2022-2023学年北师大版九年级数学上册1.2 矩形的性质与判定同步练习（Word版含答案）

北师大版九上 1.2 矩形的性质与判定
一、选择题（共15小题）
1. 如图，在 中，，点 是 的中点，，则 的长是
A. B. C. D.
2. 直角三角形的斜边长为 ，则斜边上的中线长为
A. B. C. D.
3. 已知：线段 ，，．求作：矩形 ．
甲：（1）以点 为圆心， 长为半径画弧．
（2）以点 为圆心， 长为半径画弧．
（3）两弧在 上方交于点 ，连接 ，，则四边形 即为所求（如图 ①）．
乙：（1）连接 ，作线段 的垂直平分线，交 于点 ．
（2）连接 并延长，在延长线上取一点 ，使 ，连接 ，，则四边形 即为所求（如图 ②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对
4. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用 ， 分别表示乌龟和兔子赛跑的路程， 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是
A. B.
C. D.
5. 如图，在 中， 于 ， 于 ， 为 的中点，，，则 的周长是
A. B. C. D.
6. 如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ，顺次连接 各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：，；；，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于
A. B. C. D.
8. 如图，在 中，， 为中线，延长 至点 ，使 ，连接 ， 为 中点，连接 ．若 ，，则 的长为
A. B. C. D.
9. 如图，已知线段 ，，．求作：矩形 ．
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：
．以点 为圆心， 长为半径画弧；
．以点 为圆心， 长为半径画弧；
．两弧在 上方交于点 ，连接 ，，四边形 即为所求（如图①）．
乙：
．连接 ，作线段 的垂直平分线，交 于点 ；
．连接 并延长，在延长线上取一点 ，使 ，连接 ，，四边形 即为所求（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对
10. 如图，将矩形 沿 折叠，使顶点 恰好落在 边的中点 上，若 ，，则 的长为
A. B. C. D.
11. 如图，菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 为 的中点．若菱形 的周长为 ，则 的长为
A. B. C. D.
12. 如图，将矩形纸片 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 ，若 ，，则边 的长是
A. B. C. D.
13. 如图，矩形 中，，， 且 与 之间的距离为 ，则 的长度是
A. B. C. D.
14. 如图，， 是菱形 的对角线，， 分别是边 ， 的中点，连接 ，，，则下列结论错误的是
A. B.
C. 四边形 是菱形 D. 四边形 是菱形
15. 如图，在矩形 中， 是 的中点，将 沿直线 折叠后得到 ，延长 交 于点 ，若 ，，则 的长为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
16. 一个学习兴趣小组有 名女生、 名男生，现要从这 名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 ．
17. 如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则 也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当 为 度时，两条对角线长度相等．
18. 如图，在 中， 于 ，点 为 的中点，，，则线段 的长为 ．
19. 如图①是 的纸片， 平分 ，如图②把 沿 对折成 （ 与 重合）从 点引一条射线 ，使 ，再沿 把角剪开，若剪开后得到的 个角中最大的一个角为 ，则 ．
20. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小敏的作法如下：
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作图依据是 ．
21. 如图，在 中，，，，点 在 轴上移动，点 在 轴上移动，则在点 的移动过程中， 的最大值是 ．
三、解答题（共7小题）
22. 如图，平行四边形 中，，此时四边形 是矩形吗 为什么
23. 如图，在 中，，点 ， 分别为 ， 边的中点，连接 ，取 的中点 ，连接 ，若 ，求 的长．
24. 如图，在矩形 中，点 ， 在对角线 ．请添加一个条件，使得结论“”成立，并加以证明．
25. 小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图（）所示图案，如图（）所示，连接各长方形的一条对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理．设 ，，，请你找到其中一种方案证明：．
26. 请回答：
（1）已知，如图①，在 中，，，直线 经过点 ，，，垂足分别为点 ，，求证：；
（2）如图②，将（）中的条件改为在 中，，，， 三点都在直线 上，并且有 ，其中 为任意钝角，请问结论 是否成立；若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
27. 一块钢板，如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分．
28. 已知：如图，平行四边形 ，延长边 到点 ，使 ，连接 ， 和 ，设 交 于点 ，，求证：四边形 是矩形．
答案
1. B
2. C
【解析】直角三角形的斜边长为 ，则斜边上的中线长为 ，故选C．
3. A
4. C
5. A
【解析】， 为 的中点，
是 斜边上的中线，
，
同理可得，，
又 ，
的周长 ．
6. C
【解析】顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
，
新的四边形成为矩形，符合条件；
四边形 是平行四边形，
，．
，
．
根据等腰三角形的性质可知 ，
．
新的四边形成为矩形，符合条件；
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
，，
，即平行四边形 的对角线互相垂直，
新四边形是矩形，符合条件．
符合条件．
7. C
8. B
【解析】 在 中，，，，
．
又 为中线，
．
为 中点，，即点 是 的中点，
是 的中位线，则 ．
9. A
10. A
【解析】由折叠的性质可知 ，
因为 为 的中点，
所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ．
11. B 【解析】 四边形 是菱形，
，，
，
又 ，
．
在 中， 是斜边上的中线，
．
12. C
【解析】如图：
由题意可知：，，
.
同理可得： .
四边形 为矩形．
，，
.
13. C
【解析】设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
解得 ，即 ．
14. D
【解析】， 是菱形 的对角线，
，且 ，
， 分别是边 ， 的中点，
，，
，
选项A正确；
，，
，
选项B正确；
， 是菱形 的对角线，
， 为 的中点，
， 分别是边 ， 的中点，
， 且 ，
四边形 是菱形，
选项C正确；
，，且 ，， 不一定等于 ，
四边形 是平行四边形但不一定是菱形，
选项D错误．
15. B
16.
17.
18.
【解析】 于 ，点 为 的中点，
，
在 中，．
19.
【解析】如图，
由题意得 ，，，，，
，
，
．
20. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
21.
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，，．
， 是 的中点，，
，
在 中，，，，
，
，
，
的最大值为 ．
22. 因为平行四边形 中，，，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以平行四边形 是矩形．
23. 在 中，
因为点 ， 分别为 ， 边的中点，，
所以 ．
在 中，
点 为 的中点，
所以 ．
24. 添加的条件是 （答案不唯一）．
四边形 是矩形，
，，
，
又 （添加），
，
．
25. 因为 ，，，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ．
26. （1） ，，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
．
（2） 成立．
证明：
，
，
，
在 和 中，
，
，，
．
27. 根据中心对称图形的定义可以得到一个非常有用的结论：过对称中心的任意一条直线都可以将其面积平分，本题中的图形是一个不规则的图形，但与长方形有关，长方形是中心对称图形，故可以用割补法将其转化为两个矩形的和或差．方法不唯一，如图，任选其中的一种方法即可．
28. 平行四边形 ，
，，，
，
，．
四边形 为平行四边形．
，．
又 ，，
，
．
．
平行四边形 为矩形．
四边形 为矩形.