山东省菏泽市单县第五高级中学校2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题（PDF版含答案）

高二年级秋季开学考试
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若复数 z满足 z·(1－2i)＝i(i 是虚数)，则复数 z在复平面内对应的点在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要
饮料数量的( )．
A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值
3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有方锥
下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问斩高几何？”其意思为：已知方锥(即
正四棱锥)下底边长为 20 尺，高为 30 尺；现欲从方锥上面截去一段，使之成为方亭(即正四
棱台)，且使方亭上底边长为 8 尺(如图所示)，则截去小方锥的高为( )．
A．24 尺 B．18 尺 C．12 尺 D．6 尺
4．已知 10 个产品中有 3 个次品，现从其中抽出若干
个产品，要使这 3 个次品全部被抽出的概率不小
于 0.6，则至少应抽出的产品数为( )．
A．7 B．8 C．9 D．10
5．．打靶时，甲命中目标的概率为 0.8，乙命不中目标的概率为 0.3．若两人同时射击，
则他们同时命中目标的概率为( )．
14 12 12 3
A． B． C． D．
25 25 50 5
6．已知向量 a＝(2，1)，a·b＝10，│a＋b│＝ 5 2 ，则│b│＝( )．
A． 5 B．10 C． 5 D． 10
7．若平面α过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，平面α∥平面 A1BD，平面α 平面 ABCD
＝l，则直线 l与直线 CD1所成的角为( )．
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E，F分别是棱 BC，CC1 的中点，
P是底面 ABCD(含边界)上一动点，满足 A1P⊥EF，则线段 A1P长度的取值范围是( )．
A 1 5 5
3
．[ ， ] B．[ ， ] C．[1，
2 3
] D．[ 2 ， 3 ]
2 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对
的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．下列命题中正确的是( )．
知不足者好学 1 耻下问者自满
A．如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行
D．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行
10．下列命题中正确的是( )．
A．对任意复数 z，都有 z2≥0 B．对任意复数 z1，z2，都有∣z1＋z2∣＝∣z1∣＋∣z2∣
1
C．若复数 z满足 z R，则 z R D．若复数 z满足 R，则 z Rz
11．已知 A(2，1)，B(5，2)，C(4，4)，D(1，3)，下述四个结论中正确的是( )．
uuur uuur
A． AB AC B．四边形 ABCD为平行四边形
uuur uuur 3 uuur uuurC． AC与 BD夹角的余弦值为 D． | AB AC |＝ 416
12．我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产．下面是某地连续 11
天的复工、复产指数折线图．
第 12 题图
根据该折线图，下述说法错误的是( )．
A．这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加
B．在这 11 天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量
C．第 3 天至第 11 天，复工指数和复产指数都超过 80%
D．第 9 天至第 11 天，复产指数的增量大于复工指数的增量
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题后的横线上．
13．13．数据 148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，
163 的第 25 百分位数为_____；第 75 百分位数为_____．(本题第一空 2 分，第二空 3 分．)
14．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
15．15．若一组数据 a1，a2，a3，…，an的方差为 4，则 3a1－1，3a2－1，3a3－1，…，
3an－1 的标准差为_________．
16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 6 cm，该纸片上的正方
形 ABCD的中心为 O，而 E，G，H为圆 O上的点，△ABE，△BCF，
△CDG，△ADH分别为以 AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，
沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，
知不足者好学 2 耻下问者自满
(第 16 题)
△CDG，△ADH，使得 E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面
积的 2 倍时，四棱锥的外接球的体积为_______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a＝(1，2)．
(1)若 c＝(3 ＋1， －3)，且 c∥a，求 的值；
(2)若 b＝(1，m)(m＜0)，且 a＋2b 与 a－2b 垂直，求 a 与 b 的夹角θ．
18.(12 分)某校在高三年级学生一次数学考试后，对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统
计，其频率分布直方图如图所示，若 130～140 分数段的人数为 2 人．
(1)请估计一下这组数据的平均数 M；
(2)现根据考试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、
第五组)中任意选出两人，形成“帮扶学习小组”．若选出的两人成绩之差大于 20，则称这
两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
19.(12 分)如图，在四棱锥 A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥BC，AB＝AC，平面 BCDE⊥平
面 ABC，M为 BC的中点．
(1)若 N是线段 AE的中点，求证：MN∥平面 ACD；
(2)若 BE＝1，BC＝2，CD＝3，求证：DE⊥平面 AME．
(第 18 题)
知不足者好学 3 耻下问者自满
20．(12 分)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，cos A＋ 3 sin A＝0，a＝ 2 7 ，
b＝ 2 3 ．
(1)求 c；
(2)设 D为 BC边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD的面积．
21．(12 分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次
后，对方再连续发球 2 次，依次轮换．每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的
比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的
一局比赛中，甲先发球．
(1)求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；
(2)求开始第 5 次发球时，甲得分领先的概率．
22．(12 分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F
分别为 A1 C1，BC的中点.
(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1；
(2)求证：在棱 AC上存在一点 M，使得平面 C1FM∥平面 ABE；
(3)求三棱锥 E-ABC的体积．
(第 21 题
知不足者好学 4 耻下问者自满
高二年级秋季开学数学试题
参考答案
一、单项选择题 1．B．2．D．3．C．4．C．5．A．6．A．7．C．8．D．
二、多项选择题 9．BD． 10．CD．11．BCD．12．AB．
三、填空题
13 14 15 16 500 3π．154． ． 10 ． ．6； ． cm3 ．
27
提示：如图，连接 OE，交 AB于点 I，设 E，F，G，H重合于点 P，正方形的边长为
x x
x(x＞0)，则 OI＝ ，IE＝6－ ．
2 2
(第 16 题)
∵ 该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，
x x
∴ 4× (6－ )＝2x2，解得 x＝4．
2 2
设该四棱锥的外接球的球心为 Q，半径为 R，则 OC＝ 2 2 ，OP＝ 2 3 ，R2＝( 2 3 －
5
R 2 500 3π) ＋( 2 2 )2，解得 R＝ ．∴ 外接球的体积 V＝ cm3．3 27
四、解答题
17．解：(1)因为 c＝(3 ＋1， －3)，且 c∥a，所以(3 ＋1)×2－( －3)×1＝0，
解得 ＝－1；--------------------------4 分
a＋2b＝(3， 2＋2m)，
(2) 由题意，可知 a 2b 1 2 2m -----------------------------6 分 － ＝(－， － )．
因为 a＋2b 与 a－2b 垂直，
1 1
所以(a＋2b)·(a－2b)＝0，解得 m＝－ ，则 b＝(1，－ )，--------------9 分
2 2
知不足者好学 5 耻下问者自满
π
所以 a·b＝0，于是θ＝ ．-----------------------------------------10 分
2
18.解：(1)M＝95×0.01×10＋105×0.025×10＋115×0.045×10＋125×0.015×10＋
135×0.005×10＝113(分)．-------------------------------3 分
(2)设 90～140 分之间的人数是 n，由 130～140 分数段的人数为 2 人，可知 0.005×10×n
＝2，解得 n＝40．---------------------------5 分
依题意，第一组共有 40×0.01×10＝4(人)，记作 A1，A2，A3，A4；第五组共有 2 人，
记作 B1，B2．从第一组和第五组中任意选出两人，样本空间为{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，
A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，
A1)，(A3，A2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，A1)，(A4，A2)，(A4，A3)，(A4，
B1)，(A4，B2)，(B1，A1)，(B1，A2)，(B1，A3)，(B1，A4)，(B1，B2)，(B2，A1)，(B2，
A2)，(B2，A3)，(B2，A4)，(B2，B1)}，共有 30 个等可能的样本点．--------10 分
用事件 A表示“选出的两人为‘黄金搭档组’”．若两人成绩之差大于 20，则两人分
8
别来自于第一组和第五组，共有 16 个样本点，故 P(A)＝ ．--------12 分
15
19．解：(1)取 AB的中点 H，连接 MH，NH．∵ N是 AE的中点，∴NH∥BE．
又 BE∥CD，∴NH∥CD．又∵NH 平面 ACD，∴NH∥平面 ACD.
同理可证，MH∥平面 ACD．而 MH NH＝H，
∴ 平面 MNH∥平面 ACD，
∴ MN∥平面 ACD．--------------------------5 分
(2)连接 AM，DM，EM，由 AB＝AC，M为 BC的中点，得 AM⊥BC．
又平面 BCDE⊥平面 ABC，平面 BCDE 平面 ABC＝BC，AM 平面 ABC，∴AM⊥平
面 BCDE，∴AM⊥DE．
1
在 Rt△EBM中，BE＝1，BM＝ BC＝1，∴EM＝ ．
2 2
1
在 Rt△DCM中，CD＝3，CM＝ BC＝1，∴DM＝ 10 ．2
在直角梯形 BCDE中，可得 DE＝ (CD－BE)2＋BC 2 ＝ 2 2 ，
(第 18 题)
∴ EM 2＋ DE 2 ＝DM 2 ，∴EM⊥DE．
又∵AM EM＝M，∴ DE⊥平面 AME．-------------------12 分
5π
120 3．解：(1)由已知可得 tan A＝－ ，所以 A＝ ．
3 6
知不足者好学 6 耻下问者自满
5π
在△ABC中，由余弦定理得 28＝12＋c2－ 4 3 ccos ，即 c2＋6c－16＝0，6
解得 c＝－8(舍去)，c＝2．--------6 分
π π
(2)由题设可得∠CAD＝ ，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝ ．
2 3
1
S ACgADVACD 2 1 5π
故 S ＝ 1 π ＝2．又 S△ABC＝ ×2× 2 3 sin ＝ 3 ，VABD ABgADgsin 2 6
2 3
3
所以 S△ABD＝ ．-------------------------12 分3
21．解：用事件 Ai表示“第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得 i分”，i＝0，1，2；Bi
表示“第 3 次和第 4 次这两次发球，甲共得 i分”，i＝0，1，2；A表示“第 3 次发球，甲
得 1 分”；B表示“开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2”；C＝“开始第 5 次发球
时，甲得分领先”---------------------2 分．
(1)因为 P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，B＝A0A＋ A1A，
所以 P(B)＝P(A0A＋ A1A )＝P(A0A)＋P( A1A )＝P(A0)P(A)＋P(A1)P( A )＝0.352．---6 分
(2)因为 P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，
P(A2)＝0.62＝0.36．C＝A1B2＋A2B1＋A2B2，
所以 P(C)＝P(A1B2＋A2B1＋A2B2)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.307 2．-----------------------12 分
22．解：(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∵BB1⊥平面 ABC，
23．∴BB1⊥AB．
又∵AB⊥BC，BC BB1＝B，
∴AB⊥平面 B1BCC1．
∴平面 ABE⊥平面 B1BCC1．--4 分
(3) 取 AC中点 M，连接 C1M，FM，
(4) ∵F为 BC的中点，∴FM∥AB．
∵AB 平面 ABE，FM 平面 ABE，∴ FM∥平面 ABE．
∵AM∥C1M，AM＝C1M，
∴四边形 AMC1E为平行四边形．
∴C1M∥AE，C1M 平面 ABE．
（第 21 题）
知不足者好学 7 耻下问者自满
∴C1M∥平面 ABE．
∵C1M FM＝M，
∴平面 C1FM∥平面 ABE，
即存在 AC的中点 M使得平面 C1FM∥平面 ABE．---------9 分
(3)点 E到底面的距离即为侧棱长 AA1＝2．
∵在 Rt△ABC中，AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
S 1 3∴ AB＝ 3 ， ABC＝ ABgBC＝ ．2 2
V 3∴ E ABC＝ ．-----------------------12 分3
知不足者好学 8 耻下问者自满