（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题9.1空间几何体的结构特征及表面积与体积

9.1 空间几何体的结构特征及表面积与体积
课标要求 考情分析 核心素养
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题； 3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简易组合)的直观图. 新高考3年考题 题号 考 点 数学运算 逻辑推理 直观想象
2020(Ⅰ)卷 16 球（切、接、截）
2020(Ⅱ)卷 13 棱锥的体积
2021(Ⅰ)卷 3 圆锥的结构特征
2021(Ⅰ)卷 20（2） 棱锥的体积
2021(Ⅱ)卷 5 棱台的体积
2022(Ⅰ)卷 4 棱台的体积（数学应用）
2022(Ⅰ)卷 8 棱锥体积（最值问题）
2022(Ⅱ)卷 7 球（内接四棱台）
2022(Ⅱ)卷 11 棱锥体积
1.多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，不一定相等 延长线交于一点，不一定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
特殊的棱柱和棱锥
（1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（2）平行六面体：六个面都是平行四边形直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体长方体：底面是矩形的直棱柱正四棱柱：底面是正方形的直棱柱正方体：侧棱和底面边长相等的正四棱柱.
（3）正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心正四面体：各棱长均相等的正三棱锥.
旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形
旋转轴 任一边所在的直线 任一条直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线
母线 相互平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
3.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
1. 斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变” “三不变”
2. 与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
3．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
1．【P119 习题1】正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为( )
A. B. C. D.
2．【P120 习题3】如图，在高为的直三棱柱容器中，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为如图，则容器的高为( )
A. B. C. D.
考点一　空间几何体的结构
【方法储备】
1. 关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．
2. 圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
3. 既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
【典例精讲】
例1. (2022·江苏省镇江市·期中考试.多选)关于基本立体图形，下列说法正确的是( )
A. 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫棱柱
B. 棱锥的底面是多边形，侧面可以是四边形
C. 将棱台的侧棱延长后必定交于一点
D. 将直角三角形绕着其一边旋转一周形成的图形叫做圆锥
【名师点睛】
主要掌握常见空间几何体（柱，锥，台）的基本结构特征，特别是三棱柱、四棱柱、长方体、正方体、三棱锥、四棱锥等重要的几何模型.
【靶向训练】
练1-1 (2022·云南省昆明市·期中考试)下列结论错误的是( )
A. 圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B. 一个棱锥至少有四个面
C. 一个棱柱至少有两个面平行
D. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
练1-2 (2022·河北省衡水市·期中考试)下列说法正确的是( )
A. 等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥
B. 过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径
C. 棱锥的侧棱一定相等
D. 正三角形的平面直观图一定是等腰三角形
考点二　空间几何体中的的截面问题
【方法储备】
(1)定义：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部）叫做这个几何体的截面；
(2)画法：常通过“做平行线”或“延长直线找交点”作出完整的截面，作截面是立体几何非常重要的方法；
(3)作用：作截面可将陌生的空间问题转化为熟悉的平面问题（转化化归思想）.
【典例精讲】
例2. (2021·安徽省·单元测试)如图，在正方体中，点为棱的中点，用平行于体对角线且过点，的平面去截正方体，得到的截面的形状是( )
A. 平行四边形 B. 梯形
C. 五边形 D. 以上都不对
【名师点睛】
结合空间线、面平行或垂直的判定定理与性质定理求截面问题.
【靶向训练】
练2-1 (2022·全国·月考试卷)已知正方体的棱长为，以为球心，半径为的球面与底面的交线的长度为 ．
练2-2 (2020·四川省乐山市·月考试卷)如图，长方体中，，，点是线段的中点，点在线段上，，则长方体被平面所截得的截面面积为( )
A. B. C. D.
考点三　空间几何体的表面积与体积
【方法储备】
求解几何体表面积的类型及求法：
求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．
求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何体特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系．
求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积．
2. 求空间几何体的体积的常用方法：
【典例精讲】
例3. (2022·全国·月考试卷)在棱长为的正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为 ．
【名师点睛】
将一个不规则几何体拆成结构简单的几何体（割补法），将求解问题简化.
【靶向训练】
练3-1 (2022·全国·模拟题)已知一圆柱的底面半径与球的半径均为，且该圆柱的体积与球的体积也相等，则该圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
练3-2 (2020·湖南省·期中考试)已知正方体的棱长为，点是对角线上靠近点的三等分点，则三棱锥的体积为 ．
考点四　与球有关的切、接问题
【方法储备】
1.解决与球“外接”问题的方法
(1)构造正(长)方体等特殊几何体，转化为特殊几何体的外接球问题．
(2)空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当截面(过球心，接点等)．
(3)利用球与截面圆心的连线垂直于截面，确定球心所在的直线．
(4)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
2. 几何体内切球问题的求解策略
(1)体积分割法求内切球半径．
(2)作出合适的截面(过球心、切点等)，转化为平面图形求解．
(3)多球相切的问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题．
【典例精讲】
例4. (2022·安徽省·模拟题)已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型如图，其外接球球心就是上下底面外接圆圆心连线的中点．
例5. (2022·四川绵阳·月考)在三棱锥中，，，，的面积分别记为，，，且，则此三棱锥的内切球的半径为( )
A. B. C. D.
【靶向训练】
练4-1 (2021·云南省·期末考试)已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
练4-2 (2022·全国·联考题)已知正方形的边长为，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为 ( )
A. B. C. D.
考点五　空间几何体上的最短路径问题
【方法储备】
空间几何体展开图的应用是关键
1．应用展开图可以解决以下问题：
(1)求几何体表面积或侧面积,或其他相关量；
(2)求几何体表面上两个点的最短表面距离．
2．找到几何体的展开图和原几何体的形状与数量关系是解决此类问题的重点．
【典例精讲】
例6. (2021·福建省·月考题)在长方体中，，，，，分别为棱，的中点，则从点出发，沿长方体表面到达点的最短路径的长度为( )
A. B. C. D.
【名师点睛】
本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查分类讨论和数形结合的解题思想方法，想到剪展的所有情况是解题的关键．由题意画出图形，把问题转化为从小长方体 的一个顶点到另一顶点的表面最短距离问题．分类剪展求出最小值，求最小值中的最小者得答案．
【靶向训练】
练5-1 (2022·安徽省·模拟题)如图，正方体棱长为，点在正方体的表面上，定义每一点均在正方体表面上的一条路线为一条路径，已知点到的最短路径长，则的最大值为
练5-2. (2021·全国·期中考试)如图，已知圆柱的高，平面为圆柱的轴截面，现有一质点从点出发，沿着圆柱的侧面绕行两圈半后到达点的最短路线的长为，则该几何体体积为( )
A. B. C. D.
核心素养系列 直观想象——空间几何体的应用与数学文化
【典例精讲】
例7. (2020·湖北省孝感市·月考试卷)如图，某校教学楼可看作由一个半球与两个长方体拼接而成的几何体，若半球的半径为米，米，米，米，米，米，由于该楼年久失修，需要用涂料刷满其外表面不计地面，则需要刷涂料( )
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米
【名师点睛】
本题需将需要涂刷的面积转化为空间几何体的表面积问题进行求解,组合体的表面积应注意重合部分的处理
【靶向训练】
练6-1 (2022·广东·月考试卷)如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为，高为的圆锥的侧面积的，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为( )
A. B. C. D.
练6-2 (2022·河北省唐山市·期中考试)下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为、底面边长为的正三棱锥，后段是高为的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为( )
A. B. C. D.
易错点1 柱、锥、台结构特征判断中的误区
例8. (2021·全国·模拟题)在正方体上任意选择个顶点，它们可能是如下各种几何形体的个顶点，这些几何形体是 写出所有正确结论的编号
矩形；
不是矩形的平行四边形；
有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
每个面都是等边三角形的四面体；
每个面都是直角三角形的四面体．
易错点2 几何体相关运算中考虑不全
例9. (2020·全国·同步练习)用长、宽分别是和的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是 ．
易错点3 球形与其它图形的组合图形把握不准
例10. (2021·全国·单元测试)已知三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等．若点，，，都在半径为的球面上，则球心到平面的距离为( )
A. B. C. D.
答案解析
【教材改编】
1.【解析】由边长为，可得正八面体上半部分的斜高为，
高为，则其体积为，
其表面积为，
所以此正八面体的体积与表面积之比为．
故选：．
2.【解析】由图得灌进的水的体积为，
由图得灌进的水的体积为，
则由，解得．
故答案选：．
【考点探究】
例1.【解析】对于，由棱柱的定义得：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫棱柱，故A正确；
对于，由于棱锥的所有侧棱都交于一点，故棱锥的侧面都是三角形，故B错误；
对于，由棱台的定义得：将棱台的侧棱延长后必定交于一点，故C正确；
对于，将直角三角形绕斜边为轴旋转一周形成的图形不是圆锥，故D错误．
故本题选AC．
练1-1【解析】对于，由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱，可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确；
对于，由三棱锥是四面体，可得一个棱锥至少有四个面，故B正确；
对于，由棱柱是由两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，故C正确；
对于，必须用一个与底面平行的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故D错误．
故本题选D．
练1-2【解析】对于，当绕等腰直角三角形的斜边旋转一周所得为两个圆锥的组合体，故A错误；
对于，过球心的截面圆半径最大，即为球的半径，故B正确；
对于，棱锥的侧面是有公共的顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故C错误；
对于，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成，其不为等腰三角形，故D错误．
故选B.
例2.【解析】如图，
设截面为，设 ， 为的靠近于的三等分点， 为 的靠近于的三等分点，
由可得平面与的交线平行于，
又，所以平面 ，
又平面 与两平行平面 ， 的交线应互相平行，
平面 ，由 且 ，可得截面 为梯形，
故选B．
练2-1【解析】根据已知条件求得截面圆的半径，
球与底面的交线是截面圆的一部分，对应的圆心角为，
故交线长度为．
练2-2【解析】如图，易知为的中点，，分别为，的三等分点，
因此截面为五边形，此五边形由与梯形所组成，
其中，，，，
．
故选：．
例3.【解析】因为该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥，且圆锥的底面半径，高，
故 ．
故答案为：．
练3-1.【解析】设圆柱的高为，由圆柱的体积与球的体积相等得，则，
所以该圆柱的侧面积为，
故选D．
练3-2.【解析】点是对角线上靠近点的三等分点，
到底面的距离，
又，
．
故答案为：．
例4.【解析】根据直三棱柱的顶点都在球上，且，，，
在中，为外接圆的直径，
设外接球的半径为，所以，
所以，
故选：．
例5.【解析】，
，
，
解得，，
由余弦定理可得，，
取的中点，连接，，如图：
可得，，，，，
所以，
所以平面，内切球半径．
练4-1【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
则侧面积为，
底面圆的周长为，
由解得，，
所以．
设圆锥外接球的半径为，画出轴截面图形，如图所示：
由勾股定理得，解得，
所以外接球的表面积为．
故选：．
练4-2【解析】作图如下：
由题意可得，，，构造以，，为棱长的长方体，
长方体的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：，所以球的半径为，
设内切球为，
利用体积相等得，
解得
故三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为．
故选C．
例6.【解析】如图，
，分别为棱，的中点，
问题可转化为从小长方体 的一个顶点到另一顶点的表面最短距离问题．
共有三种剪展方法：
沿剪开再展开，此时最短距离为；
沿剪开再展开，此时最短距离为；
沿 剪开再展开，此时最短距离为．
从点出发，沿长方体表面到达点的最短路径的长度为．
故选：．
练5-1【解析】作出侧面和上底面的展开图如图所示：
设到直线的距离为，到的距离为，可知：，
则，显然当时，取得最大值．
故答案为：．
练5-2【解析】设圆柱的底面半径为，根据题意，利用分割法将圆柱分割为三个圆柱，然后将这三个圆柱的侧面展开，如图所示，则可知所求最短路线的长为，
则可知所求最短路线的长为，解得，
所以该几何体的体积为．
故选A．
【素养提升】
例7.【解析】前面和后面需涂料的面积皆为平方米，
左侧和右侧需刷涂料的面积皆为平方米，
上面除去球面需刷涂料的面积为平方米，
半球面需刷涂料的面积为平方米，
故外表面一共需要刷涂料的面积为平方米．
故选：．
练6-1.【解析】设圆锥的母线长为，二宜楼的高为，又因为底面直径为，高为
则圆锥的母线长为，
由题得，
所以．
故答案选：．
练6-2.【解析】铜镞由两部分组成，前段是高为、底面边长为的正三棱锥，
正三棱锥的底面正三角形边长为，设正三角形内切圆半径为，
由等体积法得：，
解得，其内切圆半径为，
由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为：
故选：．
【易错点归纳】
例8.【解析】如图：正确，如图四边形为矩形；
错误任意选择个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形为正方形，四边形为矩形；
正确，如四面体；
正确，如四面体；
正确，如四面体；
则正确的说法是．故答案为．
例9.【解析】设圆柱的底面半径为，
若以长的边为底面周长，则圆柱的底面周长，，
若以长的边为底面周长，则圆柱的底面周长，，
故答案为：或．
例10.【解析】三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等，
此三棱锥的外接球即以，，为三边的正方体的外接球，且体对角线为球的直径，
球的半径为，设正方体的边长为，则有，解得，
正方体的边长为，即，
球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离，
设到截面的距离为，则正三棱锥的体积：
，
由勾股定理易知为边长为的正三角形，
，则，
，
由正方体的几何形状可知，直线经过三棱锥以为顶点的高线，
所以球心到平面的距离为，
球心即正方体中心到截面的距离为．
故选C．
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