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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题04 解直角三角形
学习目标
1. 了解并掌握解直角三角形的概念；
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系。
3. 学会解直角三角形。
对知识点的解读
1.解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
2.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
3.其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
（4）直角三角形斜边上的高
解题思维方法
一、解直角三角形依据
1.勾股定理
2.两锐角互余
3.锐角的三角函数
二、解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)；(2)由求出∠A；(3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)；(2)由求出∠A；(3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A；(2)；(3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A；(2)a=c·sin A；(3)b=c·cos A.
三、解直角三角形的方法口诀
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
类型题例题解析
【例题1】（2022山东滨州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=______.
【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值．
【例题3】如图，已知锐角△ABC．
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．
专题达标训练
1.（2022广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
3.在图中的Rt△ABC中，
(1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
(2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
6. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
7.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA =1/3 ，BC = 5， 试求AB的长.
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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题04 解直角三角形
学习目标
1. 了解并掌握解直角三角形的概念；
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系。
3. 学会解直角三角形。
对知识点的解读
1.解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
2.直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
3.其他有关公式
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
（4）直角三角形斜边上的高
解题思维方法
一、解直角三角形依据
1.勾股定理
2.两锐角互余
3.锐角的三角函数
二、解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)；(2)由求出∠A；(3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)；(2)由求出∠A；(3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A；(2)；(3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A；(2)a=c·sin A；(3)b=c·cos A.
三、解直角三角形的方法口诀
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
类型题例题解析
【例题1】（2022山东滨州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=______.
【答案】
【解析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
如图所示：
∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB==13，
∴sinA=．
故答案为：．
【点睛】在直角三角形中求正弦函数值是本题的考点，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值．
【答案】见解析。
【解析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tan B则先要用勾股定理求得AC．
∵sin A==，AB=10，∴BC=4．
∵AC=，
∴tan B==．
【例题3】如图，已知锐角△ABC．
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD，如图。
（2）先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切计算出BD，然后利用BC﹣BD求CD的长．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD==，
∴BD=×4=3，
∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2．
专题达标训练
1.（2022广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
【答案】
【解析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD．
∵BC＝，
∴CD＋2CD＝，
∴CD＝，
∴DB＝，
【点拨】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
3.在图中的Rt△ABC中，
(1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
(2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
【答案】见解析
【解析】（1）知道五个元素中的两个，可以求出另外的三个。
（2）知道五个元素中的两个，可以求出另外的三个。
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形.
【答案】见解析
【解析】知道五个元素中的两个，可以求出另外的三个。
根据勾股定理
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
【答案】见解析
【解析】知道五个元素中的两个，可以求出另外的三个。
6. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
【答案】见解析
【解析】作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而求解．
如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，
7.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA =1/3 ，BC = 5， 试求AB的长.
【答案】见解析
【解析】
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