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2023年九年级数学下册锐角三角函数同步讲义（人教版）
专题05 解直角三角形的简单应用
学习目标
1. 巩固解直角三角形相关知识.
2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三
角函数解决问题
对知识点的解读
1. 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2. 解直角三角形的依据
(1) 三边之间的关系：（勾股定理）；
(2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90 ；
(3) 边角之间的关系：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，则
sin A==，
cos A==，
tan A==．
解题思维方法
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案
类型题例题解析
【例题1】（2022黑龙江绥化）如图所示，为了测量百货大楼顶部广告牌的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得，仪器高度忽略不计，求广告牌的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
【答案】4.9m
【解析】先求出BC的长度，再分别在Rt△ADC和Rt△BEC中用锐角三角函数求出EC、DC，即可求解．
根据题意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，
则BC=AC-AB=30-10=20，
在Rt△ADC中，，
在Rt△BEC中，，
∴，
即
故广告牌DE的高度为4.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．
【例题2】如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
【答案】（1）13m．（2）10小时．
【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），
∴ED ==12（m）．
在Rt△DOE中，∵sin∠DOE = =，
∴OD =13（m）．
（2）OE== （m）
∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．
【例题3】如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数）
( http: / / www..cn )
【答案】路灯的高度为7.27米
【解析】在直角三角形中，，米
MP=10·tan300 =10×≈5.773米
因为米
所以MN=1.5+5.77=7.27米
【例题4】（2022甘肃威武）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】16.9m
【解析】【分析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】设BF=x m，
由题意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF=35°，
∴CF=BF tan35°≈0.7x（m），
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，
在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，
∴tan26.6°= ≈0.5，
∴x=22，
经检验：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
专题达标训练
1. （2022湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．
2. （2022吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【解析】根据正弦的概念即可求解．
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
3. （2022浙江台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【答案】梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【解析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长．
在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，
∴BC=AB sin75°
≈3×0.97=2.91
≈2.9(m)．
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
4. （2022内蒙古通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）.
【答案】的长度约为9.8米
【解析】【分析】延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形，根据图示，可得四边形是正方形，解，即可求解．
【详解】如图，延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
中，，
，
中，，
米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
5.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的
顶端沿墙面升高了 m．
( http: / / www..cn )
【答案】
【解析】当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为；
当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为，
所以梯子顶端升高了
6.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的长．
【答案】见解析。
【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵=，=
又已知
∴=．∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中， ，故可设AD=12k，AC=13k．
7. 小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平
线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
即南楼的影子在北楼上的高度为
8.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）请说明DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．
【答案】见解析。
【解析】要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可．利用直角三角形和等边三角形的特点来求DE的长．
（1）连接OD，则OD=OB，∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠ODE=∠DEC=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∴．
又∵AB=AC，∴CD=BD=，∠C=∠B=30°．
∴．
9.“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？
【答案】见解析。
【解析】设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是看C点，AB就是“楼”的高度，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在的.
10.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）
【答案】见解析。
【解析】作AG⊥CD于点G，
则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
11. 如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
【答案】（25+5）km．
【解析】过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．
过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．
在Rt△ABE中，BE=AB sin30°=20×=10km，
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，
CF=BF sin30°=×=km，
DF=CD﹣CF=（30﹣）km，
在Rt△DFG中，FG=DF sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，
∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．
故两高速公路间的距离为（25+5）km．
12.2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π=3.142,结果取整数）？
【答案】见解析。
【解析】设∠POQ=α，∵FQ是☉O
的切线，∴△FOQ是直角三角形.
A
C
B
斜边c
∠A的对边a
∠A的邻边b
A
O
B
E
C
D
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专题05 解直角三角形的简单应用
学习目标
1. 巩固解直角三角形相关知识.
2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三
角函数解决问题
对知识点的解读
1. 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2. 解直角三角形的依据
(1) 三边之间的关系：（勾股定理）；
(2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90 ；
(3) 边角之间的关系：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，则
sin A==，
cos A==，
tan A==．
解题思维方法
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案
类型题例题解析
【例题1】（2022黑龙江绥化）如图所示，为了测量百货大楼顶部广告牌的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得，仪器高度忽略不计，求广告牌的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
【例题2】如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
【例题3】如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数）
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【例题4】（2022甘肃威武）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
专题达标训练
1. （2022湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A. B. C. D.
2. （2022吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
3. （2022浙江台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
4. （2022内蒙古通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）.
5.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的
顶端沿墙面升高了 m．
( http: / / www..cn )
6.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的长．
7. 小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
8.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）请说明DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．
9.“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？
10.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）
11. 如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
12.2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π=3.142,结果取整数）？
A
C
B
斜边c
∠A的对边a
∠A的邻边b
A
O
B
E
C
D
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