2022-2023学年人教版八年级数学上册14.2.1 平方差公式 课件 (共18张PPT)

(共18张PPT)
14.2.1 平方差公式
王大伯把一块边长为a米的正方形土地租给了李大爷．有一天王大伯对李大爷说：“我把这块地一边增加5米，另外一边减少5米，继续原价租给你，你看如何？”李大爷一听，就答应了．回去后他把这件事告诉了邻居张大爷，张大爷对李大爷说：“你吃亏了！”李大爷吃亏了吗？为什么？
创设情境
学习目标
1、经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2、灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
复习：多项式与多项式相乘的运算法则：
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
①(x ＋1)( x－1)=
②(m ＋2)( m－2)=
③(2m＋3)(2m－3)=
④(5y ＋a)(5y－a)=
1、利用多项式的乘法法则，计算下列多项式的积。
2、小组合作探究：观察这些乘法算式有什么结构特征，计算的结果有什么规律？
x2 － 1
m2－4
4m2 － 9
25y2 － a2
(a+b)(a b)=
a2 b2
=a2
验证：
(a+b)(a b)
代数验证
猜想：
=a2 b2
－ ab
+ab
－ b2
字母表示 ： (a+b)(a b)=a2 b2
平方差公式
注意事项：
1、结构特征：左边是两个二项式相乘并且有一项相同另一项互为相反数，即“一同一反”。
2、计算结果：右边是相同项的平方减相反项的平方，即“同方减反方”。
3、公式里的a 和 b可以是数可以是单项式也可以是多项式．
文字语言：两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
如图：从边长为a的正方形纸板的一个角剪去一个边长为b的小正方形，再把剩下的剪成两部分后拼成一个长方形。
b
b
a
a
图形验证
b
b
a
a
a-b
a-b
a
b
a-b
1、剪去边长为b的小正方形后图形
的面积是_______
2、拼成的长方形的面积是_______
结论：(a+b)(a-b)=a2-b2
a2-b2
(a+b)(a-b)
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) . (2)（-x+2y)(-x-2y).
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． (4) (-2m+3)(2m-3)
(2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2
＝x2 - 4y2.
解：（1）原式=(3x)2－22
=9x2－4；
(3)原式=(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2.
例1 ：观察下列乘法算式能否利用平方差公式计算，如果能请求出结果，不能请说明理由。
例2：利用平方差公式简便计算：
(1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98
（2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= 1002-22
=10000 – 4
=(100＋2)(100－2)
=9996；
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
例3 ： 先化简，再求值：
(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
∵a2＞a2－25，
解：李大爷吃亏了．理由如下：
原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋5)(a－5)＝a2－25.
∴李大爷吃亏了．
王大伯把一块边长为a米的正方形土地租给了李大爷．有一天王大伯对李大爷说：“我把这块地一边增加5米，另外一边减少5米，继续原价租给你，你看如何？”李大爷一听，就答应了．回去后他把这件事告诉了邻居张大爷，张大爷对李大爷说：“你吃亏了！”李大爷吃亏了吗？为什么？
解决问题
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，从而解决问题．
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
当堂检测
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
3.利用平方差公式计算：(3+2a)(－3+2a)；
4.先化简，再求值：
(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
5.计算： 20202 － 2019×2021.
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
当堂检测
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.利用平方差公式计算： (3+2a)(－3+2a)；
解：原式=(2a+3)(2a-3)
=(2a)2－32
=4a2－9；
4.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22-1=7.
5.简便计算： 20202 － 2019×2021.
解：
原式= 20202 － (2020－1)(2020+1)
= 20202－ （20202－12 )
= 20202－ 20202+12
=1
平方差公式
知识
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
(a+b)(a－b)=a2－b2
数学思想
一般到特殊，数形结合，转化思想
课堂小结
1.必做题：课本105页第5题.
2.选做题：综合拓展
计算：（1）（2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
分层作业
（2） (x-y)(x+y )(x2+y2 )(x4+y4)