2022-2023学年北师大版九年级数学上册 第2章 一元二次方程 单元综合练习题（Word版 含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合练习题（附答案）
一．选择题
1．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+x+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
2．关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（　　）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
4．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（　　）
A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝800
5．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（　　）
A．（x+3）2＝9 B．（x+3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝4
6．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．4.8 B．10 C．12 D．8或10
7．已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（　　）
A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d
8．对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
9．如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
10．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）和它的两个实数根为x1、x2，下列说法：
①若a、c异号，则方程ax2+bx+c＝0一定有实数根
②若b2＞5ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两异实根
③若b＝a+c，则方程ax2+bx+c＝0一定有两实数根
④若a＝1，b＝2，c＝3，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝3
其中正确的结论的个数为（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二．填空题
11．方程（x+1）2＝3（x+1）的解为　 　．
12．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为 　 　．
13．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝　 　．
14．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式m3+2m2+2022的值为 　 　．
15．若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则Q＝（at+1）2的值为 　 　．
16．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m＝0为“好友方程”，则m的值是 　 　．
三．解答题
17．解方程：
（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． （2）x2﹣4x﹣5＝0．
（3）2x2+x＝3． （4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
18．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
19．某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利750元？
（2）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．
20．阅读下列材料：
（1）将一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形，叫做这个多项式的因式分解：例如a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法；
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5；
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
参考答案
一．选择题
1．解：A、在方程x2+x+1＝0中，Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根；
B、在方程x2+x﹣1＝0中，Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
D、在方程x2﹣2x+1＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：A．
2．解：把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，
整理得k2﹣4k＝0，解得k1＝0，k2＝4，
即k的值为0或4．
故选：B．
3．解：根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
4．解：依题意得：800（1+x）2＝968．
故选：B．
5．解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，
则x2+6x+9＝﹣4+9，
即：（x+3）2＝5，
故选：C．
6．解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵2+2＝4，
∴等腰三角形的腰长只能为4，底边长为2，
则其周长为：4+4+2＝10．
故选：B．
7．解：∵关于x的一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与关于x的一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，
∴x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．
∵一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0，
∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0，
∵有两个相等的实数根，
∴x1+x1＝﹣，
整理得：d＝a（x2﹣x1）．
故选：B．
8．解：∵1☆x＝2，
∴1 x2﹣1 x＝2，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根．
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣）＝0，
解得m1＝m2＝1．
故选B．
10．解：Δ＝b2﹣4ac，
当a、c异号时，ac＜0，所以Δ＞0，所以此时方程ax2+bx+c＝0一定有实数根，所以①正确；
当b2＞5ac时，则△＞ac，若a、c异号，此时方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，若ac同号，则Δ＞0，此时方程ax2+bx+c＝0一定有两异实根，所以②正确；
若b＝a+c时，Δ＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两实数根，所以③正确；
若a＝1，b＝2，c＝3，Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数根，所以④错误．
故选：C．
二．填空题
11．解：方程变形得：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
12．解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，
解得c＞，
∴c的取值范围是c＞．
故答案为：c＞．
13．解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，
所以a+b＝1，
所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣1＝2020．
故答案为：2020．
14．解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2＝﹣m+1，
∴m3＝m（﹣m+1）＝﹣m2+m＝﹣（﹣m+1）+m＝2m﹣1，
∴m3+2m2+2022＝2m﹣1+2（﹣m+1）+2022＝2m﹣1﹣2m+2+2022＝2023．
故答案为：2023．
15．解：∵t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，
∴at2+2t＝t（at+2）＝0，
∴t＝0或at＝﹣2．
当t＝0时，Q＝（at+1）2＝（0+1）2＝1；
当at＝﹣2时，Q＝（at+1）2＝（﹣2+1）2＝1；
综上所述，Q＝（at+1）2的值为1．
故答案是：1．
16．解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．
①若x＝0是两个方程相同的实数根．
将x＝0代入方程x2+3x+m＝0，得：m＝0，
∴m＝0，此时原方程为x2+3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，
∴m＝0；
②若x＝2是两个方程相同的实数根．
将x＝2代入方程x2+3x+m＝0，得：4+6+m＝0，
∴m＝﹣10，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，
∴m＝﹣10．
综上所述：m的值为0或﹣10．
故答案为：0或﹣10．
三．解答题
17．解：（1）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴3（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝1；
（2）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（3）∵2x2+x＝3，
∴（2x+3）（x﹣1）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣，x2＝1；
（4）∵4（x+2）2﹣（3x﹣1）2＝0，
∴（2x+4+3x﹣1）（2x+4﹣3x+1）＝0，
∴5x+3＝0或﹣x+5＝0，
∴x1＝﹣，x2＝5．
18．解：（1）设BC＝xm，则AB＝ m，
依题意得：x ＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：
设BC＝ym，则AB＝ m，
依题意得：y ＝480，
整理得：y2﹣62y+960＝0，
解得：y1＝30，y2＝32．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴y1＝30，y2＝32均不符合题意，舍去，
∴不能围成面积为480m2的矩形花园．
19．解：（1）设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝750，
整理，得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15．
∵尽快减少库存，
∴x＝15．
答：每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元．
（2）不可能，理由如下：
依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝1000，
整理，得：x2﹣20x+200＝0．
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×200＝﹣400＜0，
∴此方程无实数根，
∴不可能盈利1000元．
20．解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣32
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5）；
（2）a2+b2﹣4a+6b+18
＝a2﹣4a+4+b2+6b+9+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
当a＝2，b＝﹣3时，a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．