高中数学人教A版（2019）必修第一册 4.4.3不同函数增长的差异教案（表格式）

课程基本信息
课题 不同函数增长的差异
教科书 书名：普通高中教科书数学必修第一册A版 出版社：人民教育出版社
教学目标
教学目标： 1. 在信息技术的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异； 2. 通过图象和表格数形结合地体现各类函数间增长变化的差异，了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识； 3. 在认识函数增长差异的过程中，发展数学运算、逻辑推理和数学建模的素养. 教学重点：在信息技术的辅助下，直观了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义. 教学难点：几种增长函数模型的应用.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3min 情境引入 复习回顾 【问】在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？ 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
20min 问题探究，学以致用 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 下面就来研究一次函数，指数函数 ，对数函数在定义域内增长方式的差异. 问题探究一： 以函数与 y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. 分析：(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数值恒大于0，一次函数 y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········
(3) 观察两个函数图象及其增长方式： 结论1：函数与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4); 结论2：在区间(0,1)上，函数的图象位于y=2x之上; 结论3：在区间(1,2)上，函数的图象位于y=2x之下; 结论4：在区间(2,3)上，函数的图象位于y=2x之上. 综上：虽然函数与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是的增长速度改变，先慢后快. 【问】请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系 【生】随着自变量取值越来越大，函数的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和的增长相比几乎微不足道. 【设计意图】通过画出特殊的指数函数和幂函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养； 总结一：函数y=2x与在[0,+∞)上增长快慢的不同如下： 虽然函数y=2x与在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y=2x的增长速度. 尽管在x的一定范围内，，但由于的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有. 总结二：一般地指数函数与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似. 即使k值远远大于a值，指数函数虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个，当时，的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度. 如下图，将k不断变大： 例1. 三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： 其中关于x呈指数增长的变量是 . 【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养。 问题探究二： 以函数与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. 分析：(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数没意义，一次函数值恒小于0，所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： (3) 观察两个函数图象及其增长方式： 总结一：虽然函数与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 在(0,+∞)上增长速度不变，在(0,+∞)上的增长速度在变化. 随着的增大，的图象离x轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样. 例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4； 这表明，当，即，比相比增长得就很慢了. 思考：将放大1000倍，将函数与 比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有. 总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢. 不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有. 例2．函数的图象如图所示． （1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； （2）比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对的大小进行比较). 解：（1）C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. （2）当xf(x)；当x1g(x)； 当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)． 问题探究三： 类比上述过程， （１）画出一次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异； 总结一：虽然函数，函数与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 在(0,+∞)上增长速度不变，函数与在(0,+∞)上的增长速度在变化. 函数的图象越来越陡，就像与轴垂直一样；函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样. （２）试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异； 总结二：一般地，虽然一次函数，对数函数和指数函数在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而指数函数的增长速度越来越快；对数函数的增长速度越来越慢. 不论值比值小多少，在一定范围内，可能会小于，但由于的增长会快于的增长，因此总存在一个，当时，恒有； 同样，不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有. （３）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义． 直线上升：增长速度不变，是一个固定的值； 对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与轴平行一样； 指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与轴垂直一样. 【问】你可以再举出几个生活中的例子吗？ 例3.下列函数中随的增大而增大且速度最快的是（ ）. A. B. C. D. 解：A.结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确. 例4. 函数的图象如图所示，则可能是（ ）. A. B. C. D. 解：正确答案为C.从几何的角度，各选项的函数图像依次为：
从代数的角度，A,B,D的值域与原函数不同.
2min 归纳总结 课堂小结： 1.研究了一次函数，指数函数 ，对数函数在定义域内增长方式的差异; 2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数; 3. 理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义，在实际应用中会选择适当的函数模型.