2006年广东地区数学必修1第二章的整章课件[下学期]

(共34张PPT)
学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。
由于周围环境的限制，其中一边的长度既不能超过10米，又不能少于2米。求花坛长与宽两边之和的最小值和最大值。
16平方米
设长方形受限制一边长为 x 米，
归结为数学问题：
x
16平方米
利用不等式可求最小值；
如何求最大值？
研究y随x的变化而变化的规律
函数的单调性
上海市年生产总值统计表
年份
生产总值
（亿元）
上海市高等学校
在校学生数统计表
年份
人数
（万人）
上海市日平均
出生人数统计表
年份
人数（人）
上海市耕地面积统计表
年份
面积
（万公顷）
O
x
y
O
x
y
O
x
y
2
1
y
O
x
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
函数f (x)在给定区间上为增函数。
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
函数f (x)在给定区间上为减函数。
O
x
y
单调递增区间：
单调递减区间：
x
y
2
1
o
[引例]的继续：
如何判断函数
方法一
方法二
方法三
证明
[引例]的继续：
如何应用函数
课堂小结：
（1）函数单调性的概念；
（2）判断函数单调区间的常用方法；
（3）解决实际问题的数学思想方法。
（2）
（3）
作业
（1）
函数单调性的概念：
1. 如果对于属于这个区间的自变量的任意
称函数 f(x)在这个区间上是增函数。
2. 如果对于属于这个区间的自变量的任意
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。
一般地，对于给定区间上的函数f(x)：
方法一：分析函数值大小的变化。
方法二：分析函数的图象。
方法三：比较大小过程中的数值分析。
判断函数单调区间的常用方法：
方法一
方法二
方法三
解决实际问题的数学思想方法：
实际问题
数学问题
实际问题的解
数学问题的解
建立数学模型
实践验证
求解
有解吗？
作业：
数学习题册：
第25页 第11，12，13，14题。
同学们再见！
证明：
方法一：分析函数值大小的变化。
x
y
9
8
6
5
4
3
7
10
2
10. 8
10
8. 7
8. 2
8
8. 3
9. 3
11.6
10
单调递减区间：
单调递增区间：
猜测：
[2，4]
[4，10]
O
x
y
4
4
8
8
12
12
16
16
10
2
6
14
方法二：分析和函数的图象
猜测：
单调递减区间：
[2，4]
单调递增区间：
[4，10]
方法三：比较大小过程中的数值分析。
解：
证明：
（条件）
（论证结果）
（结论）(共22张PPT)
函数的单调性
上海市日平均
出生人数统计表
年份
人数（人）
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
则称 函数f (x)在给定区间上为增函数。
O
x
y
增函数、减函数的定义
则称函数f (x)在给定区间上为减函数。
O
x
y
例1 ： 如图是定义在闭区间 上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，以及在每一单调区间上， 是增函数还是减函数。
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
0
X
Y
单调递减区间
x
y
2
1
o
单调性，并加以证明。
的
判断函数
例2：
单调递增区间
证明：设x1,x2 是 上任意两个数，
且x1 f(x1)-f(x2 )
由 x1 于是 f(x1)-f(x2 )>0 即
所以函数
在
上是减函数
=(x12-x2 2)-2(x1-x2 )
=(x1-x2 )(x1+x2 -2)
f(x1)>f(x2 )
=( x12-2x1)-(x22 -2x2)
用函数单调性的定义证题的方法步骤：
一、在指定区间上任取x1,x2 且规定x1 、 x2
的大小关系
二、用作差或者其他方法比较
f(x1)、f(x2 )的大小
三、下结论
练习
1、
证明：函数f (x) = 在(0,+ )上是减函数
2、
课堂小结：
（1）函数单调性的概念；
（2）判断函数单调区间的常用方法；
（2）
作业
（1）
(3) 用定义法证明函数的单调性
-
函数单调性的概念：
1. 如果对于属于这个区间的自变量的任意
称函数 f(x)在这个区间上是增函数。
2. 如果对于属于这个区间的自变量的任意
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。
一般地，对于给定区间上的函数f(x)：
图象法、定义法
判断函数单调区间的常用方法：
思考题：已知：
上是增函数，求p的取值范围　
同学们再见！(共10张PPT)
§2.8 对数函数(2)
一、上节回顾:
1.什么样的函数叫做对数函数？
2.对数函数的图象主要有哪些特点
3.对数函数主要有哪些性质
1.求定义域的问题.
方法：化为不等式
或不等式组
2.求指、对数函数的反函数问题.
3.图象的问题.
要点：反解
把握：a>1,上升
0知识点
应用举例
4.函数单调性的应用举例.
(1)比较大小:
二、学习新知：
(2)解不等式:
(3)求值域:
(4)求单调区间:
例1 比较下列各组数中两个值的大小
( 1 ) log23.4, log28.5;
( 5 ) log5π_____log20.8
( 3 ) loga5, loga6 (a＞0,且a≠1);
( 2 ) log0.31.8_____log0.32.7;
( 4 ) log67_____log76;
>
>
>
方法:①利用对数函数的单调性.
②用“搭桥法”.
(1)比较大小:
练 习
用不等号“ > ”、“ < ”填空：
(1) log0.56 ___ log0.54 ;
(2) log812 ___ log1211 ;
(3) 若log1.5m < log1.5n , 则m___n ;
(4) 若log0.125m < log0.125n , 则m___n ;
<
>
<
>
例2 解下列关于x的不等式:
解不等式logax>loga(1-x)（ａ＞０且ａ≠１)
时，你首先想到要做什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)解不等式:
(1) log0.5x > log0.5(1-x)
思考？
(2) log2(x+3) < 0
依据：
练习：
(1)求函数 y=log3（x2-4x+7）的值域.
(3)求值域：
例3：求函数 y=log3x(1≤x≤3)的值域.
依据：
(2)已知函数y=logax(a>0,a≠1),
当x∈[3,9]时，函数的最大值比最小值大1,
则a=________
(4)求单调区间：
.
依据：复合函数的单调性的判定方法.
(注意：要考虑函数的定义域)
例4.函数ｙ＝log2(x2- 3x+2) 的单调减区间
是________
(－∞,－2)
小结：
4.函数单调性的应用举例
(1)比较大小. (2)解不等式.
(3)求值域. (4)求单调区间.
知识要求
作业：
①课本89页习题3,4,5.
已知x满足不等式
求函数
的最大值和最小值.
思考题:(共16张PPT)
y=3x+2
y=1/x (x>0)
函数的单调性
教学目标：
1.理解增函数、减函数的概念；
2.掌握判断某些函数增减性的方法；
3.培养学生观察、比较、分析的能力；
4.逐步渗透数形结合的数学方法；
5.熟悉从感性认识到理性认识，再从抽象到具体的研究问题的方法。
y=x3
y=x2
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2 )，那么就说在这个区间上是减函数
图象
定义：
阅读课本P59的例1、例2、例3
回答问题：
1.什么是函数的单调区间？
2.利用定义证明函数的单调性的步骤是什么？
一.用定义证明函数单调性的步骤：
1.取值
2.作差变形
3.定号
4.判断
例4：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
证明：设x1,x2是R上任意两个
实数， 且x1f(x1)-f(x2)=x13-x23
=(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 )
= (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22]
因为 x1又 (x1+ x2) 2 + x22>0
所以 f(x1)-f(x2)<0
即 f(x1)所以f(x)= x3在R上是增函数.
二.练习：
书 P60.3 P64.4 (2) P65.6(1)
思考：
判断函数f(x)= 在（- ，0 ） （ 0 ，+ ）
上的单调性.
作业：书P64. 习题2.3 的第1、2、3、5题
即设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1即作差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
确定差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论。
根据定义作出结论。(共10张PPT)
对数
学习内容
1.对数的定义.
2.对数的性质.
3.对数恒等式.
4.常用对数、自然对数的概念.
思考问题一：
假设1995年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长率为8%,求5年后国民生产总值是1995年的多少倍？
答：y=a(1+8%)5 =1.085a
是1995年的1.085倍
思考问题二：
已知国民生产总值每年平均增长率为8%,问经过多少年后国民生产总值是原来的2倍？
答： 1.08x=2
x=
1.对数的定义：
一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，即ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数
记作 logaN=b
2.对数的性质:①负数和零没有对数.
②loga1=0
③logaa=1
3.对数恒等式：
4.常用对数与自然对数的定义:
(1)以10为底的对数叫做常用对数.
为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN.
(2)以e为底的对数叫做自然对数.
为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.
练习1.把下列指数式写成对数式：
(1) 54=625; (2) 26=64;
(3) (4)1.08x=2.
练习2.把下列对数式写成指数式：
(1) (2) log5125=3
(3) lg0.001=-3 (4)ln10=2.303.
练习3.求下列各式的值：
练习4.计算下列各式的值:
小结
学习要求
1.掌握指数式与对数式的互化.
2.会由指数运算求简单的对数值.
练习:课本81页
练习1,2.
作业:课本81页练习3,4.
课本84页习题1,2(共16张PPT)
对数函数
x
y
o
1 . 互为反函数 (x) 和 -1(x) 它们之间的关系是
(x)的定义域是 -1(x)的 ,
(x)的值域是 -1(x)的 ;
(x)的图象与 -1(x)的图象关于直线 对称。
温故知新
对 数 函 数
值域
定义域
y =x
指 数 函 数
a>1
0图 像
定义域
值 域
过定点
单调性
函数值变
化规律
图像变化规律
o
x
y
(0,1)
o
x
y
(0,+∞)
R
(0,1)
在R上是增函数
在R上是减函数
x>0时,y>1
x<0时,0x<0时,y>1
x>0时,0底数越大越靠近y轴
底数越小越靠近y轴
(0,1)
性
质
某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，由2个分成4个……。一个这样的细胞分裂x次以后，得到的细胞个数y与分裂次数x的函数关系式可表示为（ ），
如果把这个函数表示成对数的形式应为（ ）
如果用x表示自变量，y表示函数，那么这个函数应为（ ）
∴ y = log 2 x 与 y=2 x 互为反函数.
y = 2 x
y = log 2 x
x=log2y
对数函数的定义:
新课讲解
新课讲解
.温帮知新
知识巩固
课堂小结
课外作业
学习进程
★ 函数 y = log a x (a>0,a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量
对 数 函 数
函数y = log a x 与函数y = a x (a>0,a≠1)互为反函数
函数的定义域是(0,＋∞)
对 数 函 数
画出下列函数的图像
y = l g x
y = log 2 x
y = log 0.5 x
对 数 函 数
y = l g x
y = 10 x
y=2
y = log 2 x
(0,1)
(1,0)
o
y
x
y=x
x
y
1
o
定义域
( 0,+ )
值域
R
x >1,
y > 0
0 a > 1
性 质
1
x
y
0
图 象
对 数 函 数
新课讲解
过定点
在( 0,+ )上是减函数
在( 0,+ )上是增函数
单调性
(1,0)
y < 0
0y > 0
0, y < 0
x >1
函数值
变化
图像变化
底数越大越靠近x轴
底数越小越靠近x轴
help
例 1: 求下列函数的反函数
对 数 函 数
知识应用
对 数 函 数
知识巩固
（1）y=
（2）y= log（1-x）（1+x）
解：(1)∵
x>0且log x≥0
即 x≤1
∴函数
y=
的定义域是{x|0(2)∵　1+x>0
　　　1-x>0
　　　1-x≠1
即-1∴函数y= log（1-x）（1+x）
的定义域是{x|-1例2；求下列函数的定义域
对数函数
例３：比较下列各数的大小
时
时
课堂练习：
1、P84练习
对 数 函 数
课堂小结
对 数 函 数
1. 对数函数的概念，对数函数与指数函数是互为反函数；
2. 对数函数的图象、性质，注意对数函数与指数函数之间的区别和联系；
3.函数值变化规律
4.图像变化规律
对 数 函 数
思考题：
求函数y=log2(x2+2x＋3)的单调递增
递减区间，值域。
x
y
1
o
定义域
(
0,+
)
值域
R
x >1,
y > 0
0 <
a < 1
a > 1
性
质
1
x
y
0
图
象
对
数
函
数
新课讲解
新
教材
过定点
在
(
0,+
)
上
是
是
减
函数
函数
在
(
0,+
)
上
是
是
增
函数
函数
单调性
(1,0)
y < 0
0<
x<1,
y > 0
0<
x<1,
,
y < 0
x >1
函数值
变化
图像变化
底数越大越靠近
x
轴
底数越小越靠近
x
轴函数的单调性和奇偶性
一、函数的单调性
　　由于函数的两个变量x, y的一个对应，在对应法则确定的情况下，y能随着x的确定而确定.这个确定的规律中，最典型的两类是y随着x的增大而增大或y随着x的增大而减小，而函数的单调性就是讨论这样一些问题，用定义的形式概括以上两类问题，即:
　　已知函数y=f(x), x∈(a, b)
若在(a, b)上任取x1(a, b) 为f(x)的增区间
若在(a, b)上任取x1f(x2), 称f(x)在(a, b)上是减函数,
(a, b)为f(x)的减区间.
　　增函数与减函数统称单调函数，函数的增区间和减区间统称单调区间.
说明:
　　1．函数的单调性都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就谈不上单调性，所以，表述单调性时，必须指出相应的区间.
　　2．增（减）函数定义的实质是:在相应的区间上，较大的x值对应较大（小）的y值.
例1．画出y=的图象，并说明它的单调区间.
解: 由左图，函数的单调递减区间为(-∞, 0)和(0, +∞).
点评:如图，函数y=在(0, +∞)是减函数，在(-∞, 0)内也是减函数，但不可说函数y=在(-∞, 0)∪(0, +∞)内是减函数，更不能说在（-∞，+∞）内是减函数.
∵当x1=-1, x2=1时,f(x1)=-1, f(x2)=1
此时x1可见，对函数单调性的描述一定要讲清区间.
例2．对于函数y=x3, (1)画出它的图象，(2)写出它的单调区间，并用定义证明之.
解:由图像知:y=x3的单调增区间为（-∞，+∞）.
证明:显然y=x3的定义域为（-∞，+∞）,
在R内任取x1和x2, 使x1f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1·x2+x22)=(x1-x2)[(x1+x2)2+x22]
∵x1又∵(x1+x2)2≥0, x22≥0，且(x1+x2)2与x22至多一个为0，
∴ f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)点评:
1．从图象上观察函数的单调性固然形象，也必须掌握，但这不够，函数单调性的讨论还必须会用定义来证明.
2．此题f(x1)-f(x2)的正负的讨论，易犯以下错误:
∵x1这种做法其实已经用了函数y=x3在R上是增函数的结论，所以它是不可取的，而实现这种判断还得靠实数的一些基本性质.
3．用定义证明函数的增减性的一般步骤是:
(1)设x1,x2 是给定区间的任意两个自变量的值，且x1(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形.（有时也用作商法）
(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而得出判断，（作商时判断与1的大小关系）.
例3．已知函数y=-x2+2x+1, x∈(-3,a].(1)当a=0时，求函数的值域；(2)若函数在(-3,a]内为增函数，求a的取值范围.
解:(1)当a=0时， x∈(-3,a],
∵ y=-(x-1)2+2∴(-3,0]是函数y=-x2+2x+1的单调增区间，
∴函数在(-3,0]内的值域为(f(-3),f(0)，即:当a=0时，函数值域为（-14，1].
(2)要使(-3,a]为增区间，∴a≤1,又∵区间(-3,a]中，a>-3,∴ -3点评:函数的单调性反映的本质是函数随着自变量x的变化情况，所以运用函数单调性能解决很多函数求值域及相关问题.
（2）的求解易忽视区间(-3,a]中，a与-3的关系.
二、函数的奇偶性
1．要正确理解奇函数和偶函数的定义，它是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若x是定义域中的一个数值，则-x也必然在定义域中，因此，函数y=f(x)是奇函数或偶函数的必要条件是:定义域在数轴上所示区间关于原点对称.
例:函数y=x2在(-∞,+∞)上是偶函数，
但y=x2在[-1，2]就不是偶函数，更不是奇函数.
2．判断函数的奇偶性，一般都依照定义严格进行，基本思路是:
（1）先考察定义域是否关于原点对称.
（2）根据定义考察表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x).
或用等价命题判断:考察f(x)-f(-x)=0或f(x)+f(-x)=0,若f(x)≠0，考察=±1是否成立.
例:判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=3x4+　　(2)f(x)=(x-1)
(3)f(x)=+　　(4)f(x)=+
解:(1)∵ 函数定义域为{x|x∈R,且x≠0}
f(-x)=3·(-x)4+=3x4+=f(x),∴f(x)=3x4+是偶函数.
(2)由≥0解得-1≤x≤1, 又∵1-x≠0, ∴x≠1,
∴ 函数定义域为x∈[-1,1),不关于原点对称，∴f(x)=(x-1)为非奇非偶函数.
点评:这个题看起来表示很麻烦，所以同学容易失去，将其化简成f(x)=-=-,忽略了原定义域就会误判断为偶函数.
(3)f(x)=+定义域为x=1,
∴ 函数为f(x)=0(x=1)，定义域不关于原点对称，
∴f(x)=+为非奇非偶函数.
(4)f(x)=+定义域为 x{1}，
∴函数变形为f(x)=0 (x=1),∴f(x)=+既是奇函数又是偶函数.
点评:（3），（4）两题看起来形式类似，但（3）定义域就不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，而（4）对{1，-1}中任意x，都有f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，∴ f(x)=+既是奇函数又是偶函数.
3．奇偶性的应用
例1．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x)=x(1+x3),那么当x∈(-∞,0]时，求f(x)的表达式.
解:任取x∈(-∞,0], 有-x∈[0,+∞),∴f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3),
∵f(x)是奇函数，∴ f(-x)=-f(x)∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3)，
即:当x∈(-∞,0]时，f(x)的表达式为x(1-x3).
点评:在求表达式时，要注意“问啥设啥”，直接在(-∞,0]内取x，可以明确问题的求解方向，不致于使关系混乱.（因为题目要求x∈(-∞,0] 时f(x)的表达式）
例2．已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10,求f(2).
解:观察函数，可知f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数，
令F(x)=f(x)+8,有F(-x)=-F(x)，
∴F(2)=-F(-2)=-[f(-2)+8]=-(10+8)=-18　　F(2)=f(2)+8=-18,　∴f(2)=-26.
点评:此题关键在于如何处理f(x)表达式中“-8”这个“尾巴”，去掉它就可以得到一个奇函数.因此可构造一个新的函数F(x)=f(x)+8，就能让这个问题利用奇函数的性质解决.
小结:
1．函数的单调性和奇偶性是函数最基本，最重要的两类性质，对这部分知识的灵活运用，首先建立在透彻理解单调性，奇偶性的概念上，对于其本质意义（即反映函数随自变量的变化情况）要更深的理解.
2．对单调性，奇偶性的讨论离不开函数的图形，所以数形结合是讨论这两种基本性质的重要手段.
课后习题:
1．证明函数f(x)=x+在区间（0，1）内是减函数.
证明:任取x1,x2∈(0,1), 使x1f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=x1-x2+
　　　　=(x1-x2)·(1-)=(x1-x2)·
∵ x10,且x1·x2<1,∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)=x+在（0，1）内是减函数.
2．y=x2-2ax+a2-1，x∈[0,1]，试问当a取哪些实数值时，恒有y>0.
分析:这是闭区间[0，1]上定义的一个二次函数，
欲使y>0,只有 ymin>0, 为此，考察抛物线的对称轴，顶点是最重要的.解:y=x2-2ax+a2-1的顶点坐标为(a, -1),
∴在[0，1]上欲使y>0，必须使x=a[0, 1]，分两种情况:
（1）当a<0时，
f(x)在[0，1]是增函数，ymin=f(0)=a2-1>0a>1或a<-1.
又∵a<0, ∴a<-1.
（2）当a>1时，
f(x)在[0，1]是减函数，ymin=f(1)=1-2a+a2-1>0
得a>2或a<0,又∵a>1, ∴a>2,综上，当a∈(-∞,-1)∪(2,+∞)恒有y>0.
3．判断函数f(x)=的奇偶性.
解:∵9-x2≥0, ∴-3≤x≤3,∴ 7≥4+x≥1∴|4+x|=4+x, 且|4+x|≠xx∈R,∴f(x)= x∈[-3, 3]，任取x∈[-3,3], 都有f(-x)=f(x)
即:函数f(x)=为偶函数. (共10张PPT)
函数的单调性
阳江市第一中学 梁峻荣
O
x（时）
y（℃）
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
2
4
6
8
10
12
北京春季某一天的气温y随时间x变化的图象
y＝f（x）
函数的单调性
当x增大时，
在区间[4，14]上,
y值增大.
x1
x2
y1
y1=f（x1）
y2
y2=f（x2）
当x1＜x2时，
y1＜y2
如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜ f（x2）， 那么就说f（x） .
f（x1）＜ f（x2）
图象上升
从左至右，
O
x（时）
y（℃）
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
y＝f（x）
在这个区间上是增函数
如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞ f（x2）， 那么就说f（x） .
当x增大时，
在区间[14，24]上,
y值减小.
当x1＜x2时，
y1＞y2
f（x1）＞ f（x2）
图象下降
从左至右，
例2
x1
x2
y1
y1=f（x1）
y2
y2=f（x2）
O
x（时）
y（℃）
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
y＝f（x）
例1
f（x）在该 区间上具有 单调性， 该区间为单 调区间.
在这个区间上是减函数
-5
O
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
-1
-2
例1.下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
解：
y＝f（x）的单调区间有
[－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5].
其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上
是减函数，
在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
作图是发现函数单调性的方法之一.
证明：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）＜ f（x2）
f（x1）－f（x2）＜0
f（x1）＝3x1＋2
f（x2）＝3x2＋2
f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋2）
＝3（x1－x2）
由x1＜x2，得 x1－x2＜0


另证：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
3 x1＜3x2

3 x1+2＜3x2+2
即f（x1）＜ f（x2）
a＜b，c＞0 ac＜bc a＜b a＋c＜b＋c
设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
证明：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
O
x
y
－1
－1
1
1
f（x）在定义域 上是减函数吗？
减函数
f（x）在定义域 上是减函数吗？ 取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 f（1）=1 -1＜1 f（-1）＜f（1）
增函数 减函数
图象
图象特征 自左至右，图象上升. 自左至右，图象下降.
数量 特征 y随x的增大而增大.当x1＜x2时，y1＜y2 y随x的增大而减小.当x1＜x2时，y1＞y2
O
x
y
x1
x2
y1
y2
O
x
y
x2
x1
y1
y2
小结：
判断函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？
O
x
y
1
1
解：
函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.
下面给予证明：
设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2
∴函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.(共13张PPT)
数学教学幻灯片
尊敬的老师
亲爱的同学：你们好！
今天由我为高一、五班主讲
指数 函数（理论教学第一课
时、总时 间40分钟）
数学公开课幻灯片
指数函数教学幻灯片
指数函数教学幻灯片
故事之一：棋盘之战
胜者不要金银而要谷粒，第一格一粒，以后顺次为前格谷粒的二倍，361个棋格放满共有多少谷粒？
摘要幻灯片
故事之二：半中折半
每次走余下中程的一半，请问最后能达到终点吗？
摘要幻灯片
对Y＝2n-1 、Y＝（1 2）n大小认识 以及相关的性质就是本课要学习和研讨的主要内容
指数函数（第一课）
摘要幻灯片
本课的要求即（教学目标）
认知目标：指数函数概念、
图象与性质。
能力素养目标：数形结合思想、
变形化归思想。
摘要幻灯片
讨论a的活动范围
要使教材中Y＝a x 的X∈R，请思考
a<0 恒成立能吗
(1) a=0 恒成立能吗 如不能,则请举一反例说明.
a>0 恒成立能吗 如能,那还怎样需进一步分类讨论呢
a=1 即Y=1 常值函数.
(2) a>1
a<1 本课研讨的对象.
数学公开课幻灯片幻灯片
函数Y＝2X与 Y＝（1 2）X 的图象
虽然是特殊的两个函数，但它们却很有代表性，前者代表a>1后者代表0性质研讨幻灯片
睹物思人、看图识意，请同学们按图索骥找出指数函数的相关性质。
（定义域、值域、单调性、奇偶性、等）
1> Y＝a x-1 的定义域为R对吗 请修订.
2>Y＝a x X∈[1、2]值域为R＋ 对吗？请修订。
3>比较2x 与(1 2)x 大小.
4>配对题(给图找式或在同一坐标内作出它们图象)
A：Y＝2x B：Y＝（1 2）x
C：Y＝3 x D： Y＝（1 3）x
摘要幻灯片
非书面作业
1＞ 理解记忆指数函数的图象与性质。
2＞复习嚼咬本课所讲例题。
3＞ 预习后部内容。
中国人
谢谢老师
和同学们！(共8张PPT)
函数习题课（一）
映 射
函 数
定义域A
对应法则f
值 域 C
解析式
列表法
图象法
例1.判断下列各式中哪些可确定y是x的函数？为什么？
答： （1）、（4）可确定y是x的函数；
（2）、（3）不能确定y是x的函数.
例2.下图中不可能是函数图象的是（ ）
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
A
B
C
D
。
。
B
分析：
解：
或
注意：
f（－x）≠－f（x）
分析：
f（x）的定义域为[－2，2]，就是说f仅对[-2，2]上的实数是有效的.
解：
分析：
解：
f
x
f
？
f
f
t
t的解析式
换元法
例6.已知y=f（x）的图象（如图），求 f（x）的表达式.
o
x
y
°1
-1
-1
1
解:
∴当－1≤x＜0时,可设
∵由于此函数图象是两条直线段
f（x）＝kx＋b
∵点（-1，0）、（0，1）在函数图象上
∴－k+b=0，k·0+b=1
∴k=1，b=1
∴当－1≤x＜0时,f（x）=x+1
同理，当0≤x≤1时,可得f（x）=－x
待定系数法(共7张PPT)
例1 如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆上.写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系，并求出它的定义域.
A
B
. O
C
D
E
当x＝？时，y最大？最大是多少？
V
例2 如图，按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利息为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。存入本金1000元，每期利率2.25％，试计算5期后的本利和是多少？
例 某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2％，试解答以下问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？
=0.9％
例3 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，其中c，k为常量。已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105Pa，1000m高空的大气压为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.
解：
由题意，知：
答：在600m的高空的大气压约为0.943×105Pa
实 际 问 题
实际问题的解
数 学 模 型
数学模型的解
数学模型方法
（Mathematical modelling method）
MMM
O
t
P
100 200 300
300
200
100(共17张PPT)
指数函数
阳江市第一中学 梁峻荣
y＝ax
函数 叫做指数函数
a＞0，
R
§2.6 指数函数
● 定义：
★细胞分裂
★放射性物质的衰变
某种放射性物质不断变为其它物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84％。一个单位的这种物质，经过x 年后，它的剩留量 y 与 x 的函数关系是
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…… 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是
2
4
8
1
2
3
0.84
0.84×0.84
0.84×0.84×0.84
1
2
3
21
22
23
y=2x
y=0.84 x
0.841
0.842
0.843
（ 且a≠1）
定义域是
y 与x 是一对一
x
2x
x
0.84x
.
.
.
.
.
x
y=2x
x
y=0.84x
O
x
y
1 2 3 4 5 6 7
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2-1
1
2
3
4
5
6
7
8
y=2x
.
.
.
.
.
.
y=0.84 x
画出下列函数的图象：
0
1
-1
0.5
-2
0.25
-3
0.125
…
…
1
2
2
4
3
8
…
…
0
1
2
0.71
4
0.50
5
0.42
-2
1.4
-5
2.4
-8
4.0
…
…
…
…
y=ax (0＜a＜1)
y=ax (a＞1)
（1） y=2x
（2） y=0.84 x
● 图象特征：
◆图象可向左、右两方无限伸展
向上无限伸展，向下与x 轴无限接近（x 轴是其渐进线）
◆都经过坐标为（0，1）的点
◆ a＞1时，图象 自左至右逐渐上升
0＜a＜1时，图象 自左至右逐渐下降
◆图象都在x 轴上方
●
O
x
y
1
1
◆图象可向左、右两方无限伸展
◆图象都在x 轴上方
向上无限伸展，向下与x 轴无限接近（x 轴是其渐进线）
◆都经过坐标为（0，1）的点
◆ a＞1时，图象自左至右逐渐上升
0＜a＜1时，图象自左至右逐渐下降
y=ax (a＞1)
y=ax (0＜a＜1)
O
x
y
1
1
图象特征
◆定义域：R
◆值 域： （0，+∞）
◆当x＝0时，y＝1
◆ a＞1时，在R上是增函数；
0＜a＜1时，在R上是减函数.
函数性质
a＞1
0＜a＜1
图 象
例1 某种放射性物质不断变为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84％。问经过多少年，1个单位的这种物质剩留量是原来的一半？
y＝0.5
解：
分析：
O
x
y
1 2 3 4 5 6 7
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2-1
1
2
3
4
5
y=0.84 x
y＝0.84x
作出函数y＝0.84x的图象（如下图），
作直线y＝0.5，
交y＝0.84x的图象于点P，
P
则P点的横坐标即为所求.
易得x≈4.
答：约经过4年剩留量是原来的一半.
即在 中，问y＝0.5 时， x＝？
例2 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5， 1.73
（2）0.8－0.1， 0.8－0.2
解：
y＝1.7x
而y＝1.7x 在R上是增函数，
且2.5＜3
∴　1.72.5＜ 1.73.
y＝0.8x
而－0.1＞－0.2，
∴0.8－0.1＜0.8－0.2.
传递性 a＞b，b＞c a＞c .
＝0.90
（3）1.70.3， 0.93.1
1.70＝
1.70.3 0.93.1
（3）
1
＞
＞
当x＝2.5和x＝3时的函数值 分别就是1.72.5， 1.73
∴1.70.3＞0.93.1
介值法
（1）在指数函数 中，
O
x
y
1
1
2
3
y＝1.7x
y＝0.9x
1.70.3
0.93.1
（2）∵指数函数 在R上是减函数，
例3
解：
所以
P78 练习2 求函数下列的定义域：
解：
这两个函数的值域是什么？
●指数函数的概念
●指数函数的图象
一.内容：
●指数函数的性质
（定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、反函数等）
二.方法：
数形结合
三.应用：
比较大小
四.注意：
利用单调性时要弄清底数a是a＞1还是0＜a＜1.
分类讨论
O
x
y
1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2-1
1
2
3
4
5
6
7
8
.
.
.
.
.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …
例1.作出下列函数的图象.
（1）y＝ 2－x
＝f（－x）
y＝f(x) 与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.
y=2－x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …
x … 3 2 1 0 -1 -2 -3 …
（2）y＝－ 2x
＝－f（x）
y＝f(x) 与y＝－ f(x)的图象关于x轴对称.
●
●
●
●
●
y＝2x
y＝2－x
y＝－ 2x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
.
.
.
.
.
这些 图象与y＝2x的图象有何关系？
＝ f(x)
例2.作出下列函数的图象.
（1）y＝2x＋1
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …
y=2x+1 … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …
x … …
-4
-3
-2
-1
0
1
2
O
x
y
1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2-1
1
2
3
4
5
6
7
8
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
y＝2x
（2）y＝ 2x －2
＝f（ ）
x＋1
＝ f（ ）
x－2
＝ f(x)
y＝2x＋1
把 f(x) 的图象向左移动1个单位就得到 f (x＋1)的图象
把 f(x) 的图象向右移动2个单位就得到 f (x －2)的图象
y＝ 2x －2
要画 y＝f(x ＋a）的图象，
只需把 f(x) 的图象平移
|a|个单位即可得到.
平移的方向是：
当a＞0时，向左；当a＜0时，向右.
例3.作出下列函数的图象：
（1）y＝2x＋1
（2）y＝2x－2
-5 -4 -3 -2-1
O
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
f（x） ＝2x
＝ f（x）＋1
＝ f（x）－2
y＝ 1
y＝－2
要画 y＝f(x) ＋b的图象，
只需把 f(x) 的图象平移
|b|个单位即可得到.
平移的方向是：
当b＞0时，向上；当b＜0时，向下.
作出 y＝|2x－2|的图象
y＝2x－2
y＝－2
y＝2
-5 -4 -3 -2-1
O
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
已知 的图象
y＝f(x)
y＝|f(x)|
只需将f(x)的图象在x轴下方的部分作镜面反射，其 余部分保持不变，就可得到y＝|f(x)| 的图象.
＝
f(x) 当 f( x)≥0
－f(x) 当 f( x)＜0
已知函数y＝f（x）的图象，怎样画函数y＝f（|x|）的图象？
函数 y＝f（|x|）是偶函数
y＝|f(x)| 的图象在y轴右侧和y轴上的部分与f(x)的图象相同，在y轴左侧的部分与y轴右册的部分关于y轴对称.
＝
f(x) 当 x≥0
f(－ x) 当 x＜0
y＝f（|x|）
画函数图象的方法：
●描点法
●变换法
平移、对称
已知函数y＝f(x)的图象，
画下列函数的图象：
① y＝f(x ＋a） ② y＝f(x) ＋b ③ y＝f（－x） ④ y＝－f（x） ⑤ y＝f(|x|) ⑥ y＝|f(x)|(共11张PPT)
一、平移变换
1、左右平移：
y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　 y=f(x+a)的图象
a>0时，向左平移 a 个单位
a<0时，向右平移 a 个单位
例1：作出函数y=2　　与y=2 的图象
x-2
x+1
分析：
y=2
x+1
y=2
x
y=f(x) y=f(x+1)
向右平移2个单位
y=2
x-2
y=2
x
y=f(x) y=f(x-2)
向左平移1个单位
一、平移变换
2、上下平移：
y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　 y=f(x)＋b的图象
b>0时，向上平移 b 个单位
b<0时，向下平移 b 个单位
例1：作出函数y=2　＋1　与y=2 －2 的图象
x
x
分析：
y=2
x
y=f(x) y=f(x)＋1
向下平移2个单位
y=2
x
y=f(x) y=f(x)－2
向上平移1个单位
y=2
x
＋1
y=2
x
－2
二、翻折变换
分析：
y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　 y= f(x) 的图象
保留f(x)在x轴上方的图象，
将x轴下方的图象翻到x轴上方
1、上翻
2
例1：作出函数y=　x –2x-3　的图象
y=　x –2x-3　
2
y=f(x) y=　f(x)
y=x –2x-3　
2
二、翻折变换
分析：
y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　 y= f(x) 的图象
保留f(x)在y轴右边的图象，
将y轴右边的图象翻到y轴左边
1、上翻
y=f(x) y=　f( x )
2、左翻
y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　 y=f( x ) 的图象
保留f(x)在x轴上方的图象，
将x轴下方的图象翻到x轴上方
例1：作出函数y=2　的图象
|x|
y=2
|x|
y=2
x
三、对称变换
1、y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　y=f(-x)的图象
关于y轴对称
2、y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　y=－f(x)的图象
关于x轴对称
3、y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　 y=－f(-x)的图象
关于原点对称
4、y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　 y=f－1(x)的图象
关于直线y=x对称
练习：
1、函数y=2x的图象分别向左、向下平移2个单位得函数＿＿＿＿＿＿＿＿＿的图象。
y=2x
左移2个单位
上移2个单位
y=2x+2
y=2x+2-2
y=2x+2-2
2、将函数y=f(x)的图象分别向左、向下平移2个单 位得函数y=2x的图象，则f(x)=___________
y=f(x)
y=2x
左移2个单位
下移2个单位
右移2个单位
y=2x+2
y=2x-2+2
y=2x-2+2
下移2个单位
3、函数y=a|x|-1（a>0且a≠1）的图象必过点( )
　　A. (1,0) B. (0,1) C. (±1,1) D. (0, )
4、函数y=a|x|-1（a>0且a≠1）的图象恒在y=1的上方，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿
5、函数y=2|x+1|的单调增区间是＿＿＿＿＿＿＿
分析：y=ax
y=ax-1
y=a|x|-1
C
分析：y=ax
y=ax-1
y=a|x|-1
(-∞,-1) ∪(1,+∞)
分析：y=2x
y=2|x|
y=2|x+1|
[-1,+∞)
一、平移变换
1、左右平移：
a>0时，向左平移 a 个单位
a<0时，向右平移 a 个单位
y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　 y=f(x+a)的图象
2、上下平移：
y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　 y=f(x)＋b的图象
b>0时，向上平移 b 个单位
b<0时，向下平移 b 个单位
小结
二、翻折变换
y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　 y= f(x) 的图象
保留f(x)在x轴上方的图象，
将x轴下方的图象翻到x轴上方
1、上翻
保留f(x)在y轴右边的图象，
将y轴右边的图象翻到y轴左边
2、左翻
y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　 y=f( x ) 的图象
三、对称变换
1、y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　y=f(-x)的图象
关于y轴对称
2、y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　y=－f(x)的图象
关于x轴对称
3、y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　 y=－f(-x)的图象
关于原点对称
4、y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　 y=f－1(x)的图象
关于直线y=x对称(共20张PPT)
指数函数
整数a的无理指数幂有意义。
复习：
n个
把一页纸对折剪开，再合起来对折剪开，再一次合起来对折剪开，…依次对折下去的次数与纸的页数有什么关系？
问题
指数函数
一页纸剪切x次后，得到的纸的页数y与 x的函数关系式是
y=2 x
我们可以看到每剪一次后纸的页数都增加为前一次的二倍，
指数函数
次数 页数
1次 2 页
2次 2×2=2 2 页
3次 2 2 ×2=2 3 页
4次 2 3×2=2 4页
……
……
自变量x作为指数，底数2是一个大于0而不等于1的常量
x次 2 (x-1) ×2=2x页
指数函数
问题：
一把尺子第一次截去它的一半,第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下去,问截的次数与剩下的尺子之间的关系.
指数函数
次数 长度
1次
2次
我们可以看到每截一次后尺的长度都减为前一次的二分之一倍，
3次
4次
…
…
一把尺子截x次后，得到的尺的长度y与x的函数关系式是
自变量x作为指数,底数 是一个大于0且小于1的常量。
x次
一般的，函数 y = a x （a＞0，a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量。
指数函数
函数的定义域是R
我们要求 a＞0，a≠1 是因为：
（1）如果a=0，当x＞0时，a x恒等于0;
当x ＜0时, a x无意义
(3)如果a =1, 1 x=1是一个常量，对它研究没价值。
(2) 如果a ＜0,x = , x = 时,函数值在实数范围内不存在.
指数函数
作出函数 y =2x 的图象：
x …… -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 ……
y=2 x …… 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 ……
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
8 7 6 5 4 3 2 1
y =2 x
指数函数
作出函数 的图象
指数函数
指数函数
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
y =2x
x
8 7 6 5 4 3 2 1
……
……
0.13
3
0.25
2
0.5
1
0.71
0.5
1
0
2
-0.5
2
-1
4
-2
8
-3
……
……
y =( )x
x
练习:
在同一坐标系作出下列函数的图象.
(1) y =10 x. (2)
y =10 x
指数函数
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
8 7 6 5 4 3 2 1
y
图象特征
函数性质
(1)图象都位于x轴上方
(1) x取任何实数都有ax>0.
(2)这些图象都过（0,1 )点.
(2)只要a ＞0，a≠1,总有a 0 =1
(3) 图象Ⅰ,Ⅱ在第一象限大于1, 在第二象限小于1。 而 图象Ⅲ,Ⅳ则反之.
(3)当a>1,x＞0,则ax>1;x＜0,则ax<1.
当01
(4)自左向右,图象Ⅰ, Ⅱ逐渐上升;图象Ⅲ, Ⅳ逐渐下降.
(4) a>1,y=ax在R上是增函数
0 < a<1, y=ax在R上是减函数
注:
a>1, a越大, y=ax越靠近坐标轴;
0< a <1, a越小, y=ax越靠近坐标轴;
指数函数
y =3 x
x
y
y =10 x
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
y =2 x
（0，1）
0
(1) 定义域 : R
指数函数在底数a＞1及0＜ a＜ 1,这两种情况下的图象和性质如下：
指数函数
a > 1
0＜ a ＜ 1
图 象
性 质
(2)值域: ( 0 ,+∞ )
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4） 在R上是增函数
（4）在R上是减函数
x
y
y = 1
y =a x
(0＜a ＜1)
(0,1)
0
x
y
(0,1)
y = 1
y = a x
(a＞ 1)
0
练习:
指数函数
判断下列函数的定义域和值域.
解:
(2)因为可以在整个实数范围内取值,而 x≧1时有意义,所 以定义域为[1,+ ∞);值域为[1,+ ∞)
(1)因为可以在整个实数范围内取值,而x≠0时 有意义,所以定义域为(-∞,0)∪(0,+ ∞);值域为(0,1) ∪(1,+ ∞).
练习:
比较下列各题中两个值的大小.
1.7 2.5, 1.7 3
(2) 0.8 –0.1, 0.8 –0.2
(3) 1.7 0.3, 0.9 3.1
指数函数
解:
(1)考察指数 y =1.7 x.由于底数1.7＞1，所以指数函数 y =1.7 x在R上是增函数.
∵2.5＜3,
∴ 1.7 2.5 ＜1.7 3
(2) 0.8－0.1 ,0.8－0.2
考察函数 y = 0.8 x.由于底数 0.8﹤1，所以指数函数 y = 0.8 x在R上是减函数.
∵－0.1 ﹥ －0.2,
∴ 0.8 – 0.1 ﹤ 0.8 – 0.2
(3) 1.7 0.3, 0.9 3.1
由指数函数的性质知:
1.7 0.3 ﹥1.7 0 =1, 0.9 3.1 ﹤ 0.9 0 =1,
即 1.7 0.3 ﹥ 1, 0.9 3.1﹤1
∴1.7 0.3﹥ 0.9 3.1
指数函数
指数函数
练习:
已知下列不等式,请判断m,n的大小.
(1) 2 m ﹤2 n
(2) a m ﹥a n (0 ﹤a ﹤1)
解:
(1) 考察函数 y = 2 x.由于底数２ ﹥ 1,所以指数函数 y =2 x在R上是增函数
∵ 2 m ﹤2 n ∴ m ﹤n.
(2)考察函数 y = a x.由于底数 0 ﹤a ﹤1,所以指数函数 y = a x在R上是减函数
∵ a m ﹥a n ∴ m ﹤n.
指数函数
小结：
一。概念：
一般的，函数 y = a x （a＞0，a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量。
二。性质：
(2)值域: ( 0 ,+∞ )
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）a＞1 在R上是增函数
0＜a ＜1在R上是减函数
（1）定义域：R。(共8张PPT)
§2.1 映 射
李明 收
李明：
张三：
王五：
张三 收
信封与信的对应
对应
像与人的对应
按照所给的法则f，在B中找出与A中相对应的元素
9
4
1
3
-3
2
-2
1
-1
f：开平方
30°
45°
60°
90°
A
B
f：求正弦
A
B
9
4
1
3
-3
2
-2
1
-1
f：求平方
A
B
1
2
3
1
2
3
4
5
6
f：乘以2
A
B
（1）
（2）
（3）
（4）
设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射.记做f：A→B. 并称y是x的象，x是y的原象.
例1.判断下列对应是不是从集合A到集合B的影射，如是映射，就写出它们象的集合C.并说出C与B的关系.
（1）A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f：“乘2加1”
（2）A＝N，B＝{0，1}，对应法则f：“除以2得的余数”
是
C B
C B
是
C＝B
若象集为C，则C B
C B
C B
C＝B
映射
如果在映射f：A→B中，B中的每一个元素都有唯一的原象，则称这个映射为从A到B上的一一映射.
（1）映射只要求A中的元素都有象且有唯一的象，但不要求B中的元素都有原象，即使有原象也不一定唯一；
（2）一一映射不但要求A中的元素都有象且有唯一的象（一一映射也是映射），还要求B中的元素都有原象而且有唯一的原象.在B一一映射中必有C＝B.
注
一一映射
例2.在前面所给的对应中哪些是映射？哪些是一一映射？
答案：（2）、（3）、（4）是映射，（2）是一一映射.
例3.已知一一映射f：A→B，其中A={1，2，3，k}， B={4，7，a4，a2+3a}，a，k∈N，f：x→y=3x+1.求a、k的值.
解：
由题意，得：
10=a4
3k+1=a2+3a
或
10=a2+3a
3k+1=a4
由于a，k∈N，所以
a＝2，k＝5.
例4.已知映射f：A→B，其中集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在影射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （ D）7
A(共15张PPT)
函数的奇偶性
梁峻荣
奇函数、偶函数的概念
对函数的奇偶性的理解
奇函数、偶函数的性质
o
x
y
o
x
y(共12张PPT)
下面两个图形各呈怎样的变化趋势？
y=x2
y=x3
y轴右边 ， 曲线为上升趋势
y轴左边 ，曲线为下降趋势
曲线在整个定义域呈上升趋势
2.3函数的单调性
1.取值
一.用定义证明函数单调性的步骤：
即设x1,x2是该区间内的任意两个值，x12.作差变形
即作差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
3.定号
确定差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论。
4.判断
根据定义作出结论
例4：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
f(x1)-f(x2)=x13-x23
因为 x1所以 f(x1)-f(x2)<0即 f(x1)所以f(x)= x3在R上是增函数.
证明：设x1,x2是R上任意两个实数， 且x1例3：证明函数
在（0，+∞）上是减函数。
则
由x1、x2∈（0，+∞），得x1x2>0，
又x10。
∴f(x1)- f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
∴
在（0，+∞）上是减函数
证明函数
是R上的增函数
证明:
利用单调性定义证明函数单调性步骤：
据单调性定义证明函数的单调性
Y=3x+2
例1 定义在区间[-5，5]上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，以及在每一单调区间上，
是增函数还是减函数。
-5
-2
0
1
3
5
x
y
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1,3)，[3,5]，其中在区间[-5，-2)，[1,3)上是减函数，在区间 [-2，1) ，[3,5]上是增函数。
注意:函数单调性定义中“在定义域的某个区间上”.
要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。
x
o
y
x
o
y
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
注意:函数单调性是对定义域的某个区间而言的
x
o
y
定义：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x
o
y
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2 )，那么就说f(x)在这个区间上是减函数(共23张PPT)
顺德罗定邦中学
教材分析
学法指导
教学方法
和手段
教学过程
教材分析
教材的地位与作用
教学目标
重点和难点
教材处理
学法指导
学生是一个主动的、积极的知识探索者，要充分体现“教师为主导，学生为主体”原则，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和思维空间，努力创设好问题环境，活跃学生思维，促使学生在教学活动中主动摄取知识，增强分析、总结问题的能力。
教学方法和手段
针对本节课概念抽象的特点，整节课将以启发学生思考、分析、讨论为主。采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，体现“对比和联系”的思想方法，力求做到以创造发展为目的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段，以推理判断为特征。
采用多媒体电教手段，增大教学容量和感观性。
教材的地位与作用
“反函数”这节教材，是函数概念的进一步深化，反映了函数概念中两个变量既相互对立，又相互统一、相互依存的辩证关系。
原函数与反函数的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，从哲学意义上讲，教学的全过程即在引导学生从对立中探求内在的统一，逐步培养学生用辩证的、联系的观点去分析问题、解决问题的能力。
对反函数概念、性质的研究，为今后学习指数、对数函数、反三角函数打下基础，也对函数概念有进一步理解，为进一步研究函数的性质具有十分重要的作用，也是高考的必考内容。
教学目标
知识目标：（1）对反函数概念的理解。
（2）给定函数的反函数的求法。
能力目标：培养学生的逻辑推理、逆向思维、
发散思维、综合归纳的能力。
情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证
唯物主义观点。
（2）在民主、和谐的教学气氛中，
促进师生的情感交流。
重点、难点
重点：（1）对反函数概念的理解；原函数
与反函数之间的内在联系。
（2）给定函数的反函数的求法 。
难点： 对反函数概念的理解；原函数与反
函数之间的内在联系。
教材处理
根据反函数概念的特点，结合学生的认识能力
在概念的理解上，强调“反”字，突出三个环节：
一：从y=f（x）→x=f -1（y）的理解；
二：从x=f -1（y）→y=f -1（x）的理解；
三：y=f（x）与y=f -1（x）中的两个变量x、y之间的区别和联系。
1、以旧引新，揭示课题
乘2
平方
A
B
A
B
1
2
3
4
2
4
6
8
-1
1
-2
2
-3
3
1
4
9
设计意图
大纲要求不必向学生指出存在反函数的条件，通过正反对比，使学生懂得不是所有的函数都有反函数。复习旧知识，一方面提出新课题，另一方面又为形成反函数的概念提供了实际模型，便于引导学生去探求新知识，而通过反例的衬托，又为学生理解概念清除了障碍，有意识地培养了学生归纳总结的能力。
讨论归纳、导入定义
由前面的特例可以看到：给定函数y=f（x）定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）解出得到x=φ（y），如果对于y在C中的任何一个值，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ（y）就表示x是变量y的函数，把x=φ（y）叫函数y=f（x）的反函数，
记作：x=φ(y)=f -1（y）
剖析概念，加深理解
具体：
原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的。
原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的。
NETX
抽象：
由此可知：原函数的定义域就是反函数的值域。
原函数的值域就是反函数的定义域。
定义域
定义域
值域
值域
从感性认识上升到理性认识，是人们认识世界的一般规律，反函数与原函数的关系体现在三个方面：定义域、值域、对应法则（f与f -1 ），正确理解原函数与反函数的两域关系是深化反函数概念的关键，由具体到抽象符合学生的认知规律，达到了突出重点、分散难点的效果。
设计意图：
讲练题I
归纳整理、形成体系
1、概念小结:重点从两个方面:y=f（x）→x=f-1（y），
x=f -1（y）→y=f -1（x）
来理解x、y之间的关系。体现“反”字。
2、方法小结：求给定函数的反函数的三部曲：
（1）互解；（2）互换；（3）确定定义域
3、思想方法小结：函数与方程思想
反馈练习
板书设计
软件制作：李铭棋
顺德罗定邦中学(共17张PPT)
一、复习：
1、对数的概念：
2、指数函数的定义:
如果ab = N ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作
log a N＝b（a>0,a≠1）
函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,
其中x是自变量.函数的定义域是 R.
回忆学习指数函数时用的实例
剪纸问题：纸的页数y与次数x的函数关系式是：y = 2 x；
即剪纸的次数x也是纸的页数y的函数，如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是：
y=log 2 x
由对数的定义，这个函数可以写成对数的形式： x =log 2 y，
由反函数的概念可知，y=log 2 x与y = 2 x互为反
函数
一般地
函数 y = logax (a＞0,且a≠1)是指数函数
y = ax的反函数
函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )
叫做对数函数.其中 x是自变量,函数
的定义域是（ 0 , +∞）
对数函数和指数函数
互为反函数
对数函数的定义：
用描点法画对数 函数y=log2x和y=log0.5x 的图象
（点击进入几何画板）
x
y
0
1
y = log2x
y=log 0.5 x
图象特征 函数性质
图像都在 y 轴右侧
图像都经过 (1,0) 点
1 的对数是 0
㈠
㈡
当底数a＞1时; x＞1 , 则logax＞0
0＜x＜1 ,则 logax＜0
当底数0＜a＜1时; x＞1 , 则logax＜0
0＜x＜1 ,则logax＞0
图像㈠在(1,0)点右边的
纵坐标都大于0,在(1,0)点
左边的纵坐标都小于0;
图像㈡则正好相反
自左向右看,
图像㈠逐渐上升
图像㈡逐渐下降
当a＞1时,
y＝logax在(0,+∞)是增函数
当0＜a＜1时,
y＝logax在(0,+∞)是减函数
定义域是( 0,＋∞）
根据互为反函数的图象关于
直线 y=x 对称，作出对数函
数y=logax 的图象
(点击进入几何画板）
图
象
a>1 0性
质
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
(4) 0x>1时, y>0
(4) 00;
x>1时, y<0
(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(1) 定义域： (0,+∞)
(2) 值域：R
x
y
o
(1, 0)
x
y
o
（1, 0)
(5)在(0,+∞)上是减函数
(5) 在(0,+∞)上是增函数
例1 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log 23.4 , log 28.5
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
　⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
解　⑴考察对数函数 y =log2x,因为它的底数2＞1,
所以它在(0,+∞)上是增函数,于是
log 23.4＜log 28.5
⑵考察对数函数 y =log0.3x,因为它的底数0.3,
即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是
log 0.31.8＞log 0.32.7
解：当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是
log a5.1＜log a5.9
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是
log a5.1＞log a5.9
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大
小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时, 要
分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
分析：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:
练习1:
比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 log108
⑵ log0.56 log0.54
⑶ log0.10.5 log0.10.6
⑷ log1.51.6 log1.51.4
＜
＜
＞
＞
练习2：
已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 3 m < log 3 n
(2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0(4) log a m > log a n (a>1)
答案: (1) m < n
(2) m < n
(3) m > n
(4) m > n
例2 比较下列各组中两个值的大小:
⑴　log 67 , log 7 6 ;
⑵　log 3π , log 2 0.8 .
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1
　　　　 log76＜log77＝1
　 ∴ log67＞log76
⑵ ∵ log3π＞log31＝0
　log20.8＜log21＝0
∴ log3π＞log20.8
分析 : （1） log aa＝1
（2） log a1＝0
练习3：
将0.32，log20.5，log0.51.5由小到大
排列，顺序是：
log20.5< log0.51.5<0.32
对数函数的图象和性质
比较两个对数值的大小
对数函数的定义
图
象
性
质
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
(4) a>1时, x<0,00,y>1
01;x>0,0(4) a>1时,01,y>0
00; x>1,y<0
(5) a>1时, 在R上是增函数；
0(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(2)值域：(0,+∞)
(1)定义域：R
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域：R
y=ax
(a>1)
y=ax
(0x
y
o
1
y=logax
(a>1)
y=logax (0x
y
o
1
㈠若底数为同一常数,则可由对数函数
的单调性直接进行判断
㈡若底数为同一字母,则按对数函数的
单调性对底数进行分类讨论
㈢若底数、真数都不相同,则常借助1、
0、－1等中间量进行比较.　
(例1 (1),(2))
(例1(3))
( 例2 )(共14张PPT)
反解
互换
定D
原函数过点(a,b)，反函数过点(b,a).
原函数与反函数的图象关于线y=x对称
原函数的定义域是反函数的定义域
原函数的值域是反函数的定义域
原函数与反函数具有相同的单调性
图象过定点（1，0)
定义域为｛x|x>0}
值域为R
a>1时为单调增函数
0x
对称性
1、关于X、Y轴对称
2、关于Y＝X对称
单调性
1、a>1时单调增函数
2、0有序性
解：要使函数有定义，必有：
所以该函数定义域为：
y(共19张PPT)
o
一般地，设函数 的定义域为I：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， 。当 时，都有
那么就说 在这个区间上是增函数。
o
一般地，设函数 的定义域为I：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， 。当 时，都有
那么就说 在这个区间上是减函数。
如果函数 在某个区间上是增
函数或减函数，那么就说函数
在这一区间具有（严格的）单调性，
这一区间叫做 的单调区间。
1.函数的单调性也叫函
数的增减性
2.函数的单调性是对某个区间而言
的,它是一个局部概念.
注：
例1 下图是定义在闭区间[-5,5]上的函
数 的图象,根据图象说出
的单调区间,以及在每一区间上,
是增函数还是减函数.
-2
1
2
3
4
5
-2
3
-3
-4
-5
-1
-1
1
2
O
-2
1
2
3
4
5
-2
3
-3
-4
-5
-1
-1
1
2
在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数
在区间[-2,1), [3,5)上是增函数.
解:函数 的单调区间有
[-5,-2), [-2,1), [1,3), [3,5],
O
1
2
-2
-1
-1
1
o
如图,已知 的图象(包括端点),
根据图象说出函数的单调区间,以及
在每一区间上,函数是增函数还是减
函数.
如图,已知 的图象(包括端点),
根据图象说出函数的单调区间,以及
在每一区间上,函数是增函数还是减
函数.
-1
1
o
例2 证明函数 在R上是
增函数.
判定函数在某个区间上的单调性的
方法步骤:
1.设 给定的区间,且 ;
2.计算 至最简 ;
3.判断上述差的符号 ;
4.下结论(若差<0,则为增函数;
若差>0,则为减函数).
例2 证明函数 在R上是
增函数.
例2 判断函数 在R上是
增函数还是减函数.
证明函数 在R上是
减函数.
例3 证明函数 在(0,+∞)上
是减函数.
证明：设 是（0，+∞）上的任意两个
实数，且 ，则
由 ，得
又由 ， 得
于是 ，即
所以， 在（0，+∞)上是减函数.
例3 证明函数 在(-∞,0)上
是减函数.
证明：设 是（0，+∞）上的任意两个
实数，且 ，则
由 ，得
又由 ， 得
于是 ，即
所以， 在（0，+∞)上是减函数.
例3 证明函数 在(-∞,0)上
是减函数.
由 ，得
又由 ， 得
于是 ，即
所以， 在 上是减函数.
证明：设 是 上的任意两个
实数，且 ，则
（- ∞ ，0）
（- ∞ ，0 ）
判断函数 在(0, +∞)上
是增函数还是减函数
结合图象说出函数
的单调区间,以及在各个区间上是
增函数还是减函数;你能给出相应
的证明吗 (共11张PPT)
x
y
o
y＝f(x)
函 数
阳江市第一中学 梁峻荣
（function）
判断下列对应是不是从A到B的映射？
（1）A＝R，B＝R. f：x→y＝kx＋b （k≠0）
（2）A＝R，B＝R. f：x→y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
（3）A＝R，B＝R. f：x→y＝k/x （k≠0）
（3）A＝{x|x≠0}，B＝R. f：x→y＝k/x （k≠0）
一、函数的概念：
设在一个变化过程中有两个变量x 和y，如果对于x的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.
设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射.记做f：A→B. 并称y是x的象，x是y的原象.
如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数,记作 y＝f（x）,其中x∈A,y∈B.
原象集
A
定义域
象集
C
(C B)
值域
对应 法则 y＝f（x）
y是x的函数
三要素
函数
f（x）＝kx＋b（k≠0）
定义域
值域
R
R
f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）
R
a＞0
a＜0
f（x）＝ （k≠0）
x
k
{x | x≠0 }
{ y | y≠0 }
例1.已知函数 f（x）＝3x2－5x＋2，f （3）， f （ ）， f（a）， f（a＋1）.
分析：
f（ ）＝3( )2－5( )＋2
f （3）表示函数f（x）在x＝3时的函数值.
解：
f （3）＝3×32－5×3＋2＝14
f（a）＝3a2－5a＋2
f（a＋1）＝3(a＋1)2－5(a＋1)＋2
＝ 3a2＋a
x
f
y [=f(x)]
解：
（1）使函数解析式在实数范围内有意义的x 须满足
x－2≠0
∴该函数的定义域为{x∈R|x≠2}
（2）使函数解析式在实数范围内有意义的x 须满足
3x＋2≥0
∴该函数的定义域为{x∈R|x≥－ }
2
3
（3）使函数解析式在实数范围内有意义的x 须满足
x＋1≥0
2 － x ≠0
解得
x≥－1 ，且x≠ 2
∴该函数的定义域为{x∈R| x≥－1 ，且x≠2}.
1.f（x）是整式， 则定义域为R； 2.f（x）是分式， 则必须使分母 不为零. 3.f（x）含有偶次 方根，则必须使 被开方数非负.
区间的概念：
{x|a≤x≤b}
.
.
a
b
[a，b]
{x|a＜x＜b}
。
。
a
b
（a，b）
{x|a≤x＜b}
a
b
[a，b）
{x|a＜x≤b}
a
b
（a，b]
。
.
.
。
{x| x≤b}
b
（－∞，b]
.
{x| x＜b}
（－∞，b）
。
b
{x| x≥a}
[a，＋∞）
.
a
{x| x＞a}
（a，＋∞）
。
a
R
（－∞，＋∞）
例3.下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？
分析：
两函数相同的充要条件是对应法则及定义域都相同，与用什么字母无关.
二、函数的表示方法：
解析法：
示例一：
可用一个或几个解析式（分段函数）
S＝πr2
例1.已知函数f（x）＝ ，
求f（3），f[f（－1）]，f（|a|），f（a＋1），并求f（x）的定义域、值域.
－x2 ，当x≥0
x2 ，当x＜0
解：
f（3）＝－32＝－9
f[f（－1）]＝f[（－1）2]＝f[1]＝－1
f（|a|）＝－|a|2＝－a2
f（a＋1）＝
－（a＋1）2 ，当a＋1≥0
（a＋1）2 ，当a＋1＜0
－（a＋1）2 ，当a≥－1
（a＋1）2 ，当a＜－1
＝
定义域为R
值域为R
列表法：
示例二：
年份 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
生产总值 7204.8 8994.6 10210.9 11956.4 14922.3 16904.9 18544.7 21665.8 26651.4 34476.7 44918.0
单位：亿元
图象法：
示例三：
x
y
.
例3.下图中不可能是函数图象的是（ ）
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
A
B
C
D
。
。
B(共12张PPT)
　多媒体教学公开课
映 射
台山市华侨中学数学组 张嵩
2001年10月
　1)对于任何一个实数a，数轴上有唯一的点Ｐ和它对应
a
Ｏ
２）对于坐标平面内的任何一点Ａ，都有唯一的一个有序实数对（Ｘ，Ｙ）和它对应
x
y
o
A
(x,y)
3)对于任何一个三角形，都有唯一的面积和它对应
４）本班每一个学生和教室内的座位对应
５）本班每一个学生和班主任对应
６）某人和他的书对应
一　对应
P
9
4
1
3
-3
2
-2
1
-1
A
B
开平方
A
1
B
求正弦
１
－１
２
－２
３
－３
１
4
９
Ａ
Ｂ
求平方
Ｂ
１
２
３
１
２
３
４
５
６
Ａ
乘以２
阅读教材，观察下面的对应,哪些对应是从A到B的映射？
（1）
（2）
（3）
（4）
二　映射的定义
每一个
有且只有一个
映射
三要素
集合Ａ
集合Ｂ
Ａ到Ｂ的对应法则ｆ
任何一个
唯一
问题： 对应（1）为什么不是映射？
A
B
开平方
9
4
1
3
-3
2
-2
1
-1
（1）
　设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的（ ）元素，在集合B中都有（ ）的元素和它对应，这样的对应（包括集合Ａ，
Ｂ以及Ａ到Ｂ的对应法则ｆ）叫做集合Ａ到Ｂ的映射．记作 f :A　　　 B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
下面六个对应，其中哪些是集合Ａ到Ｂ的映射
(1)
三角形
四边形
五边形
六边形
１８０度
３６０度
５４０度
７２０度
Ａ
Ｂ
内角和
f: x 2x
１
２
３
４
２
４
６
Ａ
Ｂ
(2)
ｆ：x ２ｘ－１
１
３
５
７
…
１
２
３
４
…
Ａ
Ｂ
(3)
平方
０
－１
１
０
１
－１
Ａ
Ｂ
(5)
张三
李四
语文书
数学书
英语书
物理书
化学书
Ａ
Ｂ
教科书
(6)
是
不是
是
是
不是
是
甲
乙
丙
丁
冠军
亚军
季军
Ａ
Ｂ
１００米赛跑
(4)
平方
０
－１
１
０
１
－１
Ａ
Ｂ
(5)
（一）对应法则的表示方法
１　文字语言　　　例：平方，乘２加１
２ 数学语言　　例：f: x 2x+1
ｆ：x ２ｘ－１
１
３
５
７
…
１
２
３
４
…
Ａ
Ｂ
(3)
给定一个集合A到集合B的映射，且a A, b B,如果元素a和元素ｂ对应，那么我们把元素ｂ叫做元素a的象，元素a叫做元素ｂ的原象
（二）象，原象
平方
０
－１
１
０
１
－１
Ａ
Ｂ
(5)
问题：映射（５）中集合Ａ中１的象是　　　，集合Ｂ中１的原象是　　　　　　．
１
－１，１
Ａ
a
Ｂ
b
f: A B
b的原象
a的象
(三）观察以下三个映射
讨 论
（1）集合A中每一个元素都有象吗？如有，有几个？
（2）集合B中每一个元素都有原象吗？如有，有几个？
（3）集合A，B可以是数集，还可以是其它集合吗？
１　集合Ａ中元素一定有象，且唯一
２　集合Ｂ中的元素不一定有原象。
即使有，也不一定唯一
集合Ａ，Ｂ可以是数集，也可以
是其他集合。
映射概念小结
ｆ：x ２ｘ－１
１
３
５
７
…
１
２
３
４
…
Ａ
Ｂ
(3)
平方
０
－１
１
０
１
－１
Ａ
Ｂ
(5)
甲
乙
丙
丁
冠军
亚军
季军
Ａ
Ｂ
１００米赛跑
(4)
三 能力训练
-2
-1
0
1
2
…
1
2
3
4
5
…
　1 下面的对应是Ａ到Ｂ的映射吗？说明理由．画出对应图（每一个集合各取5个元素）　　　　　　　　　　　　　　　
不是映射
Ａ
Ｂ
理由：
集合A中元素0在集合B中没有对应的元素
？
10
解（１）
x=1
y=0
2x+y=2
x+3y=1
所以元素（１，０）的象是（２，１）
（２）
2x+y=4
x+3y=7
x=1
y=2
所以元素（4，7）的原象是（１，２）
２给定映射ｆ：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求（１）元素（１，０）的象　　（２）元素（4，7）的原象　　　　　　　　　　　　　　
四　本课小结
１　映射的概念　
２　判断映射的方法
五　作业　　　　　　　　　　
教材Ｐ４９习题２.１　　第１题　　第２题
谢谢您的光临指导(共12张PPT)
一般地
函数 y = logax (a＞0,且a≠1)是指数函数
y = ax的反函数
函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )
叫做对数函数.其中 x是自变量,函数
的定义域是（ 0 , +∞）
对数函数和指数函数
互为反函数
对数函数的定义：
图
象
a>1 0性
质
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
(4) 0x>1时, y>0
(4) 00;
x>1时, y<0
(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(1) 定义域： (0,+∞)
(2) 值域：R
x
y
o
(1, 0)
x
y
o
（1, 0)
(5)在(0,+∞)上是减函数
(5) 在(0,+∞)上是增函数
图
象
性
质
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
(4) a>1时, x<0,00,y>1
01;x>0,0(4) a>1时,01,y>0
00; x>1,y<0
(5) a>1时, 在R上是增函数；
0(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(2)值域：(0,+∞)
(1)定义域：R
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域：R
y=ax
(a>1)
y=ax
(0x
y
o
1
y=logax
(a>1)
y=logax (0x
y
o
1
小结 求函数定义域的要点：
1、分母不能为0 ；
2、偶次方根的被开方数大于或等于0；
3、对数的真数必须大于0 ；
4、指数函数，对数函数的底数要大于
0，且不等于1；
5、实际问题要有意义。
例1 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log 23.4 , log 28.5
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
　⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
解　⑴考察对数函数 y =log2x,因为它的底数2＞1,
所以它在(0,+∞)上是增函数,于是
log 23.4＜log 28.5
⑵考察对数函数 y =log0.3x,因为它的底数0.3,
即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是
log 0.31.8＞log 0.32.7
解：当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是
log a5.1＜log a5.9
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是
log a5.1＞log a5.9
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大
小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时, 要
分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
分析：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:
练习1:
比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 log108
⑵ log0.56 log0.54
⑶ log0.10.5 log0.10.6
⑷ log1.51.6 log1.51.4
＜
＜
＞
＞
练习2：
已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 3 m < log 3 n
(2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0(4) log a m > log a n (a>1)
答案: (1) m < n
(2) m < n
(3) m > n
(4) m > n
例2 比较下列各组中两个值的大小:
⑴　log 67 , log 7 6 ;
⑵　log 3π , log 2 0.8 .
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1
　　　　 log76＜log77＝1
　 ∴ log67＞log76
⑵ ∵ log3π＞log31＝0
　log20.8＜log21＝0
∴ log3π＞log20.8
分析 : （1） log aa＝1
（2） log a1＝0
练习3：
将0.32，log20.5，log0.51.5由小到大
排列，顺序是：
log20.5< log0.51.5<0.32
对数函数的图象和性质
比较两个对数值的大小
对数函数的定义(共15张PPT)
函 数
宁阳一中：孙浩
（一）：复习提问：
1：映射的概念
（1）取元的任意性，
（2）成象的唯一性
（1）正、反比例函数
（2）一次函数
（3）二次函数
2：初中学过的函数
若把上述函数的自变量x的取值范围和函数值y的取值范围分别看成集合A和B，上述函数是否是映射？
想一想
思考：
映射是函数吗？若是，请说明理由；若不是，附加什么条件才是函数？
若A、B是非空数集，那么映射f:A B就叫A到B的函数。
记作：y=f(x) ，(x A,y B）
原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C(C B)叫做函数y=f(x)的值域。
（二）：函数的定义：
说明：
1：映射与函数的关系
（1）函数一定是映射
（2）映射不一定是函数
2：符号 f(x):
说 明
(1)f是对应法则
(2)f(x)与f(a)不同：f(x)表示“y是x的函数”;f(a)表示特定的函数值。
3：函数还可用g(x)、F(x)、G(x)等来表示。
说 明
例1：
已知函数f(x)=3x2-5x+2,
g(x)=3x-2,求：f(3), f(-3),
f(a), f(a+1), g(0), g(1),g(a).
例2：
用函数的映射定义来定义一次函数、反比例函数、二次函数，并指出其定义域、值域。
练习：
课本56页1、2
函数的三要素：
（1）定义域、（2）对应法则、（3）值域。
思考
如何判断两个函数是否是同一个函数？是否必须考查函数的三要素？
x2
x
例3：
下列函数与y=x是同一函数的是（ ）
(1)y=( x )2 (2)y=
(3)y=3 x3 (4)y= x2
练习：课本57页第2题
（三）函数表示法：
阅读教材52—53页，回答下列问题：
（1）函数的表示法有几种？分别是什么？
（2）它们的优点分别是什么？
（四）：课堂小结：
1：函数的映射定义
2：判断同一函数
3：函数的三种表示方法
作业: P57第1题