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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题09 锐角三角函数单元核心素养达标检测试卷(A)
试卷满分100分，考试时间90分钟
一、单选题（6个小题，每空3分，共18分）1．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．a+btanα B．a+bsinα C．a D．a
2.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
5．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A.2 B. HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 C. D.1
二、填空题（8个小题，每空3分，共24分）
1．（2020 湘潭）计算：sin45°＝ ．
2. （2022内蒙古通辽）如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
3. （2022湖北孝感）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．
4. （2022湖南衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________．（结果精确到．参考数据：）
5. （2022江苏连云港）如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．
6．（2019广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=米，在实验楼的顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是______米（结果保留根号）．
7.已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是____________．
8.如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝ ．
三、解答题（本大题共6题，满分58分）
1. （6分）（2022湖南邵阳）计算：．
2. （10分）（2022浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
3. （10分）（2022湖南怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：≈1.73，≈1.41）
4. （8分）（2022四川凉山）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
5. （10分）（2022辽宁盘锦）某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角
从D处测得路灯顶部P的仰角
测角仪到地面的距离
两次测量时测角仪之间的水平距离
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米 （结果精确到0.1米．参考数据；）
6.（14分）小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）
（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；
（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．
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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题09 锐角三角函数单元核心素养达标检测试卷(A)
试卷满分100分，考试时间90分钟
一、单选题（6个小题，每空3分，共18分）
1．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．a+btanα B．a+bsinα C．a D．a
【答案】A
【解析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα
，
∴AF＝b tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
2.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】将∠A和∠DBE分别置身于Rt△AED和Rt△EDB中．
∵DE⊥AB，∴∠AED=∠DEB= 90°．在Rt△AED中，cosA=．设AE=3k，则AD=5k，由勾股定理，得DE=4k．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD，即3k+2=5k．解得k=1，∴DE=4．在Rt△EDB中，tan∠DBE==2．即选B．
【点拨】在将锐角三角函数表示成“比”的形式时，常借助参数法，即把“比”的每一份用一个字母来表示，从而建立方程，实现所求．
3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
∵和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∴=，故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
4．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【答案】B
【解析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
5．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【解析】过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα，
∴A′C＝4sinα
6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A.2 B. HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 C. D.1
【答案】A
【解析】∠DBA没有在直角三角形中 ，无法使用正切定义转换成边的比．现设法将其置身在一个直角三角形中．
过点D作DE⊥AB，垂足为E．在Rt△BDE中，
tan∠DBA=．∵tan∠DBA=，∴=．设DE= k ，
则BE=5k，在Rt△ADE中，∠A=45°，∴AE=DE= k，AB=6 k．
在等腰Rt△ABC中， ∠C=90o，AC=6，∴AB=6 ，解得k= ，
即DE=．在 Rt△ADE 中， ∠A=45° ，∴AD=DE =2．
【点拨】构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中．
二、填空题（8个小题，每空3分，共24分）
1．（2020 湘潭）计算：sin45°＝ ．
【答案】
【解析】根据特殊角的三角函数值解答．
根据特殊角的三角函数值得：sin45°=．
2. （2022内蒙古通辽）如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
【答案】或者
【解析】设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．
3. （2022湖北孝感）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．
【答案】
【解析】【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
【详解】如图，过点作于点，设，
根据题意可得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴．
故答案为：．
【点睛】考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
4. （2022湖南衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________．（结果精确到．参考数据：）
【答案】10.2
【解析】先根据三角形外角求得，再根据三角形的等角对等边得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解．
∵且，
∴，
∴，
即．
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键．
5. （2022江苏连云港）如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．
【答案】
【解析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可．
【详解】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
由题意得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
6．（2019广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=米，在实验楼的顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是______米（结果保留根号）．
【答案】15+15
【解析】考点是解直角三角形，特殊三角函数值
AC=CD·tan30°+CD·tan45°=15+15.
7.已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是____________．
【答案】
【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝AC＝2，∠B＝30°，∴AD＝AB＝，
由勾股定理得：BD＝＝3，
同理CD＝3，∴BC＝6，
∴△ABC的周长为BC+AB+AC＝6+2+2＝6+4．
8.如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝ ．
【答案】2或2或2．
【解析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA tan∠AOP＝2，
∴BP＝＝2，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB tan∠1＝2，
故答案为：2或2或2．
三、解答题（本大题共6题，满分58分）
1. （6分）（2022湖南邵阳）计算：．
【答案】5-
【解析】先计算零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，再计算二次根式的乘法和加减法．
=1+4-2×
=5-．
【点睛】此题考查了零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值的计算法则．
2. （10分）（2022浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【答案】AC=4，sinA=
【解析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．
∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，
∴．
．
【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．
3. （10分）（2022湖南怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：≈1.73，≈1.41）
【答案】不穿过，理由见解析
【解析】【分析】先作AD⊥BC，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，可表示AD和BD，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD，与800米比较得出答案即可．
【详解】不穿过，理由如下：
过点A作AD⊥BC，交BC于点D，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°.
设CD=x，则BD=2.4-x，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°，
∴AD=CD=x．
Rt△ABD中，，
即，
解得x=0.88，
可知AD=0.88千米=880米，
因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
4. （8分）（2022四川凉山）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
【答案】米
【解析】【分析】过点作于点，在和中，分别解直角三角形求出的长，由此即可得．
【详解】如图，过点作于点，
由题意得：米，，
，
，
在中，米，米，
在中，米，米，
则（米），
答：压折前该输电铁塔的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
5. （10分）（2022辽宁盘锦）某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角
从D处测得路灯顶部P的仰角
测角仪到地面的距离
两次测量时测角仪之间的水平距离
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米 （结果精确到0.1米．参考数据；）
【答案】3.5米
【解析】【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案．
【详解】如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
同理：四边形CDFE是矩形；
∴，，
在直角△PDF中，有，
在直角△PAF中，有，
∴，
即，
∴，
解得：；
∴；
∴（米）；
∴路灯顶部到地面的距离约为3.5米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度．
6.（14分）小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）
（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；
（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．
【答案】（1）小华与地面的垂直距离CD的值是5.2m；
（2）楼房AB的高度是26.1m．
【解析】考点有解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
（1）利用在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，得出CD=BD sin15°求得答案即可；
（1）在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，
∴CD=BD sin15°，
∴CD=5.2（m）．
（2）由图可知：AB=AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得AF得出答案即可．
在Rt△AFE中，
∵∠AEF=45°，
∴AF=EF=BC，
由（1）知，BC=BD cos15°≈19.3（m），
∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m）．
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