中小学教育资源及组卷应用平台
2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题01 正弦函数余弦函数和正切函数
学习目标
1. 理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，进而得到锐角三角函数的概念。
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。
对知识点的解读
一、锐角三角函数的定义
1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A==，
（2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A==，
（3）我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A==．
2.锐角三角函数的定义
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
二、锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义应用
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三条边的任意两条边，可以求出锐角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。
2.已知锐角的正弦值求直角三角形的边长以及三角形周长、面积等。
注意：当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中．
解题思维方法
方法总结1：结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。
方法总结2：已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题。
方法总结3：在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形。
方法总结4：依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换。
类型题例题解析
【例题1】（2022长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
【例题2】已知△ABC中，a=，b=，c=，求tanB，sinC，cosB及．
【答案】见解析
【解析】由题意知：a=，b=，c=
所以b2+c2=a2，∴∠A=90°，
∴tanB==，
sinC==，
cosB==，
＝bc＝．
【例题3】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】将∠A和∠DBE分别置身于Rt△AED和Rt△EDB中．
∵DE⊥AB，∴∠AED=∠DEB= 90°．
在Rt△AED中，cosA=．
设AE=3k，则AD=5k，由勾股定理，得DE=4k．
∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD，即3k+2=5k．解得k=1，
∴DE=4．在Rt△EDB中，tan∠DBE==2．即选B．
【例题4】如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H ，已知AB=16cm，
．
（1）求⊙O的半径；
（2）如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．
【答案】B
【解析】(1) ∵直线l与半径OC垂直，
∴ ．
∵，
∴OB=HB=×8= 10．
（2）在Rt△OBH中，．
∴．
所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时，平移的距离是4cm．
专题达标训练
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，
∴．故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
2.如图，已知一商场自动扶梯的长为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由勾股定理，得角θ的邻边为8米，根据锐角三角函数的正切定义，得
tanθ==，
即选A．
3.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3．则cos∠BCD的值是（ ）
A ． B． C． D．
【答案】D
【解析】求cos∠BCD的值，用定义法不能直接求出．根据同角或等角的三角函数值相等，
考虑先用等角替换，再用定义去求．
AB=5．∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，
∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD．
∴cos∠BCD=cosA==．
4．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，
∵，∴，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
5.已知△ABC中，三边之比a：b：c=1：：2，则sinA+tanA= ．
【答案】=．
【解析】根据题意，设a=k，b=k，c=2k（k＞0），
∵a2+b2=c2，∴∠C=90°．
∴sinA=，
tanA=，
∴sinA+tanA=．
6.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值.
【答案】见解析。
【解析】如图，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
7.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值.
【答案】见解析。
【解析】如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得
8.如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
【答案】见解析。
【解析】如图，设点 A (3，0)，连接 PA .
在△APO中，由勾股定理得
9.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=1/3，BC=3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
【答案】见解析。
【解析】已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
10.在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=7/25，求这个三角形的周长．
【答案】见解析。
【解析】设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定理得
11.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
由勾股定理得
12.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A.2 B. HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 C. D. 1
【答案】见解析
【解析】∠DBA没有在直角三角形中 ，无法使用正切定义转换成边的比．现设法将其置身在一个直角三角形中．
过点D作DE⊥AB，垂足为E．在Rt△BDE中，
tan∠DBA=．
∵tan∠DBA=，∴=．设DE= k ，
则BE=5k，在Rt△ADE中，∠A=45°，∴AE=DE= k，AB=6 k．
在等腰Rt△ABC中， ∠C=90o，AC=6，∴AB=6 ，解得k= ，
即DE=．在 Rt△ADE 中， ∠A=45° ，∴AD=DE =2．
13．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．（1）求证：．（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析1；（2）
【解析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】（1）证明：在中，
∵，∴∴
又∵∴∴
（2）∵，∴ ∵∴
在中，，.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题01 正弦函数余弦函数和正切函数
学习目标
1. 理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，进而得到锐角三角函数的概念。
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。
对知识点的解读
一、锐角三角函数的定义
1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A==，
（2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A==，
（3）我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A==．
2.锐角三角函数的定义
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
二、锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义应用
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三条边的任意两条边，可以求出锐角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。
2.已知锐角的正弦值求直角三角形的边长以及三角形周长、面积等。
注意：当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中．
解题思维方法
方法总结1：结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。
方法总结2：已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题。
方法总结3：在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形。
方法总结4：依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换。
类型题例题解析
【例题1】（2022长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【例题2】已知△ABC中，a=，b=，c=，求tanB，sinC，cosB及．
【例题3】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【例题4】如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H ，已知AB=16cm，
．
（1）求⊙O的半径；
（2）如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．
专题达标训练
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知一商场自动扶梯的长为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )
A． B． C． D．
3.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3．则cos∠BCD的值是（ ）
A ． B． C． D．
4．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
5.已知△ABC中，三边之比a：b：c=1：：2，则sinA+tanA= ．
6.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值.
7.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值.
8.如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
9.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=1/3，BC=3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
10.在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=7/25，求这个三角形的周长．
11.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
12.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A.2 B. HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 C. D. 1
13．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．（1）求证：．（2）若，，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
