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中考专题中的分类讨论
———坐标系中等腰三角形的确定（学案）
先学后教
探索：已知线段AC，在平面上找点T，使以点A、C、T为顶点的三角形是腰三角形，这样的点T有多少个？点T在什么图形上？请画图说明.
思考： 画图过程中体现了哪个数学思想？
大胆尝试：
1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A在x轴上，点C在y轴上，若T是坐标轴上一点，且满足以点A、C、T为顶点的三角形是等腰三角形，请你通过画图，在坐标系中找出点T的位置；
2. 如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，在抛物线上找点T，且满足以点C为顶角顶点，线段CA的三角形是等腰三角形，请你通过画图，在坐标系中找出点T的位置．
精讲拓展 交流互动
引例
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2,0）和C（0，4），若T是坐标轴上一点，且满足TA=CT，直接写出点T的坐标．
【思维拓展】
问题1 若将TA=CT改为TC=AC，且点T在坐标轴上，其他条件不变，请直接写出点T的坐标．
问题2 你能对问题1进行类似的改编吗？
问题3 如图，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和B（4，0），与y轴交于点C，在坐标轴上找点T，使△TAC为等腰三角形，请直接写出点T的坐标．
问题4 如图，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和B（4，0），与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上找点T，使△TAC是以AC为底的等腰三角形，请直接写出点T的坐标．
【思维再拓展】
问题5 抛物线与x轴交于点A（-2,0）和 B（4，0），与y轴交于点C，
（1）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点B、P、C为顶 点的三角形为等腰直角三角形？若存在，直接求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，探究坐标轴上是否存在点P，使得以点B、P、D、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接求出点P坐标，若不存在，请说明理由.
备用图
及时反馈
课堂检测
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（-1，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点的坐标．（2011·北京中考·17题）
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使用教材：人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册
课题：中考专题中的分类讨论—坐标系中等腰三角形的确定
教学任务分析
教学目标 1.经历深入具体的探究一道题，较好的理解“坐标系中直角三角形的确定”一类题；2.会在具体的情境中灵活运用等腰三角形的性质、列方程、相似、勾股定理等解决问题；3. 通过变式题训练，培养学生比较全面的观察问题、认识问题、分析问题、解决问题的方法和能力；4.通过独立思考与合作探究，培养学生学科兴趣、增强学好数学的信心．
重点
难点
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1 复习回顾 引入新知 复习回顾平面中通过已知一条线段构造等腰三角形的画法，渗透分类讨论的数学思想.
活动2 例题解析 探究思路 通过例题，使学生能通过构造等腰三角形解决问题，探究出一般解题思路及方法.
活动3 应用迁移 巩固提高 通过变式迁移，使学生在不同问题情境下决问题，从中找到解决问题不变的方法，提示学生识图能力，推理能力.
活动4 归纳小结 布置作业 回顾梳理，从知识和方法两方面总结本节课所学到的内容.
活动5 课堂检测 反馈效果 通过课堂检测及时了解学生本节课的掌握情况，保证复习的实效性.
课前准备
教具：教学课件PPT，本课导学案.
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动1]探索：已知线段AC，在平面上找点T，使以点A、C、T为顶点的三角形是腰三角形，这样的点T有多少个？点T在什么图形上？请画图说明.. 思考： 画图过程中体现了哪个数学思想？你分类的标准是什么？大胆尝试：1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2,0）和C（0，4），若T是坐标轴上一点，且满足以点A、C、T为顶点的三角形是等腰三角形，请你通过画图，在坐标系中找出点T的位置；2. 如图，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和B（4，0），与y轴交于点C，在抛物线上找点T，且满足以点C为顶角顶点，线段CA为腰的三角形是等腰三角形，请你通过画图，在坐标系中找出点T的位置． 教师提出问题：学生展示预习结果：探索：思考：分类讨论思想大胆尝试：1.2.教师重点关注：学生能否正确画出图形，找到所求点的位置. 找到基本图形：“两圆一中垂线” 通过给学生足够的时间、空间去自主发掘探究，再小组合作；学生自己分析、讲解，使问题得到较好的解决，充分锻炼学生的思维能力、口语表达能力、胆量.
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动2]引例如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2,0）和C（0，4），若T是坐标系中一点，且满足TA=CT，直接写出点T的坐标．思考：解决这种问题的一般步骤是什么？ 教师展示例题，师生一起分析解题思路后，学生试着探究引例.师生共同解题：T 1（0，3/2）T 2（3，0）教师应重点关注：（1）学生能否熟练地找到所求点的位置；（2）学生能否准确地求出相应点的坐标. 通过例题，使学生能应用基本图形解决问题，将知识向能力转化，同时训练学生清晰、有条理地表达自己的思路，做到言之有理、落笔有据.
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动3]问题1 若将TA=CT改为TC=AC，且点T在坐标轴上，其他条件不变，请直接写出点T的坐标．问题2 你能对问题1进行类似的改变吗？ 教师出示问题1，学生独立完成.师生共同订正答案：T 1（0，,）T 2（2,0）T 3（-+4,0）教师出示问题2，学生试着对问题1进行变式后独立完成.师生共同订正答案：T 1（--2,0）T 2（-2,0）T 3（0,-4） 应用一题多变可以较容易的用类比对本节课做小结，让学生站在系统的高度把握知识.在练习本节所学之后，适当向横、纵拓展，通过扩大思维含量锻炼学生解决综合问题的思维..
教学环节 师生行为 设计意图
[活动3]问题3 如图，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和B（4，0），与y轴交于点C，在坐标轴上找点T，使△TAC为等腰三角形，请直接写出点T的坐标．问题4 如图，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和B（4，0），与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上找点T，使△TAC是以AC为底的等腰三角形，请直接写出点T的坐标． 教师出示问题3,学生回答，教师引导学生相互补充完善答案：T 1（--2,0）T 2（-2,0）T 3（0,-4）T 4（0，,）T 5（2,0）T 6（-+4,0）T 7（0，3/2）T 8（3，0）教师出示问题4，学生试着对问题1进行变式后独立完成.师生共同订正答案：
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动3]问题5 抛物线与x轴交于点A（-2,0）和 B（4，0），与y轴交于点C， （1）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点A、P、C为顶 点的三角形为直角三角形？若存在，直接求出点P坐标， 若不存在，请说明理由； （2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点B、P、C为顶 点的三角形为等腰直角三角形？若存在，直接求出点P坐 标，若不存在，请说明理由；（3）点D为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点P，使得以点B、P、D、O为顶点的四边形形为平行四边 形？若存在，直接求出点P坐标，若不存在，请说明理由. 教师出示问题5，学生解答.教师注意引导学生寻找基本图形，确定条件，并应用它解决问题。
教学环节 师生行为 设计意图
[活动4]（1）谈谈本节课的收获与体会.（2）布置作业. 学生回答，教师引导学生相互补充完善. 总结提升，明确本节课应该掌握的知识点和思想方法.
[活动5]课堂检测: （2011北京市中考第17题） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（-1，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点的坐标． 学生完成检测内容. 通过课堂检测及时了解学生本节课的掌握情况，保证复习的实效性.
板书设计坐标系中等腰三角形的确定 腰 两圆线段AC 底 一线
例题
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创设情境
引入新知
探索
已知线段AC，在平面上找点T，使以点A、C、T为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点T有多少个？点T在什么图形上？请画图说明.
先学后教
大胆尝试
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A在x轴上，点C在y轴上，若点T是坐标轴上一点，且满足以点A、C、T为顶点的三角形是等腰三角形，请你通过画图，在坐标系中找出点T的位置．
先学后教
创设情境
引入新知
大胆尝试
2. 如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，在抛物线上找点T，且满足点C为顶角顶点，线段CA为腰的三角形是等腰三角形，请你通过画图，在坐标系中找出点T的位置.
先学后教
创设情境
引入新知
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2,0）和C（0，4），点T在坐标轴上，且满TA=CT，直接写出点T的坐标．
例题探思路
点T的坐标
TA=TC
分析：
引例
构造等腰△
点T的位置
精讲拓展 交流互动
若将TA=CT改为TC=AC，且点T在坐标轴上，其他条件不变，请直接写出点T的坐标．
思维拓展
精讲拓展 交流互动
问题1
你能对问题1进行类似的改编吗？
思维拓展
精讲拓展 交流互动
问题2 （请你出题）
抛物线 与x轴交于点A（-2,0）
和B（4，0），与y轴交于点C，在坐标轴上找点
T，使△TAC为等腰三角形，请直接写出点T的坐标．
思维拓展
精讲拓展 交流互动
问题3
抛物线 与x轴交于点A（-2,0）
和B（4，0），与y轴交于点C，在抛物线的对称
轴上找点T，使△TAC是以AC为底的等腰三角
形，请直接写出点T的坐标．
思维拓展
精讲拓展 交流互动
问题4
抛物线 与x轴交于点A（-2,0）
和B（4，0），与y轴交于点C，
（1）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点B、P、C为顶
点的三角形为等腰直角三角形？若存在，直接求出点P坐
标，若不存在，请说明理由；
思维再拓展
精讲拓展 交流互动
问题5
抛物线 与x轴交于点A（-2,0）
和B（4，0），与y轴交于点C，
（2）点D为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在
点P，使得以点B、P、D、O为顶点的四边形为平行四边
形？若存在，直接求出点P坐标，若不存在，请说明理由.
思维再拓展
精讲拓展 交流互动
问题5
课堂小结
在这短短的课堂时间里，你有哪些收获？
1、在知识上…
2、在技能上…
3、在思想上…
精讲拓展 交流互动
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点为A（-1，n）．
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点 的坐标． （2011·北京中考·17题）
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及时反馈
课堂检测
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布置作业
完成学案
