2022-2023学年苏科版八年级数学上册2.4线段、角的轴对称性 同步知识点分类训练 （word、含解析）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》
同步知识点分类训练（附答案）
一．角平分线的性质
1．如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，PM⊥AB于点M，PM＝3，则点P到AC的距离是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
4．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．7
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则边AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线．若AC＝6，AB＝10，则S△ABD：S△ACD为（　　）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5
7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BOC：S△CAO＝　 　．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为　 　．
9．如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD＝5，BE＝2，则AB的长是　 　．
10．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝5cm，AC＝12cm，则△APC的面积是　 　cm2．
11．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
13．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB＝AD，BC＝DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．
求证：CE＝CF．
14．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C＝180°．
15．已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．
求证：PA＝PD．
二．线段垂直平分线的性质
16．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（　　）
A．65° B．60° C．70° D．80°
17．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　）
A．24° B．30° C．32° D．36°
18．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（　　）
A．16.5 B．17 C．18 D．20
20．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC＝10cm，BC＝7cm，则△BCD的周长是　 　．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝　 　．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，DE是斜边AB的中垂线，交AC于点E，△EBC的周长为14，则AB＝　 　．
23．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为5cm，则△ADE的周长为　 　cm．
24．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．
25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
若∠A＝35°，求∠CBE的度数；
26．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝72°，∠FAE＝18°，求∠C的度数．
27．如图，△ABC中，∠BAC＝110°，BC＝10，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，求：
（1）∠PAQ的度数；
（2）△APQ的周长．
28．如图，已知CD是AB的中垂线，垂足为点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若线段CE的长为3cm，BC的长为4cm，求出BF的长．
29．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF＝2CF．
参考答案
一．角平分线的性质
1．解：过点P作PN⊥AC于N，
∵AD是∠BAC的角平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，PM＝3，
∴PN＝PM＝3，即点P到AC的距离是3，
故选：C．
2．解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．
故选：A．
3．解：如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝7，
∴S△ADB+S△ADC＝7，
∴×AB×DE+×AC×DF＝7，
∴×4×2+×AC×2＝7，
解得：AC＝3．
故选：A．
4．解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝5．
故选：B．
5．解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4
故选：B．
6．解：作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴S△ABD＝×AB×DE，S△ACD＝×AC×DC，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：6＝5：3，
故选：A．
7．解：过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F．
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，OD⊥BC，OE⊥AC于，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三边AB、BC、AC长分别为100，110，120，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝（×AB×OF）：（BC×OD）：（×AC×OE）
＝BA：CB：CA
＝100：110：120
＝10：11：12．
故答案为：10：11：12．
8．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，即DC⊥AC，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝AB DE＝×10×3＝15．
故答案为：15．
9．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴∠DAC＝∠FAC，∠FBC＝∠EBC，
在△ADC和△AFC中，
∵，
∴△ADC≌△AFC（AAS），
∴AD＝AF，
在△CBE与△CBF中，
∵，
∴△CBE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，
∴AB＝AF+BF＝AD+BE＝5+2＝7，
故答案为：7．
10．解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC＝90°，PB＝5cm，
∴点P到AC的距离等于5cm，
∵AC＝12cm，∴△APC的面积＝12×5÷2＝30cm2，
故答案为30．
11．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
12．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
13．证明：连接AC，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠DAC＝∠BAC．
又∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE＝CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
14．证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD＝∠C，
∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°．
15．证明：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PA＝PD．
二．线段垂直平分线的性质
16．解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB＝EA，FA＝FC，
∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵△ABC中，∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝50°，
∴∠BAE+∠FAC＝50°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝80°；
故选：D．
17．解：∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB，
∵∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝（180°﹣60°﹣24°）＝32°．
故选：C．
18．解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
19．解：在Rt△ABC中，AD＝DB，
∴AB＝2CD＝13，
∴AC＝12，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+AE＝BC+AC＝17，
故选：B．
20．解：∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD＝BD，
∵AC＝16cm，BC＝10cm，
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+10＝17（cm）．
故答案为：17cm．
21．解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴S△ADE＝S△BDE，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△BDE≌△BCE（AAS），
∴S△BDE＝S△BCE，
∴S△AED：S△ABC＝1：3，
故答案为：1：3．
22．解：∵DE是斜边AB的中垂线，
∴EA＝EB，
∵△EBC的周长为14，
∴BC+CE+EB＝14，
即：BC+AC＝14，
∵BC＝6，
∴AC＝14﹣6＝8，
∴AB＝10，
故答案为：10．
23．解：∵△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∵边BC长为5cm，
∴BD+DE+EC＝5cm，
∴AD+ED+AE＝5cm，
故答案为：5．
24．解：∵△BCE的周长为8，
∴CE+BE+BC＝8，
又∵BC＝3，
∴CE+BE＝5，
又∵DE是AC的中垂线，
∴EC＝EA，
∴AB＝AE+BE＝CE+BE＝5．
25．解：∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝55°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠EBA＝55°﹣35°＝20°；
26．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴FAC＝∠EAC+∠EAF＝∠EAC+18°，
∵AF平分∠BAC，
∴BAC＝2∠FAC＝2∠EAC+36°＝2∠C+36°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴72°+2∠C+36°+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°．
27．解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠A，∠CAQ＝∠C，
∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝40°；
（2）∵BC＝10，
∴△APQ的周长为：AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC＝10．
28．解：（1）∵CD是AB的中垂线，
∴AC＝BC，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF；
（2）∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴AE＝BF，
∵CE＝3cm，BC＝4cm，
∴BF＝AE＝AC﹣CE＝BC﹣CE＝1（cm）．
29．证明：连接AF，（1分）
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝＝30°，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF＝AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC＝∠C＝30°（等边对等角），
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△ABF中，∠B＝30°，
∴BF＝2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴BF＝2CF（等量代换）．