人教版2022年九年级上册第21章《一元二次方程》单元(常考题)测试卷 （含解析）

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人教版2022年九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷
满分100分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x2+2＝0 D．＝1
2．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
3．用配方法解方程x2﹣4x＝1，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x+2）2＝5
4．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　）
A．（x﹣2）（x+5）＝1 B．3（x﹣2）2＝x2﹣4 C．x2﹣3x+1＝0 D．9（x﹣1）2＝5
5．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝5有实数根，则k的取值范围为（　　）
A． B．且k≠2 C． D．且k≠2
7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
9．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值为（　　）
A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣1
10．如果x2﹣x﹣1＝（x﹣1）0，那么x的值为（　　）
A．2或﹣1 B．0或﹣1 C．2 D．﹣1
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
12．（4分）已知m是方程x2﹣3x﹣20＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为 　 　．
13．（4分）美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染的人是 　 　．
14．（4分）若x1、x2是一元二次方程x2+9x﹣8＝0的两个根，则x1+x2的值是 　 　．
15．（4分）已知：m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+6＝0； （2）x2+3x＝0； （3）3x2+x＝3x+1．
17．（6分）试用配方法证明：代数式x2+3x﹣的值不小于﹣．
18．（6分）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门．现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽．
19．（8分）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝3x1x2，求实数p的值．
20．（9分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
21．（9分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，
（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项错误．
B、该方程是二元二次方程，故本选项错误．
C、该方程是一元二次方程，故本选项正确．
D、该方程分式方程，故本选项错误．
故选：C．
2．【解答】解：由方程x（x+2）＝5（x﹣2），得
x2﹣3x+10＝0，
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；
故选：A．
3．【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
故选：B．
4．【解答】解：A、（x﹣2）（x+5）＝1适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
B、由原方程得到x2﹣6x+8＝0，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；
C、x2﹣3x+1＝0适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
D、由原方程得到（x﹣1）2＝，最适合于直接开平方法解方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝5有实数根，
∴（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣5）≥0且k﹣2≠0，
解得且k≠2，
故选：D．
7．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2＝315，
故选：B．
8．【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7．
当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形；
当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5＝12，
故选：B．
9．【解答】解：原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5＝0，
（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）＝0，
又∵x2+y2的值是非负数，
∴x2+y2的值为只能是1．
故选：B．
10．【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝1，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1），
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|＝1，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣20＝0的根，
∴m2﹣3m﹣20＝0，
∴m2﹣3m＝20，
∴1+3m﹣m2＝1﹣（m2﹣3m）＝1﹣20＝﹣19．
故答案为：﹣19．
13．【解答】解：设每轮传染中，平均一个人感染x人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝100，
整理得：（1+x）2＝100，
解得：x1＝9，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
∴每轮传染中，平均一个人感染9人．
故答案为：9人．
14．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+9x﹣8＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣9，
故答案为：﹣9．
15．【解答】解：根据题意得m+n＝1，mn＝﹣2，
所以（m2﹣1）（n2﹣1）
＝m2n2﹣m2﹣n2+1
＝m2n2﹣（m+n）2+2mn+1
＝（﹣2）2﹣12+2×（﹣2）+1
＝4﹣1﹣4+1
＝0．
故答案为：0．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．【解答】解：（1）∵x2﹣5x+6＝0．
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3；
（2）∵x2+3x＝0，
∴x（x+3）＝0，
∴x＝0或x+3＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣3；
（3）∵3x2+x＝3x+1，
∴x（3x+1）﹣（3x+1）＝0，
（3x+1）（x﹣1）＝0，
3x+1＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝1．
17．【解答】证明：∵x2+3x﹣＝（x+）2﹣≥﹣，
∴代数式x2+3x﹣的值不小于﹣．
18．【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，
依题意得（32﹣2x+1）x＝130，
2x2﹣33x+130＝0，
（x﹣10）（2x﹣13）＝0，
∴x1＝10或x2＝6.5，
当x1＝10时，32﹣2x+1＝13＜16；
当x2＝6.5时，32﹣2x+1＝20＞16，不合题意舍去．
答：仓库的长和宽分别为13m，10m．
19．【解答】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，
x2﹣5x+6﹣p2＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝25﹣24+4p2＝1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，
∵x12+x22＝3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3x1x2，
∴52＝5（6﹣p2），
∴p＝±1．
20．【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240． …4分
化简，得 x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），
设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，
解得m＝9
答：该店应按原售价的九折出售．
21．【解答】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5﹣x）×2x＝6
整理得：x2﹣5x+6＝0
解得：x＝2或x＝3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，
5t2﹣10t＝0，
t（5t﹣10）＝0，
解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5﹣x）×2x＝8
整理得：x2﹣5x+8＝0
△＝25﹣32＝﹣7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．