11.2.1.1三角形的内角 课件（38页PPT）
文档属性
| 名称 | 11.2.1.1三角形的内角 课件（38页PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-08 18:13:23 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
11.2.1三角形的内角
人教版八年级上册
第十一章 三角形
教学目标
1、会阐述三角形内角和定理。
2、会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)。
3、能通过动手实践去验证三角形的内角和定理。
4、了解直角三角形两个锐角的关系。
5、掌握直角三角形的判定。
6、会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算。
新知导入
数 学 故 事
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。
可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”
“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”
“为什么？”老二很纳闷。
同学们，你们能够帮“老二”解释其中的道理吗？
新知导入
在小学的时候，我们就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°。
在Rt△ABC中，老大∠A=90°，则∠B+∠C=90°
因此老二∠B或∠C＜90°。
新知讲解
一、三角形的内角和
任意一个三角形的内角和一定等于 。
180°
验证三角形内角和的三种方法：
测量法
折叠法
剪切法
新知讲解
测量法
锐角三角形
480
720
600
60°＋48°＋72°＝180°
新知讲解
折叠法
A
B
C
演示
1
2
3
新知讲解
剪切法
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
A
A
B
B
C
A
B
B
C
C
新知讲解
那么，我们如何通过“数学证明”来解释三角形的内角和一定是180°呢？
已知：△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
方法一、证明：过点A作直线l，使l∥AB
∵l∥AB
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
同理 ∠3=∠5
∵∠1、∠4、∠5组成平角
∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°
新知讲解
方法二、证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA
C
B
A
E
D
1
2
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
新知讲解
方法三、证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB
C
B
A
E
D
F
∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC（两直线平行，同位角相等）
∴∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A=∠EDF
∴∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
新知讲解
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20°
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°
∴∠ABD的度数为85°。
新知讲解
例2 如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个
内角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°
由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°
∴∠ABE=180°-∠ABD=180°-80°=100°
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30°
= 90°
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°。
新知讲解
二、直角三角形的性质和判定
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°
由三角形内角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B+90°=180°
∴∠A+∠B=90
直角三角形的两个锐角互余。
新知讲解
直角三角形可以用符号“Rt△”表示。因此直角三角形ABC可写成 。
Rt△ABC
“直角三角形的两个锐角互余”其几何语言可表示为：
在Rt△ABC中，
∵∠A=90°
∴∠B+∠C=90°
若在三角形中，有两个锐角互余，则该三角形是否就是直角三角形呢？
新知讲解
已知：在△ABC中，∠A与∠B互余。
求证：该三角形为直角三角形
证明：∵∠A与∠B互余
∴∠A+∠B=90°
由三角形内角和定理，可得
∠A+∠B+∠C=180°
∴90°+∠C=180°
∴∠C=90°
∴△ABC为直角三角形
有两个角互余的三角形为直角三角形。
新知讲解
例3、如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E。
∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠CAE=∠DBE
在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED
∵∠AEC=∠BED
∴∠CAE=∠DBE
课堂练习
1、（2022·河南周口·八年级期末）若一个三角形的三个内角度数之比1:3:4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】∵三角形三个内角度数的比为1：3：4，
∴三个内角分别是
∴该三角形是直角三角形
故选答案选B
B
课堂练习
2、（2022·湖南邵阳·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则∠B＝（ ）
A．48° B．58° C．62° D．68°
【解析】∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
∵∠A=42°
∴∠B=48°
故答案选A
A
课堂练习
3、（2022·广西钦州·八年级期末）如图，把一副三角板叠放在一起。
则∠1的大小为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．125°
∴
【解析】如图
∵图中是一副直角三角板，
∴∠A＝45°，∠E＝30°
∵
∴
∴
∵
故答案选A
A
课堂练习
4、（2022·安徽滁州·八年级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，
AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5° B．4° C．8° D．6°
【解析】△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=70°
∵AD是BC边上的高
∴∠ADC=90°
∴∠DAC=90°-∠C=20°
∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC=50°
∴∠EAC= ∠BAC=25°
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°
A
课堂练习
5、（2022·湖南长沙·八年级期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________。
【解析】∵∠A= 108°，∠B= 2∠C
∴108°十2∠C +∠C= 180°
∴∠C=24°
∴∠B=2∠C=2×24°=48°
48°
课堂练习
6、（2022·山东临沂·八年级期末）在△ABC中，∠A=40°，∠B=20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为________。
【解析】①当∠ADC=90°时，如图所示：
∠BCD=90°-∠B
=90°-20°
=70°
②当∠ACD=90°时，如图所示：
∵∠ACB=180°-∠A-∠B
=120°
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD
=120°-90°
=30°
70°或30°
课堂练习
7、如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，∠C=40°，∠AOB=80°，求∠A的度数。
解：∵AB∥CD，∠C=40°
∴∠B=∠C=40°
∵∠A+∠B+∠AOB=180°
∴∠A=180°-∠AOB-∠B
=180°-80°-40°
=60°
∴∠A的度数为60°
课堂练习
8、（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高，求∠DAE的度数。
解：∵∠B＝40°，∠C＝70°
∴∠BAC＝180°－40°－70°＝70°
又∵AD为∠BAC的平分线
∴∠DAC＝35°
∵AE⊥BC
∴∠EAC＝90°－∠C＝20°
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC
＝35°－20°
＝15°
∴∠DAE的度数为15°
课堂总结
在Rt△ABC中，
∵∠A=90°
∴∠B+∠C=90°
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°
∴△ABC为直角三角形
作业布置
1、如图，在△ABC中，∠C=56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC于点F，
若∠FDB=20°，则∠CAB的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
【解析】∵DF⊥BC
∴∠DFB=90°
在△BDE中，∠FDB=20°
∴∠B=180°-90°-20°=70°
在△ABC中，∠C=56°
∴∠CAB=180°-70°-56°=54°
故答案选D
D
作业布置
2、（2021·河南商丘·八年级期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：m：3，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．1或3 D．2或4
【解析】设∠A=x°，则∠C=3x°
①当∠C=90°时，3x°=90°
解得 x=30
∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°
∴∠A:∠B=30°:60°=1:2
∴m=2
②当∠B=90°时，∠A+∠C=90°
即x°+3x°=90°
解得 x=22.5
∴∠A=22.5°，∠C=67.5°
∴∠A:∠B=22.5°:90°=1:4
∴m=4
综上，m的 值为2或4
D
作业布置
3、（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是______。
【解析】根据方向角的定义可得，
∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°
∵∠BAE=45°，∠EAC=15°
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°
∵AE、DB是正南正北方向
∴BD∥AE
∵∠DBE=∠BAE=45°
又∵∠DBC=80°
∴∠ABC=80°-45°=35°
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°
85°
作业布置
4、（2022·重庆巴南·八年级期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A′的位置，且点A′与点C在直线AB的异侧，折痕为DE。已知∠C=90°，∠B=60°，若△A′DE的一边与BC平行，且∠ADE=m°，则m=_________。
【解析】①如图，当A′D∥BC时
∵A′D∥BC
∴∠A′DA=∠C=90°
∴由翻折可知∠A′DE=∠ADE=45°
∴m=45
②如图，当A′E∥BC时
∵A′E∥BC
∴∠A′EF=∠B=60°
∵∠A=90°-∠B=30°
∴由折叠可知∠A=30°
∴∠A′FE=∠DFE=90°
∴∠A′DA=90°-∠A=60°
∴∠A′DE= ∠A′DA=30°
∴m=30
③当DE∥BC时，点A′与点C在直线AB的同侧，不符合题意
综上可知m的值为45或30
45或30
作业布置
5、（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，则∠A的度数为 _____________。
【解析】①如图：
由翻折的性质可知：EF⊥AB，
∴∠A+∠AFE＝90°．
∵∠AFE＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°
②如图：
由翻折的性质可知：EF⊥AB
∴∠D+∠DAE＝90°
∵折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°
∴∠EDA＝50°
∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°
∴∠BAC＝140°
综上，∠A的度数为40°或140°
40°或140°
作业布置
6、（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，求∠B的度数。
解：∵AE平分∠BAC
∴∠1=∠EAC=∠EAD+∠2
∴∠EAD=∠1-∠2=40°-20°=20°
在Rt△ABD中
∠B=90°-∠BAD=90°-40°-20°=30°
∴∠B的度数为30°
作业布置
7、（2022·河南商丘·八年级期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°。
(1)求∠EAC的度数；
(2)若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
解：(1)∵∠EAD＝∠EDA
∴∠EAC＋∠CAD＝∠B＋∠BAD
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD
∴∠EAC＝∠B
∵∠B＝54°
∴∠EAC＝54°
∴∠EAC的度数为54°
(2)设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠DAB＝2x
∵∠B＝54°
∴∠EDA＝∠EAD＝2x＋54°
∵∠EDA＋∠EAD＋∠E＝180°
∴2x＋54°＋2x＋54°＋5x＝180°
解得x＝8°
∴∠E＝5x＝40°
∴∠E的度数为40°
作业布置
8、（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，△ABC中，AF、BE是角平分线，
它们相交于点O，AD是高，∠C=50°，求∠DAC及∠BOA的度数。
解：∵AD 是高，∠C=50°
∴∠ADC= 90°
∴∠DAC= 90°-50°=40°
∵∠C= 50°
∴∠CAB+∠ABC = 130°
∵AF、BE是角平分线
∴∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)= ×(180°-50°)= ×130°=65°
∴∠BOA= 180°- 65° = 115°
∴∠DAC的度数为40°，∠BOA的度数为65°
作业布置
9、（2021·全国·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。
（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数；
（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C
∴∠B＝80°
∴∠BAC＝60°
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC＝30°
∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝50°
∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°
∴∠DAE的度数为20°
作业布置
9、（2021·全国·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。
（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC。
（2）证明：∵EF⊥AE
∴∠AEF＝90°
∴∠AED+∠FEC＝90°
∵∠DAE+∠AED＝90°
∴∠DAE＝∠FEC
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC＝ ∠BAC
＝ (180°﹣∠B﹣∠C)
＝ (180°﹣3∠C)
＝90°﹣ ∠C
∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC
∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣ ∠C）
＝90°﹣∠C﹣90°+ ∠C
＝ ∠C
∴∠FEC＝ ∠C
∴∠C＝2∠FEC
作业布置
10、（2022·安徽合肥·八年级期末）(1)如图1，在△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数。
(1)解：由题意得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD= ∠BAC=40°
∵AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=55°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°
∴∠DAE的度数为15°
作业布置
10、（2022·安徽合肥·八年级期末） (2)如图2，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD上任意一点（不与A、D重合），FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数。
(2)解：过点A作AH⊥BC于H，如图
由（1）可得∠DAH=15°
∵FE⊥BC
∴AH∥EF
∴∠DFE=∠DAH=15°
∴∠DFE的度数为15°
谢谢
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11.2.1三角形的内角
人教版八年级上册
第十一章 三角形
教学目标
1、会阐述三角形内角和定理。
2、会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)。
3、能通过动手实践去验证三角形的内角和定理。
4、了解直角三角形两个锐角的关系。
5、掌握直角三角形的判定。
6、会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算。
新知导入
数 学 故 事
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。
可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”
“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”
“为什么？”老二很纳闷。
同学们，你们能够帮“老二”解释其中的道理吗？
新知导入
在小学的时候，我们就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°。
在Rt△ABC中，老大∠A=90°，则∠B+∠C=90°
因此老二∠B或∠C＜90°。
新知讲解
一、三角形的内角和
任意一个三角形的内角和一定等于 。
180°
验证三角形内角和的三种方法：
测量法
折叠法
剪切法
新知讲解
测量法
锐角三角形
480
720
600
60°＋48°＋72°＝180°
新知讲解
折叠法
A
B
C
演示
1
2
3
新知讲解
剪切法
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
A
A
B
B
C
A
B
B
C
C
新知讲解
那么，我们如何通过“数学证明”来解释三角形的内角和一定是180°呢？
已知：△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
方法一、证明：过点A作直线l，使l∥AB
∵l∥AB
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
同理 ∠3=∠5
∵∠1、∠4、∠5组成平角
∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°
新知讲解
方法二、证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA
C
B
A
E
D
1
2
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
新知讲解
方法三、证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB
C
B
A
E
D
F
∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC（两直线平行，同位角相等）
∴∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A=∠EDF
∴∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
新知讲解
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20°
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°
∴∠ABD的度数为85°。
新知讲解
例2 如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个
内角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°
由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°
∴∠ABE=180°-∠ABD=180°-80°=100°
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30°
= 90°
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°。
新知讲解
二、直角三角形的性质和判定
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°
由三角形内角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B+90°=180°
∴∠A+∠B=90
直角三角形的两个锐角互余。
新知讲解
直角三角形可以用符号“Rt△”表示。因此直角三角形ABC可写成 。
Rt△ABC
“直角三角形的两个锐角互余”其几何语言可表示为：
在Rt△ABC中，
∵∠A=90°
∴∠B+∠C=90°
若在三角形中，有两个锐角互余，则该三角形是否就是直角三角形呢？
新知讲解
已知：在△ABC中，∠A与∠B互余。
求证：该三角形为直角三角形
证明：∵∠A与∠B互余
∴∠A+∠B=90°
由三角形内角和定理，可得
∠A+∠B+∠C=180°
∴90°+∠C=180°
∴∠C=90°
∴△ABC为直角三角形
有两个角互余的三角形为直角三角形。
新知讲解
例3、如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E。
∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠CAE=∠DBE
在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED
∵∠AEC=∠BED
∴∠CAE=∠DBE
课堂练习
1、（2022·河南周口·八年级期末）若一个三角形的三个内角度数之比1:3:4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】∵三角形三个内角度数的比为1：3：4，
∴三个内角分别是
∴该三角形是直角三角形
故选答案选B
B
课堂练习
2、（2022·湖南邵阳·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则∠B＝（ ）
A．48° B．58° C．62° D．68°
【解析】∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
∵∠A=42°
∴∠B=48°
故答案选A
A
课堂练习
3、（2022·广西钦州·八年级期末）如图，把一副三角板叠放在一起。
则∠1的大小为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．125°
∴
【解析】如图
∵图中是一副直角三角板，
∴∠A＝45°，∠E＝30°
∵
∴
∴
∵
故答案选A
A
课堂练习
4、（2022·安徽滁州·八年级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，
AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5° B．4° C．8° D．6°
【解析】△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=70°
∵AD是BC边上的高
∴∠ADC=90°
∴∠DAC=90°-∠C=20°
∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC=50°
∴∠EAC= ∠BAC=25°
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°
A
课堂练习
5、（2022·湖南长沙·八年级期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________。
【解析】∵∠A= 108°，∠B= 2∠C
∴108°十2∠C +∠C= 180°
∴∠C=24°
∴∠B=2∠C=2×24°=48°
48°
课堂练习
6、（2022·山东临沂·八年级期末）在△ABC中，∠A=40°，∠B=20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为________。
【解析】①当∠ADC=90°时，如图所示：
∠BCD=90°-∠B
=90°-20°
=70°
②当∠ACD=90°时，如图所示：
∵∠ACB=180°-∠A-∠B
=120°
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD
=120°-90°
=30°
70°或30°
课堂练习
7、如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，∠C=40°，∠AOB=80°，求∠A的度数。
解：∵AB∥CD，∠C=40°
∴∠B=∠C=40°
∵∠A+∠B+∠AOB=180°
∴∠A=180°-∠AOB-∠B
=180°-80°-40°
=60°
∴∠A的度数为60°
课堂练习
8、（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高，求∠DAE的度数。
解：∵∠B＝40°，∠C＝70°
∴∠BAC＝180°－40°－70°＝70°
又∵AD为∠BAC的平分线
∴∠DAC＝35°
∵AE⊥BC
∴∠EAC＝90°－∠C＝20°
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC
＝35°－20°
＝15°
∴∠DAE的度数为15°
课堂总结
在Rt△ABC中，
∵∠A=90°
∴∠B+∠C=90°
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°
∴△ABC为直角三角形
作业布置
1、如图，在△ABC中，∠C=56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC于点F，
若∠FDB=20°，则∠CAB的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
【解析】∵DF⊥BC
∴∠DFB=90°
在△BDE中，∠FDB=20°
∴∠B=180°-90°-20°=70°
在△ABC中，∠C=56°
∴∠CAB=180°-70°-56°=54°
故答案选D
D
作业布置
2、（2021·河南商丘·八年级期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：m：3，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．1或3 D．2或4
【解析】设∠A=x°，则∠C=3x°
①当∠C=90°时，3x°=90°
解得 x=30
∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°
∴∠A:∠B=30°:60°=1:2
∴m=2
②当∠B=90°时，∠A+∠C=90°
即x°+3x°=90°
解得 x=22.5
∴∠A=22.5°，∠C=67.5°
∴∠A:∠B=22.5°:90°=1:4
∴m=4
综上，m的 值为2或4
D
作业布置
3、（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是______。
【解析】根据方向角的定义可得，
∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°
∵∠BAE=45°，∠EAC=15°
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°
∵AE、DB是正南正北方向
∴BD∥AE
∵∠DBE=∠BAE=45°
又∵∠DBC=80°
∴∠ABC=80°-45°=35°
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°
85°
作业布置
4、（2022·重庆巴南·八年级期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A′的位置，且点A′与点C在直线AB的异侧，折痕为DE。已知∠C=90°，∠B=60°，若△A′DE的一边与BC平行，且∠ADE=m°，则m=_________。
【解析】①如图，当A′D∥BC时
∵A′D∥BC
∴∠A′DA=∠C=90°
∴由翻折可知∠A′DE=∠ADE=45°
∴m=45
②如图，当A′E∥BC时
∵A′E∥BC
∴∠A′EF=∠B=60°
∵∠A=90°-∠B=30°
∴由折叠可知∠A=30°
∴∠A′FE=∠DFE=90°
∴∠A′DA=90°-∠A=60°
∴∠A′DE= ∠A′DA=30°
∴m=30
③当DE∥BC时，点A′与点C在直线AB的同侧，不符合题意
综上可知m的值为45或30
45或30
作业布置
5、（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，则∠A的度数为 _____________。
【解析】①如图：
由翻折的性质可知：EF⊥AB，
∴∠A+∠AFE＝90°．
∵∠AFE＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°
②如图：
由翻折的性质可知：EF⊥AB
∴∠D+∠DAE＝90°
∵折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°
∴∠EDA＝50°
∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°
∴∠BAC＝140°
综上，∠A的度数为40°或140°
40°或140°
作业布置
6、（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，求∠B的度数。
解：∵AE平分∠BAC
∴∠1=∠EAC=∠EAD+∠2
∴∠EAD=∠1-∠2=40°-20°=20°
在Rt△ABD中
∠B=90°-∠BAD=90°-40°-20°=30°
∴∠B的度数为30°
作业布置
7、（2022·河南商丘·八年级期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°。
(1)求∠EAC的度数；
(2)若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
解：(1)∵∠EAD＝∠EDA
∴∠EAC＋∠CAD＝∠B＋∠BAD
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD
∴∠EAC＝∠B
∵∠B＝54°
∴∠EAC＝54°
∴∠EAC的度数为54°
(2)设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠DAB＝2x
∵∠B＝54°
∴∠EDA＝∠EAD＝2x＋54°
∵∠EDA＋∠EAD＋∠E＝180°
∴2x＋54°＋2x＋54°＋5x＝180°
解得x＝8°
∴∠E＝5x＝40°
∴∠E的度数为40°
作业布置
8、（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，△ABC中，AF、BE是角平分线，
它们相交于点O，AD是高，∠C=50°，求∠DAC及∠BOA的度数。
解：∵AD 是高，∠C=50°
∴∠ADC= 90°
∴∠DAC= 90°-50°=40°
∵∠C= 50°
∴∠CAB+∠ABC = 130°
∵AF、BE是角平分线
∴∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)= ×(180°-50°)= ×130°=65°
∴∠BOA= 180°- 65° = 115°
∴∠DAC的度数为40°，∠BOA的度数为65°
作业布置
9、（2021·全国·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。
（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数；
（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C
∴∠B＝80°
∴∠BAC＝60°
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC＝30°
∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝50°
∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°
∴∠DAE的度数为20°
作业布置
9、（2021·全国·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。
（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC。
（2）证明：∵EF⊥AE
∴∠AEF＝90°
∴∠AED+∠FEC＝90°
∵∠DAE+∠AED＝90°
∴∠DAE＝∠FEC
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC＝ ∠BAC
＝ (180°﹣∠B﹣∠C)
＝ (180°﹣3∠C)
＝90°﹣ ∠C
∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC
∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣ ∠C）
＝90°﹣∠C﹣90°+ ∠C
＝ ∠C
∴∠FEC＝ ∠C
∴∠C＝2∠FEC
作业布置
10、（2022·安徽合肥·八年级期末）(1)如图1，在△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数。
(1)解：由题意得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD= ∠BAC=40°
∵AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=55°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°
∴∠DAE的度数为15°
作业布置
10、（2022·安徽合肥·八年级期末） (2)如图2，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD上任意一点（不与A、D重合），FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数。
(2)解：过点A作AH⊥BC于H，如图
由（1）可得∠DAH=15°
∵FE⊥BC
∴AH∥EF
∴∠DFE=∠DAH=15°
∴∠DFE的度数为15°
谢谢
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