2022-2023学年人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定 解答专项练习题 （word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定 解答专项练习题 （word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 315.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 11:11:12 | ||
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文档简介
2022-2023学年浙教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》解答专项练习题（附答案）
1．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．
求证：OC＝OD．
2．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，CB＝CE．求证：AB＝DE．
3．点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若CE＝10，DG＝4，求EG的长．
4．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
6．（1）如图1，∠CAB＝∠DAB，BC＝BD．求证：△ABC≌△ABD．
（2）如图2，∠ABC＝∠ABD，AC＝AD．求证：△ABC≌△ABD．
7．如图，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD，点E在AD上，DE＝DC，连接AC，BE．写出线段AC，BE的关系，并证明．
8．如图，∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，AB＝CD，BE＝CF．求证AF＝DE．
9．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
10．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
11．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．
12．（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
13．AB∥CD，∠AEC+∠ABD＝180°，BD＝CE，求证：AB＝DE．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BF＝AC，FD＝CD．求证：AC⊥BE．
15．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，AB＝DE．求证：FB＝CE．
16．已知，如图：AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E．
求证：AD＝BE．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上，且∠AEC＝∠BAC，BF∥CE，
（1）探索∠AFB与∠BAC的关系，并证明．
（2）图中是否存在与AF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由．
19．求证：如果两个三角形全等，那么它们对应角的角平分线相等．请根据图形，写出已知、求证，并证明．
已知：
求证：
20．在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，且AE平分BC，∠AED＝α°．
（1）如图1，当α＝90时，求证：AD＝AB+CD；
（2）如图2，当α＝120，且DE平分∠ADC时，探究线段AB、BC、CD、AD之间的数量关系，并证明你的结论．
21．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．
22．如图，△ABC，AB＝AC，点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF．
（1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF；
（2）把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC；这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
24．如图，在△ABC中，AC＝AB，AD⊥BC，过点C作CE∥AB，∠BCE＝50°，连接ED并延长ED交AB于点F．
（1）求∠CAD；
（2）证明：△CDE≌△BDF；
（3）求证：AC＝AF+CE．
25．在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上的一点，且AD＝AC．
（1）如图①，延长BC到E，使CE＝BD，连接AE．求证：AB＝AE；
（2）如图②，在AB上取一点F，使DF＝DB，P为BC延长线上的一点，连接PA，PF，若PA＝PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．
参考答案
1．证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴BD＝AC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD．
2．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
3．（1）证明：∵AD＝BC，
∴AD+DC＝BC+DC，
∴AC＝BD，
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ACE≌△BDF，
∴∠ACE＝∠BDF，
∴CG＝DG＝4，
∴EG＝CE﹣CG＝10﹣4＝6．
4．证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝90°，
即BE⊥AC；
5．解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°
∴∠BCE＝∠DAC
∵AC＝BC
∴△ACD≌△CBE
∴CE＝AD，BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．
6．证明：（1）作BE⊥AD于E，BF⊥AC于F，如图1，
∵∠CAB＝∠DAB，
∴BF＝BE，
在Rt△BCF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCF≌Rt△BDE（HL），
∴∠C＝∠D，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（AAS）；
（2）如图2，作AE⊥CB交CB的延长线于E，作AF⊥DB交DB的延长线于F，
∵∠ABC＝∠ABD，
∴∠ABE＝∠ABF，
∵AE⊥CE，AF⊥DF，
∴AE＝AF，
∵∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADF和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ACE（HL），
∴∠D＝∠C，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（AAS）．
7．答：BE＝AC，BE⊥AC．
证明：延长BE交AC于点F，
∵AD⊥BC，垂足为D，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE＝AC，∠BED＝∠C，
∵∠AEF＝∠BED＝∠C，
∴∠BFC＝∠A+∠AEF＝∠A+∠C＝∠CDA＝90°，
即BF⊥AC，
∴BE⊥AC．
∴线段AC，BE之间的数量关系是：AC＝BE，位置关系是：AC⊥BE．
8．证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF＝DE．
9．（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
10．证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE．
11．证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E
∴∠BDO＝∠CEO＝90°
在△BDO和△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OD＝OE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OA平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
12．（1）证明：在△ACE和△BCE中，
∵，
∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．
理由如下：
在CE上截取CF＝DE，连接BF，
在△ADE和△BCF中，
∵，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∴AE＝BE．
13．证明：∵∠AEC+∠ABD＝180°，
∠AEC+∠CED＝180°，
∴∠ABD＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDE，
在△ABD和△DEC中，
∵，
∴△ABD≌△DEC（AAS），
∴AB＝DE．
14．证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠FBD＝∠DAC，
∵∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠BFD＝90°，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠DAC+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥BE．
15．证明：∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
在△BAC和△EDF中
∴△BAC≌△EDF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣FC＝EF﹣FC，
∴FB＝CE．
16．证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD＝∠CBA＝90°，
在Rt△ADE和中Rt△ABC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL），
∴∠EDA＝∠C，
又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠CAB+∠C＝90°
∴∠CAB+∠EDA＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴ED⊥AC．
17．证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝90°．
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠BEC．
∵BD＝BC，
∴△ABD≌△BCE．
∴AD＝BE．
18．解：（1）∠AFB与∠BAC互补，
∵BF∥CE，
∴∠AFB＝∠CEF．
∵∠CEF与∠AEC互补，∠AEC＝∠BAC，
∴∠CEF与∠BAC互补．
∴∠AFB与∠BAC互补．
（2）存在，CE＝AF．
证明：在AF上取一点G，使AG＝BF，如图1，
∵∠AFB+∠BAF+∠CAF＝∠AFB+∠BAC＝180°，
∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180°，
∴∠ABF＝∠CAF．
在△ABF和△CAG中，
，
∴△ABF≌△CAG（SAS）．
∴AF＝CG，∠AFB＝∠CGA．
又∵∠AFB＝∠CEF，
∴∠CGA＝∠CEF．
∴CE＝CG．
∴CE＝AF．
19．解：已知：△ABC≌△A'B'C'，AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，
求证：AD＝A'D'，
证明：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C'，
∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，
∴∠BAD＝∠B'A'D'，
，
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA），
∴AD＝A'D'．
20．（1）证明：在AD上截取AF＝AB，连接EF，如图1所示：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠AEB＝∠AEF，BE＝BF，
∵AE平分BC，
∴BE＝CE，
∴FE＝CE，
∵∠AED＝∠AEF+∠DEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEF＝∠DEC，
在△DEF和△DEC中，，
∴△DEF≌△DEC（SAS），
∴DF＝DC，
∵AD＝AF+DF，
∴AD＝AB+CD；
（2）解：AD＝AB+CD+BC；理由如下：
在AD上截取AG＝AB，DH＝DC，连接EG、EH，如图2所示：
∵AE平分BC，
∴BE＝CE＝BC，
同（1）得：△ABE≌△AGE（SAS），△DEH≌△DEC（SAS），
∴BE＝GE，∠AEB＝∠AEG，CE＝HE，∠CED＝∠HED，
∵BE＝CE，
∴GE＝HE，
∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AEG+∠HED＝60°，
∴∠GEH＝60°，
∴△EGH是等边三角形，
∴GH＝GE＝BE＝BC，
∵AD＝AG+GH+HD，
∴AD＝AB+CD+BC．
21．证明：∵∠1＝∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，
∴∠1+∠DAF＝∠2+∠DAF，∠C＝180°﹣∠3﹣∠DFC，∠E＝180°﹣∠2﹣∠AFE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，
在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
22．解：（1）如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠DEC＝∠ABC+∠BDE，
∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∠DEF＝∠ABC，
∴∠BDE＝∠CEF，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DE＝EF；
（2）成立．理由如下：
过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥BC
相交于点M、N两点，如图2所示：
∵EM⊥AB，FN⊥BC
∴∠BME＝∠CNF＝90°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△MBE和△NCF中，
，
∴△MBE≌△NCF（AAS），
∴ME＝FN，
又∵DE＝EF，
∴Rt△DME≌Rt△ENF（HL），
∴∠MDE＝∠NEF，
又∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∠DEC＝∠MDE+∠ABC，
∴∠DEF＝∠ABC．
即若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC此命题成立．
23．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中，，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD．
24．（1）解：∵CE∥AB，∠BCE＝50°，
∴∠B＝∠BCE＝50°，
∵AC＝AB，
∴∠ACD＝∠B＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EFB，∠ECD＝∠B，
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS）；
（3）证明：∵△CDE≌△BDF，
∴CE＝BF，
∵AC＝AB＝AF+BF，
∴AC＝AF+CE．
25．（1）证明：在△ACD中，AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADB＝∠ACE，
在△ADB和△ACE中，
，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴AB＝AE；
（2）解：PC与BD的数量关系为：PC＝2BD，理由如下：
在线段PC上取一点E，使CE＝BD，连接AE，如图②所示：
由（1）得：△ADB≌△ACE（SAS），
∴∠AEC＝∠B＝60°，
∴∠AEP＝120°，
∵DF＝DB，∠B＝60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴∠FDB＝∠DFB＝60°，
∴∠PFD+∠PFA＝120°，∠PDF＝120°，
∴∠AEP＝∠PDF，
∵PA＝PF，
∴∠PAF＝∠PFA，
∵∠APE+∠PAF＝120°，
∴∠APE＝∠PFD，
在△APE和△PFD中，
，
∴△APE≌△PFD（AAS），
∴PE＝DF＝BD＝CE，
∴PC＝2BD．
1．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．
求证：OC＝OD．
2．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，CB＝CE．求证：AB＝DE．
3．点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若CE＝10，DG＝4，求EG的长．
4．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
6．（1）如图1，∠CAB＝∠DAB，BC＝BD．求证：△ABC≌△ABD．
（2）如图2，∠ABC＝∠ABD，AC＝AD．求证：△ABC≌△ABD．
7．如图，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD，点E在AD上，DE＝DC，连接AC，BE．写出线段AC，BE的关系，并证明．
8．如图，∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，AB＝CD，BE＝CF．求证AF＝DE．
9．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
10．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
11．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．
12．（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
13．AB∥CD，∠AEC+∠ABD＝180°，BD＝CE，求证：AB＝DE．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BF＝AC，FD＝CD．求证：AC⊥BE．
15．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，AB＝DE．求证：FB＝CE．
16．已知，如图：AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E．
求证：AD＝BE．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上，且∠AEC＝∠BAC，BF∥CE，
（1）探索∠AFB与∠BAC的关系，并证明．
（2）图中是否存在与AF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由．
19．求证：如果两个三角形全等，那么它们对应角的角平分线相等．请根据图形，写出已知、求证，并证明．
已知：
求证：
20．在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，且AE平分BC，∠AED＝α°．
（1）如图1，当α＝90时，求证：AD＝AB+CD；
（2）如图2，当α＝120，且DE平分∠ADC时，探究线段AB、BC、CD、AD之间的数量关系，并证明你的结论．
21．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．
22．如图，△ABC，AB＝AC，点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF．
（1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF；
（2）把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC；这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
24．如图，在△ABC中，AC＝AB，AD⊥BC，过点C作CE∥AB，∠BCE＝50°，连接ED并延长ED交AB于点F．
（1）求∠CAD；
（2）证明：△CDE≌△BDF；
（3）求证：AC＝AF+CE．
25．在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上的一点，且AD＝AC．
（1）如图①，延长BC到E，使CE＝BD，连接AE．求证：AB＝AE；
（2）如图②，在AB上取一点F，使DF＝DB，P为BC延长线上的一点，连接PA，PF，若PA＝PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．
参考答案
1．证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴BD＝AC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD．
2．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
3．（1）证明：∵AD＝BC，
∴AD+DC＝BC+DC，
∴AC＝BD，
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ACE≌△BDF，
∴∠ACE＝∠BDF，
∴CG＝DG＝4，
∴EG＝CE﹣CG＝10﹣4＝6．
4．证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝90°，
即BE⊥AC；
5．解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°
∴∠BCE＝∠DAC
∵AC＝BC
∴△ACD≌△CBE
∴CE＝AD，BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．
6．证明：（1）作BE⊥AD于E，BF⊥AC于F，如图1，
∵∠CAB＝∠DAB，
∴BF＝BE，
在Rt△BCF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCF≌Rt△BDE（HL），
∴∠C＝∠D，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（AAS）；
（2）如图2，作AE⊥CB交CB的延长线于E，作AF⊥DB交DB的延长线于F，
∵∠ABC＝∠ABD，
∴∠ABE＝∠ABF，
∵AE⊥CE，AF⊥DF，
∴AE＝AF，
∵∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADF和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ACE（HL），
∴∠D＝∠C，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（AAS）．
7．答：BE＝AC，BE⊥AC．
证明：延长BE交AC于点F，
∵AD⊥BC，垂足为D，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE＝AC，∠BED＝∠C，
∵∠AEF＝∠BED＝∠C，
∴∠BFC＝∠A+∠AEF＝∠A+∠C＝∠CDA＝90°，
即BF⊥AC，
∴BE⊥AC．
∴线段AC，BE之间的数量关系是：AC＝BE，位置关系是：AC⊥BE．
8．证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF＝DE．
9．（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
10．证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE．
11．证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E
∴∠BDO＝∠CEO＝90°
在△BDO和△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OD＝OE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OA平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
12．（1）证明：在△ACE和△BCE中，
∵，
∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．
理由如下：
在CE上截取CF＝DE，连接BF，
在△ADE和△BCF中，
∵，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∴AE＝BE．
13．证明：∵∠AEC+∠ABD＝180°，
∠AEC+∠CED＝180°，
∴∠ABD＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDE，
在△ABD和△DEC中，
∵，
∴△ABD≌△DEC（AAS），
∴AB＝DE．
14．证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠FBD＝∠DAC，
∵∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠BFD＝90°，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠DAC+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥BE．
15．证明：∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
在△BAC和△EDF中
∴△BAC≌△EDF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣FC＝EF﹣FC，
∴FB＝CE．
16．证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD＝∠CBA＝90°，
在Rt△ADE和中Rt△ABC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL），
∴∠EDA＝∠C，
又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠CAB+∠C＝90°
∴∠CAB+∠EDA＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴ED⊥AC．
17．证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝90°．
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠BEC．
∵BD＝BC，
∴△ABD≌△BCE．
∴AD＝BE．
18．解：（1）∠AFB与∠BAC互补，
∵BF∥CE，
∴∠AFB＝∠CEF．
∵∠CEF与∠AEC互补，∠AEC＝∠BAC，
∴∠CEF与∠BAC互补．
∴∠AFB与∠BAC互补．
（2）存在，CE＝AF．
证明：在AF上取一点G，使AG＝BF，如图1，
∵∠AFB+∠BAF+∠CAF＝∠AFB+∠BAC＝180°，
∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180°，
∴∠ABF＝∠CAF．
在△ABF和△CAG中，
，
∴△ABF≌△CAG（SAS）．
∴AF＝CG，∠AFB＝∠CGA．
又∵∠AFB＝∠CEF，
∴∠CGA＝∠CEF．
∴CE＝CG．
∴CE＝AF．
19．解：已知：△ABC≌△A'B'C'，AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，
求证：AD＝A'D'，
证明：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C'，
∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，
∴∠BAD＝∠B'A'D'，
，
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA），
∴AD＝A'D'．
20．（1）证明：在AD上截取AF＝AB，连接EF，如图1所示：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠AEB＝∠AEF，BE＝BF，
∵AE平分BC，
∴BE＝CE，
∴FE＝CE，
∵∠AED＝∠AEF+∠DEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEF＝∠DEC，
在△DEF和△DEC中，，
∴△DEF≌△DEC（SAS），
∴DF＝DC，
∵AD＝AF+DF，
∴AD＝AB+CD；
（2）解：AD＝AB+CD+BC；理由如下：
在AD上截取AG＝AB，DH＝DC，连接EG、EH，如图2所示：
∵AE平分BC，
∴BE＝CE＝BC，
同（1）得：△ABE≌△AGE（SAS），△DEH≌△DEC（SAS），
∴BE＝GE，∠AEB＝∠AEG，CE＝HE，∠CED＝∠HED，
∵BE＝CE，
∴GE＝HE，
∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AEG+∠HED＝60°，
∴∠GEH＝60°，
∴△EGH是等边三角形，
∴GH＝GE＝BE＝BC，
∵AD＝AG+GH+HD，
∴AD＝AB+CD+BC．
21．证明：∵∠1＝∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，
∴∠1+∠DAF＝∠2+∠DAF，∠C＝180°﹣∠3﹣∠DFC，∠E＝180°﹣∠2﹣∠AFE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，
在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
22．解：（1）如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠DEC＝∠ABC+∠BDE，
∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∠DEF＝∠ABC，
∴∠BDE＝∠CEF，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DE＝EF；
（2）成立．理由如下：
过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥BC
相交于点M、N两点，如图2所示：
∵EM⊥AB，FN⊥BC
∴∠BME＝∠CNF＝90°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△MBE和△NCF中，
，
∴△MBE≌△NCF（AAS），
∴ME＝FN，
又∵DE＝EF，
∴Rt△DME≌Rt△ENF（HL），
∴∠MDE＝∠NEF，
又∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∠DEC＝∠MDE+∠ABC，
∴∠DEF＝∠ABC．
即若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC此命题成立．
23．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中，，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD．
24．（1）解：∵CE∥AB，∠BCE＝50°，
∴∠B＝∠BCE＝50°，
∵AC＝AB，
∴∠ACD＝∠B＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EFB，∠ECD＝∠B，
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS）；
（3）证明：∵△CDE≌△BDF，
∴CE＝BF，
∵AC＝AB＝AF+BF，
∴AC＝AF+CE．
25．（1）证明：在△ACD中，AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADB＝∠ACE，
在△ADB和△ACE中，
，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴AB＝AE；
（2）解：PC与BD的数量关系为：PC＝2BD，理由如下：
在线段PC上取一点E，使CE＝BD，连接AE，如图②所示：
由（1）得：△ADB≌△ACE（SAS），
∴∠AEC＝∠B＝60°，
∴∠AEP＝120°，
∵DF＝DB，∠B＝60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴∠FDB＝∠DFB＝60°，
∴∠PFD+∠PFA＝120°，∠PDF＝120°，
∴∠AEP＝∠PDF，
∵PA＝PF，
∴∠PAF＝∠PFA，
∵∠APE+∠PAF＝120°，
∴∠APE＝∠PFD，
在△APE和△PFD中，
，
∴△APE≌△PFD（AAS），
∴PE＝DF＝BD＝CE，
∴PC＝2BD．