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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题03 用计算器求锐角三角函数值及锐角
学习目标
1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小。
3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题。
对知识点的解读
通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30°、45°、60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？
1.用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
2.利用计算器探索三角函数的性质（拓展）
（1）sin2α=2sinαcosα.
（2）平方关系：
（3）商数关系：
（4）倒数关系：
3.互为余角的三角函数关系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
解题思维方法
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数时，不同的计算器操作步骤可能有所不同。
类型题例题解析
【例题1】用计算器求sin18°的值。
【答案】见解析。
【解析】第一步：按计算器sin键；
第二步：输入角度值18；
屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994.
【例题2】已知 sinA = 0.501 8，用计算器求 ∠A 的度数。
【答案】见解析。
【解析】第一步：按计算器2nd F sin－1键；
第二步：然后输入函数值0. 501 8；
屏幕显示答案： 30.119 158 67°(按实际需要进行精确).
还可以利用2nd F D.M′S 键，进一步得到∠A = 30°07′08.97 ″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果为 30°7′，精确到 1″ 的结果为30°7′9″).
专题达标训练
1.用计算器求 tan30°36′ 的值；
【答案】见解析。
【解析】方法①
第一步：按计算器 tan键；
第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′ = 30.6°)
屏幕显示答案：0.591 398 351.
方法②：
第一步：按计算器 tan键；
第二步：输入角度值30，分值36(使用D.M′S键)；
屏幕显示答案：0.591 398 351.
2.(1)通过计算 (可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
① sin30°____2sin15°cos15°；
② sin36°____2sin18°cos18°；
③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°；
④ sin60°____2sin30°cos30°；
⑤ sin80°____2sin40°cos40°.
猜想：
已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方法验证 (1) 中的结论．
【答案】见解析。
【解析】（1）通过用计算器计算得到
① sin30°=2sin15°cos15°；
② sin36°=2sin18°cos18°；
③ sin45°=2sin22.5°cos22.5°；
④ sin60°=2sin30°cos30°；
⑤ sin80°=2sin40°cos40°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α=2sinαcosα.
(2)证明：∵ S△ABC =1/2×AB · sin2α · AC =1/2×sin2α，
S△ABC =1/2×2ABsinα · ACcosα = sinα · cosα，
∴sin2α＝2sinαcosα.
3.（1）利用计算器求值，并提出你的猜想：
sin20°=________， cos20°=________，
sin220°=________， cos220°=________；
sin35°=________，cos35°= ________，
sin235°=________，cos235°=________ ；
猜想：
已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α =________ .
(2) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，请验证你在 (1)中的结论.
【答案】见解析。
【解析】（1）通过用计算器计算得到
sin20°=0.3420， cos20°=0.9397，
sin220°=0.1170， cos220°=0.8830；
sin220°+cos220°=1
sin35°=0.5735，cos35°= 0.8192，
sin235°=0.3290，cos235°=0.6710 ；
sin235°+cos235°=1
猜想：已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α =1.
（2）证明：在 Rt△ABC中，a2 + b2 = c2，
4．今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60岁） 女性（18～55岁）
抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（近似值） 计算器按键顺序 计算结果（近似值）
0.1 78.7
0.2 84.3
1.7 5.7
3.5 11.3
【答案】（1）176，164；（2）157.4°
【解析】（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，故答案为：176，164；
（2）如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，∴tan∠FAC＝＝＝5，∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，答：两臂杆的夹角为157.4°。
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专题03 用计算器求锐角三角函数值及锐角
学习目标
1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小。
3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题。
对知识点的解读
通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30°、45°、60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？
1.用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
2.利用计算器探索三角函数的性质（拓展）
（1）sin2α=2sinαcosα.
（2）平方关系：
（3）商数关系：
（4）倒数关系：
3.互为余角的三角函数关系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
解题思维方法
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数时，不同的计算器操作步骤可能有所不同。
类型题例题解析
【例题1】用计算器求sin18°的值。
【例题2】已知 sinA = 0.501 8，用计算器求 ∠A 的度数。
专题达标训练
1.用计算器求 tan30°36′ 的值；
2.(1)通过计算 (可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
① sin30°____2sin15°cos15°；
② sin36°____2sin18°cos18°；
③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°；
④ sin60°____2sin30°cos30°；
⑤ sin80°____2sin40°cos40°.
猜想：
已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方法验证 (1) 中的结论．
3.（1）利用计算器求值，并提出你的猜想：
sin20°=________， cos20°=________，
sin220°=________， cos220°=________；
sin35°=________，cos35°= ________，
sin235°=________，cos235°=________ ；
猜想：
已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α =________ .
(2) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，请验证你在 (1)中的结论.
4．今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60岁） 女性（18～55岁）
抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（近似值） 计算器按键顺序 计算结果（近似值）
0.1 78.7
0.2 84.3
1.7 5.7
3.5 11.3
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