2022-2023学年苏科版八年级数学上册2.4线段、角的轴对称性 解答题专项练习题（word、含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》
解答题专项练习题（附答案）
1．如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
（1）求∠B的度数．
（2）若DE＝5，求BC的长．
3．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
5．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长．
6．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
7．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB＝16，AC＝6，DE＝5．求△ADF的面积．
9．如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．
10．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O．
（1）求证：点O在BC的垂直平分线上：
（2）若AB＝AC＝10，BC＝12，则OA＝　 　．
11．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
（1）若AB＝12cm，求△MCN的周长；
（2）若∠ACB＝118°，求∠MCN的度数．
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：
（1）∠EAD＝∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠EAC＝∠B．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
15．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数　 　°．
16．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
17．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．
18．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC＝10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度数．
19．如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．
（1）求证∠B＝∠C；
（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE＝BF．
21．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
参考答案
1．证明：∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，
∴∠ABE＝90°，∠AED＝90°，∠4+∠1＝90°，
∴∠3+∠6＝90°，∠6+∠5＝90°，
∴∠3＝∠5，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°，
∴DC⊥BC．
2．解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠2＝∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；
（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝10，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝5，
∴BC＝CD+BD＝15．
3．解：（1）过点P作PD⊥BC于D，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PF；
（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAP＝＝30°．
4．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
5．解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
S△ABC＝×16 DE+×12 DF＝70，
所以，14DE＝70，
解得DE＝5．
6．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵AD＝AD，
Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC．
7．证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°．
在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DF＝DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
8．解：过D点作DM⊥AB，垂足为M，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，
∴DM＝DE＝5，
∴，，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝40+15＝55，
∵AF是△ABC的中线，
∴，
∴S△ADF＝S△ACF﹣S△ACD＝27.5﹣15＝12.5．
9．解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∵AC是∠BAE的角平分线，
∴∠BAC＝∠BAE＝25°；
（2）∵S△ADC＝DC AE，
∴×DC×8＝16，
∴DC＝4，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝8．
10．（1）证明：连接OA，
∵AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上：
（2）解：延长AO交BC于D，
∵AB＝AC＝10，
∴A点在BC的垂直平分线上，
∵点O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∵BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝，
∴OD＝8﹣AO，
在Rt△BDO中，BO2＝BD2+OD2，
∴OA2＝62+（8﹣AO）2，
解得OA＝，
故答案为：．
11．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∵AB＝12cm，
∴△MCN的周长是CM+MN+CN
＝AM+MN+BN
＝AB
＝12cm；
（2）∵∠ACB＝118°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝62°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝62°，
∵∠ACB＝118°，
∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝118°﹣62°＝56°．
12．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD是∠BAC平分线，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠B．
13．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
14．（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
15．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝32cm，
∴OA＝OB＝OC＝10cm；
（3）∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．
故答案为：（2n﹣180）．
16．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB平分线．
17．解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长14cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝8cm，
即2DE+2EC＝8cm，
∴DE+EC＝DC＝4cm．
18．解：（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∵BC＝10，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10；
（2）∵AE＝BE，AF＝CF，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝52°，
∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝76°．
19．（1）证明：∵AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，
∴AH是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC．
∴∠B＝∠C；
（2）解：∵AH⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，
∴∠AHB＝∠EFB＝90°．
∴AH∥EF．
∴∠BAH＝∠E，∠CAH＝∠AME．
∴∠E＝∠AME．
∴AM＝AE＝2．
∵AB＝AC＝5，
∴CM＝AC﹣CM＝3．
∵AH∥EF，
∴MF＝．
20．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AC，
∴CE＝BF．
21．（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A＝46°，
∴∠ABE＝∠A＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，
∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．