海里，
，，，
在中，有正弦定理得，海里，
又在中，，由余弦定理可得
，海里，
救援船到达点需要的时间为小时．
答：该救援船到达点需要小时．
【考点探究】
例1.【解析】在中，，，
，．，由正弦定理得，
代入，，解得．的形状是等边三角形．
故选C．
练1-1.【解析】已知中，满足，
利用正弦定理整理得：，
转换为，所以，或，
若，整理得，与三角形的内角相矛盾；
若，整理得：，解得．故为直角三角形，
故选：．
练1-2.【解析】因为，由正弦定理得 ，
整理得：，即，
化简得：，即，
或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，
故选D．
例2.【解析】因为，所以，即，又，
由正弦定理得，则有，
因为，故，则有，所以，
由余弦定理可知，，
化简得到，解得或，
若，则，，与矛盾，故舍去，
所以，即，
．
故选AB．
练2-1.【解析】的内角，，的对边分别为，，，的面积为，
，，，．
故选C．
练2-2.【解析】,，解得，
所以，，
由正弦定理知：，，
故答案为：．
例3.【解析】，且，
，，
又，，，．
又，，．
由正弦定理，得
，
，令，
则，，
在时递减，在时递增，
因此时，．
练2-3.【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，．
练2-4.【解析】选①：在中，，由正弦定理得
，即，，．
选②：由正弦定理得
是三角形内角，，
，．
选③：，．
由余弦定理知， ，所以，
所以，所以，所以，
所以当且仅当时取等号，又因为，所以，
当时，周长有最大值．
例4.【解析】由及正弦定理，得，
又，所以，
即， 因为，，所以，
又，得．
方法一：因为点在边上，且，
所以
， ，
即，即，
由，可得，
即，当且仅当，即，时，等号成立，
所以面积的最大值为．
方法二：设，则，，
在中，由余弦定理，得 ，
即 ①；
同理，在中，由余弦定理，得 ②，
由消掉，得③
在中，由余弦定理，得，即，
把④代入③，得，
由，可得，即，
当且仅当，即，时等号成立，
所以面积的最大值为．
练2-5.【解析】在中，，
，整理得，
，，，
；
，
，，
．
在中，，
由余弦定理得：，
即，当且仅当时等号成立，
．
练2-6.【解析】，即为，
可得，
，，
若，可得，，
又，所以不成立，，
由，可得；
若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由为锐角三角形，可得且，解得，
可得面积
例5.【解析】在中，由余弦定理，得，
所以，化简得，解得，
所以，，所以，则．
又，则，所以，则，
又，所以．
由，，，，
得，．
在中，由余弦定理，得，则．
在中，由正弦定理，得，则．
练3-1.【解析】在中，因为，，，
所以，又因为，所以．
因为，，所以．
在中，由知：，
因此，即．
因为，所以．
练3-2.【解析】在中，，，，
由余弦定理得，故
又，，，四点共圆，从而与互补，故
从而在中，由正弦定理，
由知，，，又，
故为钝角，即为锐角，从而，
在中，由正弦定理
从而
四边形周长为，
所以四边形周长的最大值为．
例6.【解析】，，，
由余弦定理可得，，
，，或舍去，
所以
设，则，，
在中，，即，，
在中，，即，，
由，解得，
所以，又，，．
练3-3.【解析】设，，在中，
根据余弦定理有，可得，回代可得：，
可得：．
故答案为：．
练3-4.【解析】依题意 ，
因为，所以，所以
在三角形 中，由余弦定理可知，
所以 ．故AC，所以三角形是等腰三角形，
又，故，，
在三角形中，由正弦定理可知，所以，
得，．
例7.【解析】如图，由题意知，，
在中，，，
又由题意知，，，
在中，，
故选A．
练4-1.【解析】因为在中，，，则，所以，
在中，，，则，
在中，由，
则
故选B．
例8.【解析】在中，，，
，
又因为在中，，，
由正弦定理可得，解得，
所以在中，，
故答案为．
练4-2.【解析】由题意可知，，，，，
在中，，
所以在中，，则，同理可得，
所以，解得．
故本题选A．
例9.【解析】因为，，所以，
在中，由正弦定理得，解得米，
在中，由正弦定理得，所以，
又，所以，即．
故选：．
练4-3.【解析】如图，．
灯塔在的北偏西，距离为海里，，
轮船由处向正北航行到处时，
再看灯塔在南偏东方向上，所以，
由正弦定理 ，所以海里；
在中，，，，
由余弦定理可得： ，
所以海里；．．
故选ABD．
【易错点归纳】
例10.【解析】，
当时，，，三角形只有一解，
当时，，无解，当时，．
若，即，即时，，，有两解，有两解；
当时，，，，有一解；
当时，，，一定为锐角，只有一解，有一解，
综上所述，或三角形有且只有一解．
故选C．
例11.【解析】由，，根据正弦定理得：，可得：，，，则．
故选：．
例12.【解析】根据题意，可得中，，，，
中，，，
，
由正弦定理，得，
在中，．
故选：
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