（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题8.1复数的概念及运算

8.1 复数的概念及运算
课标要求 考情分析 核心素养
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 逻辑推理
2022(Ⅰ)卷 2 复数的四则运算
共轭复数
2022(Ⅱ)卷 2 复数的乘法运算
2021(Ⅰ)卷 2 复数的四则运算
共轭复数
2021(Ⅱ)卷 1 复数的几何意义
复数的除法运算
2020(Ⅰ)卷 2 复数的除法运算
2020(Ⅱ)卷 2 复数的乘法运算
1.复数的有关概念
名称 含 义
复数的定义 形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部，且．
复数的分类 ①若，则为实数； ②若，则为虚数； ③若且，则为纯虚数．
复数相等
复数间的关系 复数不能比较大小，若复数，则为实数
复数的模 设对应的复数为，则向量的长度叫作复数的模， 即
复数的共轭复数 与共轭.且
2.复数的几何意义
(1)复平面:建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,轴叫作实轴,轴叫作虚轴.如图所示：
(2)复数概念的几何意义
复数集和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的.如图所示：
(2)复数运算的几何意义
若复数，在复平面内对应的点为别为，
为坐标原点,若,不共线，
则复数是以,为邻边的平行四边形的对角线对应的复数；
复数是对应的复数.
(3)从几何意义理解复数的模
若复数，在复平面内对应的点为别为，
则表示点到原点的距离，表示点和之间的距离.
3.复数的四则运算
设，
运算法则 运算公式 复数的运算律
加法 加法交换律: 加法结合律:
减法
乘法 乘法交换律: 乘法结合律: 乘法分配律:
除法
1.复数的模与共轭复数的关系：
2.的乘方具有周期性：
3.利用复数相等列方程时，注意的前提条件.
4.解决复数模问题常用结论：
1.【P81 T7】若是虚数单位是关于的方程、的一个解，则等于( )
A. B. C. D.
2.【P73 T6】复数；
实数取什么数时，是实数；
实数取什么数时，是纯虚数；
实数取什么范围时，对应点在第三象限．
考点一　复数的基本概念
【方法储备】
1.解决复数问题，要先将复数变形为的形式，以确定实部和虚部.把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组解决复数分类、复数相等、复数的模和共轭复数的相关问题.
2.复数是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.
【典例精讲】
例1.(2022·湖北省武汉市期中.多选) 下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虛部相等
D. “”是“复数是虚数”的必要不充分条件
【名师点睛】
本题考查复数代数形式的乘法运算，复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数模的求法．
【靶向训练】
练1-1(2021·福建省泉州市模拟)已知，，是虚数单位，则 ； ．
练1-2(2022·江苏省扬州市模拟)设，，其中是虚数单位．
若是纯虚数，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
考点二　复数的运算
【方法储备】
1.复数代数形式综合运算问题的解题策略
2.复数相等：实部、虚部分别对应相等,列方程组求参数.
3.常用结论
①；②；③；④；⑤，，，．
4.复数范围内解方程
(1)在只含有的方程中, 类似于代数方程中的,可直接求解.
(2)在含有,,中至少两个的复数方程中,可设变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于的方程组,求出的值,从而得出复数.
角度1 复数代数形式的四则运算
【典例精讲】
例2.(2021·全国理科乙卷)设，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．
利用待定系数法设出，，是实数，根据条件建立方程进行求解即可．
【靶向训练】
练2-1(2022·辽宁省联考)复数( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·湖北省孝感市模拟.多选)已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )
A. B. C. D.
角度2 求复数的模
【典例精讲】
例3.(2021·全国文科甲卷)若，则( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题主要考查复数的模的运算以及共轭复数，复数的加减以及乘法运算，属于基础题．
【靶向训练】
练2-3(2022·江苏省南通市联考)已知复数的实部与虚部的和为，则( )
A. B. C. D.
练2-4(2022·陕西省模拟)已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
角度3 复数范围内解方程
【典例精讲】
例4.(2022·湖北省八市联考)年月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数在量子力学中的必要性，再次说明了虚数的重要性对于方程，它的两个虚数根分别为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查复数范围内方程的根与分解因式 ．对于方程，移项因式分解可得：，为实数根，要求虚数根，解方程即可．
【靶向训练】
练2-5(2022·广东省茂名市期末)复数为一元二次方程的一个根，
则复数 ．
练2-6(2022·天津市模拟)设，则方程的解为 ．
考点三　复数的几何意义
【方法储备】
复数的几何意义体现了数形结合思想的运用,处理这类问题常用方法
【特别提醒】(1)复数的对应点的坐标为，而不是；
(2)复数的对应向量是以原点为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
角度1复数概念的几何意义
【典例精讲】
例5.(2022·广东省梅州市联考)已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【名师点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，求出的坐标得答案．
【靶向训练】
练3-1(2022·山东省菏泽市月考)复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 ．
练3-2(2022·广东省六校联考)如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第( )象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
角度2复数模的几何意义
【典例精讲】
例6.(2022·广东省模拟)世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离，在复数平面内，复数是虚数单位，是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
复数的几何意义架起了复数与几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
【靶向训练】
练3-3(2022·江西省宜春市月考)已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C. 若，则复平面内对应的点位于第四象限
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
练3-4(2022·湖南省五市十校联考.多选)设复数、满足，则( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则

易错点1．混淆虚部定义致误
例7.(2022·福建省福州市期末)已知复数满足，则的虚部是 ．
易错点2．实数集与复数集的运算混淆致误
例8.(2022·山东省模拟)已知复数，，若为纯虚数，则
实数 ；
复数的平方根为 ．
易错点3．复数的几何意义应用错误
例9.(2022·浙江省舟山市期末.多选)已知复数 为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 对应的点在第三象限
B. 的虚部为
C.
D. 满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上
易错点4．混淆复数的表示与向量表示
例10.(2022·湖南省模拟)在复平面内，已知点对应的复数为，向量为复平面内坐标原点对应的复数为，则向量对应的复数为( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】是虚数单位是关于的方程、的一个解，
是此方程的另一个解．
根据根与系数的关系可得，解得．
故选C．
2.【解析】复数．
由，解得或．或时，复数为实数．
由，解得．时，复数为纯虚数．
由对应点在第三象限．可得解得．
所以当，对应点在第三象限．
【考点探究】
例1.【解析】若，则，故A正确；
B.设，．
由，得，
则，
而不一定等于，故B错误；
C.，为纯虚数，其实部与虚部不等，故C错误；
D.复数是虚数则，即，
故“”是“复数是虚数”的必要不充分条件，故D正确．
故选：．
练1-1. 【解析】，，是虚数单位，，，，
解得，，或．则，
故答案为：；．
练1-2.【解析】依题意得
所以实数的取值范围是；
依题意得，所以，
检验：当时，，满足符合题意．
所以实数的取值范围是．
例2.【解析】设，，是实数，则，
则由，得，
得，得，得，，即，
故选：．
练2-1.【解析】复数．
故选：．
练2-2.【解析】根据题意，中，
时，；
时，；
时，；
时，，．
选项A中，；选项B中，；
选项C中，；选项D中，．
故选BC．
例3.【解析】由，故，．
故选D.
练2-3.【解析】因为，
所以，解得，则，所以．
故答案选：．
练2-4.【解析】设都为实数，则，
因为，所以，
即，所以，，则，
故，所以．
故选D．
例4.【解析】对于方程，移项因式分解可得：，为实数根，
要求虚数根，解方程即可．
对于方程，移项因式分解可得：，
为实数根，要求虚数根，解方程即可，解得．
故选CD．
练2-5.【解析】为一元二次方程的一个根，
为一元二次方程的另一个根，
，，，，
．
故答案为：．
练2-6.【解析】变形为，
由题意设，，，代入可得，
由复数相等的定义可得解得，
故方程的解为，
故答案为．
例5.【解析】由，得，，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
练3-1.【解析】所对应的点在第二象限，
解得．
故答案为：
练3-2.【解析】由复数的几何意义知，，则，
对应的点的坐标为位于第二象限．
故答案选：．
例6.【解析】，
为纯虚数，，即．
，则，为曲线上的动点，
其轨迹为以原点为圆心，以为半径的圆，则与之间的最小距离为．
故选：．
练3-3.【解析】对于，因为，故A正确；
对于，因为两个虚数不能进行大小比较，故B错误；
对于，因为，所以，
所以复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故C错误；
对于，若复数满足，
则在复平面内对应的点的轨迹是以和为端点的线段的垂直平分线，故D正确．
故选：．
练3-4.【解析】令、均为实数，则、均为实数，
，，当不为零时，二者不相等，故A错误；
，，故B正确；
若，则，
所以，所以，故C正确；
若，则，所以，
所以点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，
，表示此圆上的点到原点的距离，
圆心到原点的距离为，故坐标原点在此圆的外部，
圆上的点到原点距离的最大值就是圆心到原点的距离加上半径，
圆上的点到原点距离的最小值就是圆心到原点的距离减去半径，
所以，所以，由项知，所以，故D正确．
故选：．
【易错点归纳】
例7.【解析】由，
得，
的虚部是．
故答案为：．
例8.【解析】复数，，
为纯虚数，
，且，．
由可得复数，设的平方根为，、，
则，，．解得，或，
的平方根为，或．
例9.【解析】由题意，复数，
所以复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以A正确；
由，可得复数的虚部为，所以B正确；
由，所以不正确；
由，
所以满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，所以不正确．
故选：．
例10.【解析】点对应的复数为，即向量对应复数为，
又向量对应的复数为，
向量，
故对应的复数为．
故选D.
共11页/第1页