4.1 对数的概念　课件——2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册(共21张PPT)

(共21张PPT)
4.1 对数的概念
1．对数的概念
【答案】能
【问题1】对于函数，给定任意一个，我们可通过幂的运算计算出任意一个的值.反之，如果知道的值，能否计算出的值呢
【问题2】若，，则的值分别是多少
【答案】满足的的值为，满足的的值为.
(1)定义：
一般地，如果(，且)，那么数叫作以为底的对数，记作.其中叫作对数的底数，叫作真数.
(2)常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作；以无理数…为底数的对数称为自然对数，并且把记为.
特别提醒：对数的概念中规定“，且”的原因
(1)若，则当为某些值时，的值不存在.如不存在.
抽象概括
(2)若，
①当时，的值不存在.如(可理解为0的多少次幂是3)不存在.
②当时，可以是任意实数，是不唯一的，即有无数个值.
(3)若，
①当时，的值不存在.如不存在.
②当时，可以为任意实数，是不唯一的，即有无数个值.
因此规定，且.
抽象概括
【例1】求下列各式中的取值范围.
(1)；(2)
【方法指导】对于(2)表达式中的真数含有，底数也含有，结合对数的概念，列出不等式组，求得的取值范围
【解析】(1)由题意有，∴，即x的取值范围是
(2)由题意有得∴且，∴的取值范围是且.
学以致用
【方法小结】在求解对数形式表达式中参数的取值范围时，应根据对数中的底数和真数满足的要求列出不等式组，进而求解即可.
【针对训练】求下列各式中的取值范围.
(1)；
(2).
【解析】(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以解得且.故的取值范围是.
(2)因为底数大于0且不等于1，所以.又因为，所以.
综上可知，且.故的取值范围是.
2．对数与指数的关系
【问题1】若，，则的值分别是多少
【答案】用表示满足的，用表示满足的，因此的解为，的解为.
【问题2】怎样理解对数式的意义
【答案】“三角度”理解对数式的意义.
角度一：对数式可看作一种记号，只有在，且，时才有意义.
角度二：对数式也可以看作一种运算，是在已知求的前提下提出的.
角度三：是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是与的乘积.
当，且时，.前者叫指数式，后者叫对数式.
(1)对数的概念中出现了两个等式：指数式和对数式.这两个等式是等价的，它们之间的关系如下：
抽象概括
根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可以将对数式化成指数式.
(2)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：
式子 名称 a x N
指数式 ax=N 底数 指数 幂
对数式 x=logaN 底数 对数 真数
【解析】(1) ∵，∴.
(2)∵，∴.
(3)∵，∴.
(4)∵，∴.
学以致用
【例2】将下列对数式化成指数式或指数式化成对数式.
(1)；(2；(3)；(4).
【方法指导】根据(，且，)求解.
学以致用
【方法小结】指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【例2】将下列对数式化成指数式或指数式化成对数式.
(1)；(2；(3)；(4).
【方法指导】根据(，且，)求解.
【针对训练】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)；
(2)；
(3).
【解析】(1).
(2).
(3.
3．对数的基本性质
【问题1】
【答案】相等，因为，且.
【问题2】∵，，∴满足，的都不存在，因此我们说0和负数没有对数
【答案】由对数的定义，(，且)，则总有，所以转化为对数式时，不存在的情况
【问题3】你能推出对数恒等式(，且，)吗
【答案】因为，所以，代入可得.
1.对数的性质
抽象概括
性质1 　负数和零没有对数
性质2 1的对数是0，即loga1=0(a>0，且a≠1)
性质3 底数的对数是1，即logaa=1(a>0，且a≠1)
2.性质的拓展
对数恒等式：，，且
【例3】求下列各式中的值.
(1)；(2)；(3).
学以致用
【方法指导】合理运用题中提供的信息，结合对数的性质、对数与指数的关系求解
【解析】(1) ∵，∴，∴.
(2)∵，∴，∴.
(3) ∵，∴，∴.
【方法小结】此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.“；”使用频繁，应在理解的基础上牢记.
【针对训练】(1)若，则的值等于__________.
(2)方程的解是____________.
【解析】(1)由得，∴.
(2)∵，∴，∴.
10
【例4】求下列各式中的值：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【解析】(1).
(2)因为，所以.
(3)因为，所以.
(4)由，得，即，所以.
(5)因为，所以.
探究：利用指数式与对数式的互化求值
【方法指导】要求对数的值，设对数为某一未知数，先将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解
【例4】求下列各式中的值：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
探究：利用指数式与对数式的互化求值
【方法指导】要求对数的值，设对数为某一未知数，先将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解
【探究小结】指数式(，且)与对数式(，且，)之间是一种等价关系.已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式.
【针对训练】求下列各式中的值.
(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)由，可得，∴.
(2)由，可得∴.
(3)由，可得，∴，∴.
(4)由，可得，∴，∴.
1.在中，实数的所有可能的取值是(　　).
A.R B.(0，+∞) C.(-∞，1) D.(1，+∞)
2.已知，则有(　　).
A. B. C. D.
4.计算：(1)；(2)；(3).
3.若，则______________.
【解析】由得，故选D.
【解析】根据指数与对数之间的关系转化，有，即.
1.在中，实数的所有可能的取值是(　　).
A.R B.(0，+∞) C.(-∞，1) D.(1，+∞)
D
2.已知，则有(　　).
A. B. C. D.
B
3.若，则_____.
【解析】由可知，即，∴或(舍去)
3
【解析】(1)设 ，则，，解得.
(2)令，则，即，∴
(3).
4.计算：(1)；(2)；(3).