2022--2023 学年第一学期高三期初学情调研测试
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A x x 1 ， B x 1 x 2 ，则 A B ( A )
A． x x 1 B． x x 1 C． x 1 x 1 D． x 1 x 2
考查：集合之间的关系、集合的基本运算
2.设 x R，则“ | x 1| 1”是“ 0 x 5”的 ( A )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考查：充分条件与必要条件的概念与判断
3.若复数 z满足 z(1 i) 2i,则 z的共轭复数为( A )
A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i
考查：复数运算、概念
4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ B ）
y 1A. B. y x sin x C. y tan x D. y x3 x
x
考查：函数概念、三要素、性质
5.已知 AB (1,3), AC (3,m), AB BC 2 ,则 | BC |＝( B )
A．1 B． 2 C． 3 D．3
考查：向量数量积、模、坐标运算
6.下列命题中，是真命题的是（ B ）
A．如果ac bc，那么 a b B．如果 ac2 bc2 ，那么 a b
a b
C．如果 ，那么 a b D．如果 a b， c d，那么a c b d
c c
考查：不等式性质
7.已知函数 f (x) tan x 1 ，则( C )
tan x
A． f (x)的最小值为 2 B． f (x)的图像关于 y轴对称
C． f (x) 3 的图像关于直线 x 对称 D． f (x)的最小正周期为
4 2
考查：三角函数的最值、奇偶性、对称性、周期性
1
8.已知 a 0.1 1,b tan( 0.1),c ln 0.9，其中 e为自然对数的底数，则 （ B ）e
A． c a b B． a b c
C．b a c D． a c b
解析：因为 ex x 1，所以 a e 0.1 1 0.1 1 1 0.1；
因为 tan x x, x 0, ，所以b tan 0.1 0.1；
2
因为 ln x x 1，所以 c ln 0.9 0.9 1 0.1；
设 f (x) ln(x 1) tan x, x ( 1,0)
f (x) 1 1 cos
2 x (x 1)
x 1 cos2 x (x 1)cos2 x
设 h(x) cos2 x (x 1)， h (x) 2cos x sin x 1 sin 2x 1
在 ( 1,0)上， h (x) 0,h(x)递减，所以 h(x) h(0) 0
所以 f (x) 0, f (x)递增，所以 f ( 0.1) f (0)，即 ln 0.9 tan( 0.1) 0
所以 c b
综上： a b c
考查：构造函数比较指对幂大小
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
9.设函数 f (x) sin(2x
)的图象为曲线 ，则（ AD ）
6
A. 将曲线 y sin 2x向左平移 个单位长度后与曲线 重合
12
B. 将曲线 y sin(x )上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变，则与曲线 重合
6
C. 将曲线 f (x) 向左平移 后所得图象对应的函数为奇函数
6
D. 若 x1 x2，且 f (x1) f (x2 ) 0，则 x1 x2 的最小值为
考查：三角函数图象变换、函数性质
10.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ABD ）
A．若 | a | | b | 1, a,b 120 ，则 (a 2b) a
B．点M 1, 1 4 3 ， N 3,2 ，与向量MN 同方向的单位向量为 ,
5 5
C．若 a b a b 2 a 0，则 a b与a b的夹角为60
D．若向量 a 2,1 ，b 6,2 ，则向量b在向量 a上的投影向量为 2a
考查：向量概念、数量积、投影向量
11.已知 a，b为正实数，且 ab 2a b 16，则 ( ABC )
A. ab的最大值为 8 B. 2a b的最小值为 8
1 1
C. a b的最小值为6 2 -3 D. 的最小值为a 1 b 2
考查：基本不等式及相关结论的应用
/ 3
12.已知函数 f (x)及其导数 f / (x)的定义域均为 R，记 g x f (x) . 若 f ( 2x)为偶函数，
2
g(1 x)为奇函数，则（ BCD ）
2
f 3 0 g 1 A. B.2 2
0
C. g 1 g 2 0 g 1 7D. 2 g 0 2
考查：抽象函数性质
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.在 ABC 中， B 60 , AB 2，M 在边 BC上，且 BM 2MC ， AM 2 3，则
AC ________. 2 7
考查：正、余弦定理的应用
1
14. P 是梯形 ABCD 外一点， AB / /CD, AB 2CD , PD PA xPB yPC ，则2
x y _______ 1
2
解析：
法 1 设 AC BD O 2,则 PO PD 1 2 1 1 1 PB PC PA,故PD PA PB PC .
3 3 3 3 2 2
x y 1则
2
法 2 AB 2DC 1 1，所以 PB PA 2(PC PD) ，则 PD PA PB PC ，则
2 2
x y 1 .
2
考查：向量的线性运算
15.已知函数 f (x) x2 a x 1 4在区间 0, 上单调递增，则实数 a的取值范围
为 . 2,0
考查：函数（分段函数，知单调性求参量，数形选择）
f (x) a 2
x 1
x16. 已知函数 x 是定义在 R上的奇函数，当 x 1,2 时，2 mf x 2 0恒成2 b
立，则m的取值范围是___________ ( 5 2 6, )
考查：函数奇偶性运用、不等式恒成立、基本不等式求最值
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知集合 A x x (a 2) x (a 2) 0 ，B x 1 x 2 ．
若 a 3，求 A B ;
若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
解：（1）若 a 3，则 A x (x 1)(x 5) 0 x1 x 5 ，………………………………2’
又 B x 1 x 2 ，所以 A B x1 x 2 ．……………………………………………4’
（2） A x x (a 2) x (a 2) 0 x a 2 x a 2 ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 是 的真子集．…………6’
a 2 1
于是 ，解得0 a 1，
a 2 2
所以实数 a的取值范围是 0，1 ．…………………………………………………………10’
考查：交集及其运算，子集与必要不充分条件的定义．
18．设向量 a (cos x, sin x)，b ( 3 sin x, sin x) .
(1)若 a //b，求 cos 2x的值；
(2)设函数 f (x) (b a) a， x [ , ]，求 f (x)的零点.
解：(1)由 a //b，得 cos xsin x 3sin2 x 0，………………………………………2’
所以 sin x 0或 cos x 3sin x，
若 sin x 0，则 cos 2x 1 2sin 2 x 1；…………………………………………………….4’
1 1
若 cos x 3sin x，又 sin2 x cos2 x 1 2 2，则 sin x ， cos 2x 1 2sin x 4 2
1
综上，cos2x 的值为1或 ……………………………………………………………….6’
2
2
(2) f (x) b a a 3 sin x cos x sin 2 x 1 3sin 2x 1 cos 2x 1
2 2
sin(2x 1 ) .………………………………………………………………………….9’
6 2
f (x) 0 sin(2x ) 1 x [ , ] 2x [ 13 , 11 令 ，得 ，又 ，知 ]，
6 2 6 6 6
2x 11 , 7 则 , , 5 x 5 ，所以 , , , .
6 6 6 6 6 6 2 6 2
……………………………………………………………………………………………..12’
考查：向量共线、数量积坐标表示，同角三角函数关系，恒等变换公式，三角函数给值求角.
19．在四棱锥 P ABCD中，CD // AB, AD DC CB 1, AB 2, AC PB．
(1)证明：平面 PAC 平面 PBC；
(2)若 PB BC ,直线 PB与平面 所成的角为30 ，求 PD的长．
，
证明：（1）在平面四边形 中， // , = = = 1, = 2，所以四边形
是等腰梯形，由平面几何知识,可知 AC 3 ,则 AC 2 BC 2 AB2 ,所以 AC BC ,
…………………………………………………………………………………………………….2’
又 AC PB ,BC PB B,BC,PB 平面 PBC ,所以 AC 平面 PBC ,…………….4’
又 AC 平面 PAC ,所以,平面 PAC 平面 PBC ………………………………………….6’
(2)以 C 为原点，CA,CB分别为 x轴，y轴建立空间直角坐标系，则 A( 3,0,0) B(0,1,0)，
因为 AC 平面 PBC ，PB BC，可设 P(0,1,a)，则CA ( 3,0,0),CP (0,1,a) ，设
平面 的法向量为 n (x, y, z)，
CA n 3x 0
则 ，取 y a,则 n (0,a, 1)………………………………………9’
CP n y az 0
sin 30 a 1则 | cos BP,n | | | 2，因为 a 0，所以a 3，………….11’a a2 1
则 P(0,1, 3) D( 3 , 1,又 ,0)，所以 PD 6 ………………………………………12’
2 2
考查：线面垂直、面面垂直判定，线面所成角运用
a c a(sinC sin A)20.在 ABC中，内角A， B，C所对的边分别为 ，b， ，且 c b .
sinC sin B
（1）求 B；
tan B tan B sin A
（2）若 4, 求 的值.
tan A tanC sinC
a(sinC sin A)
解：（1）由 c b，可得 a(sinC sin A) (c b)(sinC sin B)，
sinC sin B
由正弦定理得 a(c a) (c b)(c b)，即 a2 c2 b2 ac，……………………2’
2 2 2
由余弦定理，得 cosB a c b 1 ，
2ac 2
因为0 B ，可得 B .…………………………………………………………….5’
3
tan B tan B sin B cos A cosC sin B sin(A C) 1 sin 2 B 1 b2
（2）由 4
tan A tanC cos B sin A sinC cos B sin AsinC cos B sin AsinC cos B ac
B 及 得b2 2ac，…………………………………………………………………….8’3
又由（1） a2 c2 b2 ac，得 a2 c2 3ac 0…………………………………….10’
2
a a
所以 3
a 3 5 sin A 3 5
1 0，所以 ，所以 .………………….12’
c c c 2 sinC 2
考查：正余弦定理运用
21．（12 分）今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家
较多. 我国目前为止尚无猴痘病例报告. 我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的
猴痘病毒防控提前做出部署. 同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊
疗指南（ 2022年版）》. 此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5 21天；②既往接种过天
花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力. 据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲
国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察
21天. 在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大.
对该国家 200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒
情况，得到下面的列联表：
接种天花疫苗与否/人数 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗 30 60
接种天花疫苗 20 90
(1)是否有99％的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率. 现从该国所有结束
医学观察的密切接触者中随机抽取 4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有 2人感染
猴痘病毒的概率；
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查. 在排查期间，发
现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴
痘病毒检测. 每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感
染高危家庭”. 假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 p 0 p 1 且相互独立. 记：
该家庭至少检测了 2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为 f ( p) .求当 p为何值时，
f ( p)最大？
2 n ad
2
bc
附：
a b c d a c b d
P 2 k0 0.1 0.05 0.010
k0 2.706 3.841 6.635
解：(1)假设H 0：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关
200 30 90 60 20 2
依题意有 2 6.061 6.635，
90 110 50 150
故假设不成立
没有 99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；…………….3’
30 20 1
(2)由题意得：该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，
200 4
设随机抽取的 4人中至多有 2人感染病毒为事件 A，则
1 0 3 4 1 1 3 3 2 2p A C 0 1 2 1 3 243 4 C4 4 4 4 C4
；
4 4 4 256
3 4
（或1 p A 1 C 3 1 3 14 1 13 243 ）……………….7’
4 4 4 256 256
(3) f p 1 p p 1 p 2 p p 1 p 2 p p3 3p2 2p
/ 2
则 f p 3p 6p 2，
/ 3 3 3 3
令 f p 0，则 p , p （舍去）1 3 2 3
p 0, p1 p1 p1,1
f / (x) + -
f (x) ↗ 极大值 ↘
3 3
综上，当 p 时，该家庭至少检测了 2名成员才能确定为“感染高危家庭”的可能
3
性最大.………………………………………………………………………………….12’
考查：独立性检验，二项分布，三次函数导数求最值.
22.（12 分）已知函数 f (x) 2cos x xsin x ax .
(1)若曲线 y f (x)在点 0, f 0 处的切线与 x轴平行.
①求实数 a的值；
②证明：函数 f (x)
, 3 在 内只有唯一极值点；
2 2
2 3
(2)当 a 时，证明：对于区间 , 内的一切实数，都有 f (x) 0. 2
解：(1) ①由题意得， f / (0) 0
f / (x) sin x xcos x a， f / (0) sin 0 0cos0 a 0 即a 0…….2’
/
②证明：由①可知， f / (x) xcos x sin x ，则 f / (x) xsin x
x , 3
,
2 2
/f / (x) - +
f / (x) ↘ 极小值 ↗
/ / 3
此时， f ( ) 1 0， f / ( ) 0， f ( ) 1 0
2 2
3
由零点定理结合单调性可知，存在唯一的 x0 , ，使得 f x0 0
2
x , x x 0 0 x0 ,
3
2 2
f / (x) - +
f (x) ↘ 极小值 ↗
f (x) 3 函数 在 , 内只有唯一极值点 x0，且取得极小值
2 2
故原命题得证……………………………………………………………………………….6’
3
(2)证明：要证对于区间 , 内的一切实数，都有 f (x) 0，即证
2
f (x) 0, x , 3 max
2
f / (x)
3
由(1)可知， 在 , 上单调递增， 且 f / (x) sin x xcos x a
2
/ 3 f ( ) a， f / ( ) 1 a
2
a 2 f / ( ) a 0
/ 3
以下，对 f ( ) 1 a 的正负进行分类讨论：
2
f / (3 1、当 ) 1 a 0，即 a 1时，
2
由 f / (x) 在 ,
3 / / 3
上单调递增，则 f (x) f a 1 0 ，
2 2
f x 在 ,
3
上单调递减， f x f 2 a 2
2
0，命题得
2
证；
f / (3 2、当 ) 1 2 a 0，即 1 a 时，
2
由(1) ②可知：
x , x 3 0 x0 x0 ,
2 2
f / (x) - +
f (x) ↘ 极小值 ↗
f 2 a 0
f 3 3 3 3
命题得证
2
a a 1 0
2 2 2
2 3
综上，当 a 时，对于区间 , 内的一切实数，都有 f (x) 0.……………….12’ 2
考查：导数几何意义，零点存在性定理，极值定义，恒成立问题.21、今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多。我
国目前为止尚无猴痘病例报告、我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病酱
防控提前做出部署、同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南
（2022年版)》、此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天：②既往接种过天花疫苗
者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力.据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制
定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天.
在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例牧大.对该国
家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，
得到下面的列联表：
接种天花疫苗与否/人数
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗
30
60
接种天花疫苗
20
90
(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关：
(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束
医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有2人感染
猴痘病毒的概率：
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间，发
现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴
痘病毒检测。每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感
染高危家庭”·假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0
该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为∫(p).求当卫P为何值时，
f(p)最大？
附：X2=
n(ad-be)
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(x2≥k)
0.1
0.05
0.010
Ko
2.706
3.841
6.635
22.已知函数f(x)=2cosx+xsinx+ax,
(1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行
①求实数4的值；
π3π
②证明：函数f(x)在
2’2
内只有唯一极值点：
2
3
(2)当a≤二时，证明：对于区间
元，2不内的一切实数，都有)<0.
2022-2023学年第一学期高三期初学情调研测试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，尸
有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={之，B={x-1A.{x>-1
B.{x之
C.{x-1D.{x≤x<2
2.设xeR,则“|x-1k1”是“0(
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若复数z满足z(1-)=2i,则z的共轭复数为(
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是(
A.y=-
B.y=x-sinx
C.y=tanx
D.y=x3-x
5.已知AB=1,3),AC=(3,m),AB.BC=2,则|BC|=(
A.1
B.2
c.5
D.3
6.下列命题中，是真命题的是(
A.如果ac>bc,那么a>b
B.如果ac2>bc2,那么a>b
c.如果4>b,那么a>b
D.如果a>b,c>d,那么a-c>b-d
7.已知函数fx)=tanx+,L,
则(
tanx
A.f(x)的最小值为2
B.f(x)的图像关于y轴对称
C.f(x)的图像关于直线x=
3兀对称
4
.f)的最小正周期为子
8.己知4=
-l,b=tan(-0.l),c=ln0.9,其中e为自然对数的底数，则(
A·C>4>b
B:a>b>c
C.b>axc
D.a>c>b