2022-2023学年北师大版数学九年级上册4.7 相似三角形的性质 同步练习 （word版含解析）

北师大版九上 4.7 相似三角形的性质
一、选择题（共14小题）
1. 如图所示的两个三角形相似，则 与 的度数分别为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 若两个相似三角形的面积之比为 ，则它们的周长之比为
A. B. C. D.
3. 用幻灯机将一个三角形的面积放大为原来的 倍，则下列说法中正确的是
A. 放大后，，， 是原来的 倍
B. 放大后周长是原来的 倍
C. 放大后对应边长是原来的 倍
D. 放大后对应中线长是原来的 倍
4. 已知 ，且 ，则 的面积与 的面积之比为
A. B. C. D.
5. 如图，，，，．如果 的面积用 表示， 的面积用 表示，那么
A. B. C. D.
6. 如图，在 中，， 分别是 ， 的中点，若 的面积是 ，则四边形 的面积是
A. B. C. D.
7. 已知 的三边长分别为 ，，，现要利用长度分别为 和 的细木条各一根，做一个三角形木架与 相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：）分别为
A. ， B. ， 或 ，
C. ， D. ， 或 ，
8. 如图 ， 分别是 的边 ， 上的点，，若 ，则 的值为
A. B. C. D.
9. ， 与 的面积分别是 和 ，其中 的最短边的长度是 ，那么 的最短边的长度是
A. B. C. D.
10. 已知 ，，，则
A. B. C. D.
11. 将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的 倍，那么周长扩大为原来的
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
12. 如图，点 是平行四边形 的边 上一点，直线 交 的延长线于点 ，则下列结论错误的是
A. B. C. D.
13. 一辆汽车和一辆摩托车分别从 两地去同一城市，它们离 地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是 ．
A. 摩托车比汽车晚到 B. 两地的路程为
C. 摩托车的速度为 D. 汽车的速度为
14. 如图，线段 的两个端点的坐标分别为 ，，以原点为位似中心，将线段 放大得到线段 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
15. 已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是 ，，那么另外一个三角形的最大内角是 ．
16. 如图，， 相交于 点，，，，则 的长为 ．
17. 已知两个相似三角形对应边上的高线长分别为 和 ，则这两个三角形的相似比为 ．
18. 的三边之比为 ，与其相似的 的最短边是 ，则其最长边的长是 ．
19. 已知 ，若 与 的面积比为 ，则 与 对应角的角平分线之比为 ．
20. 如果两个相似三角形的相似比是 ，其中较大的三角形的面积是 ，那么另一个三角形的面积是 ．
三、解答题（共7小题）
21. 如图，一块直角三角形木板的两直角边 ， 的长分别为 ，．要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图 ，图 所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可以保留）
22. 如图， 中，， 是 上一点，．
（1）求证：；
（2）求证：．
23. 如图， 是一块锐角三角形余料，边 ，高 ，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上，这个正方形零件的边长是多少
24. 如图，已知 ．
（1）图中有哪些线段成比例
（2）说明 ．
25. 如图所示，在直角三角形 中，，，，动点 从点 出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为 秒．
（1）求 边的长；
（2）当 为直角三角形时，求 的值．
26. 如图，在 中，， 为 上一点， 为 上一点，且 ．
（1）求证：；
（2）若 ，，，求 的面积．
27. 如图， 是斜靠在墙壁上的梯子，梯脚 距墙脚 ，梯子上一点 距墙 ， 长为 ．求梯子 的长．
答案
1. B
2. A
3. B
4. B 【解析】，且相似比为 ，
其面积之比为 ．
5. C
6. C
【解析】， 分别是 ， 的中点，
，，
，
，
，
．
7. D
【解析】（1）当以 的一根为边时．
① 的边与 中的 是对应边时，根据相似三角形的对应边成比例，可求得另两边长是 和 ，它们的和大于 应舍去．
② 的边与 中的 是对应边时，根据相似三角形的对应边成比例，可求得另两边长是 和 ，它们的和小于 符合条件．
③ 的边与 中的 是对应边时，根据相似三角形的对应边成比例，可求得另两边长是 和 ，它们的和小于 符合条件．
（2）当以 的一根为边时，不论与哪一条边是对应边是对应边都不满足条件．
8. D
【解析】提示：，
.
.
9. D
10. B
【解析】因为 ，
所以 ．
故选：B．
11. B
12. C
13. C
14. B
15.
【解析】由三角形内角和定理可知，两个内角分别是 ， 的三角形的第三个内角为：，
两个三角形相似，
另外一个三角形的最大内角是 ．
16.
17.
18.
19.
20.
21. 设正方形的边长为 ．
甲的方法：由 ，得 ，
即 ，解得 ；
乙的方法：过点 作 边上的高线，分别交 ， 于点 ，，则 ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ．
因为 ，
所以甲同学的加工方法符合要求．
22. （1） 略．
（2） 略．
23. 正方形 的 边在 上，
，
，，
，
，
设 ，
，
则 ，
解得 ，即边长为 ．
24. （1） ．
（2） 由 ，知 ，易得 ．
25. （1） 在直角三角形 中，，
所以 ．
（2） 由题意知 ，
如图①所示，
当 为直角时，点 与点 重合，，
即 ；
如图②所示，
当 为直角时，，，，
在直角三角形 中，，
在直角三角形 中，，
所以 ，解得 ．
综上，当 为直角三角形时， 的值为 或 ．
26. （1） 证 ．
（2） ，
，
，
．
．
．
27. ．