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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题02 特殊角的三角函数值
学习目标
1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值。
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用。
对知识点的解读
1.30°、45°、60°角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
2.通过三角函数值求角度
sinα
cosα
tanα 1
α 30° 45° 60°
解题思维方法
1.30°、45°、60°角的三角函数值需要记忆。若记不住可以推导。2.通过三角函数值求角度时，先要计算出三角函数的值，然后看这个值是特殊值，马上就会求出锐角。
类型题例题解析
【例题1】（2022北京）计算：
【例题2】 计算：cos245°+sin245°=（ ）
A． B． 1 C． D．
【例题3】计算：．
【例题4】已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= ．
专题达标训练
1.（2022天津）的值等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
2．2sin45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
3．规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．= ______.
5．计算：________．
6．如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则___________．
7. （2022广西贺州）计算：．
8.（2022黑龙江龙东地区）先化简，再求值：，其中．
9. （2022江苏宿迁）计算：4°．
10.计算：（﹣1）3+﹣（π﹣112）0﹣2tan60°
11. 计算：+﹣4sin60°+|﹣|
12.如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan, 即ctan=
根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30 = ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题02 特殊角的三角函数值
学习目标
1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值。
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用。
对知识点的解读
1.30°、45°、60°角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
2.通过三角函数值求角度
sinα
cosα
tanα 1
α 30° 45° 60°
解题思维方法
1.30°、45°、60°角的三角函数值需要记忆。若记不住可以推导。
2.通过三角函数值求角度时，先要计算出三角函数的值，然后看这个值是特殊值，马上就会求出锐角。
类型题例题解析
【例题1】（2022北京）计算：
【答案】4
【解析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．
【例题2】 计算：cos245°+sin245°=（ ）
A． B． 1 C． D．
【答案】B
【解析】考点是 特殊角的三角函数值．首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
∵cos45°=sin45°=，
∴cos245°+sin245°
=
==1．故选：B．
【例题3】计算：．
【答案】0
【解析】原式==0．
【例题4】已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= ．
【答案】75°．
【解析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数。
∵|sinα﹣|+=0，
∴sinα=，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
专题达标训练
1.（2022天津）的值等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．
2．2sin45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】2sin45°=2×故选B
3．规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
4．= ______.
【答案】.
【解析】根据特殊角的三角函数值填空即可.
由特殊角的三角函数值，能够确定=.故答案是
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.
5．计算：________．
【答案】
【解析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
6．如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则___________．
【答案】
【解析】由△OBC是等边三角形、则∠COB =60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可．
∵△OBC是等边三角形∴∠COB=60°
∴∠A==30°∴=．故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题的关键．
7. （2022广西贺州）计算：．
【答案】5
【解析】根据解答．
原式
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角的正切值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8.（2022黑龙江龙东地区）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a值，然后把a值代入化简式计算即可．
原式
，
当时，
原式
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
9. （2022江苏宿迁）计算：4°．
【答案】2
【解析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．
4°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．
10.计算：（﹣1）3+﹣（π﹣112）0﹣2tan60°
【答案】-5
【解析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即可；
原式＝﹣1+3﹣1﹣2×＝1﹣2×3＝﹣5；
【点拨】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值；牢记特殊角的三角函数值，掌握实数的运算性质是解题的关键．
11. 计算：+﹣4sin60°+|﹣|
【答案】-2
【解析】本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简几个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
+﹣4sin60°+|﹣|
=﹣3+1﹣4×+2
=﹣3+1﹣2+2=﹣2．
12.如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan, 即ctan=
根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30 = ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【答案】（1）（2）
【解析】可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30 ；tanA=，为了计算方便，可以设BC=3 ，AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．
（1）设BC=1, ∵α=30
∴AB=2
∴由勾股定理得：AC=
ctan30 ==
(2) ∵tanA=
∴设BC=3 AC=4
∴ctanA==
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