4.3.1 对数函数的概念 课件——2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册(共21张PPT)

(共21张PPT)
4.3.1 对数函数的概念
某种物质的细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，则1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示
反之，如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞，该如何求解x的值呢
1．对数函数的概念
【问题1】已知函数y=2x，那么反过来，x是否为关于y的函数
【答案】因为y=2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，+∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x=log2y，此处y∈(0，+∞).习惯上用x，y分别表示自变量、因变量.上式可改为y=log2x，x∈(0，+∞).
【问题2】函数y=2log3x，y=log3(2x)是对数函数吗
【答案】不是，其不符合对数函数的形式.
一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 (0，+∞).
特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y=lg x；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y=ln x.
特别提醒：(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：y=2log2x，y=log5都不是对数函数，可称其为对数型函数.
(2)由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，+∞).
(3)对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1.
抽象概括
【例1】(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数，则a=　　　　.
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，-2)，则f(8)=　　　　.
【方法指导】根据对数函数的定义求解.
学以致用
【解析】(1)∵f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数，∴ 解得a=4.
4
-3
(2)由题意设f(x)=logax(a>0，且a≠1)，则f(4)=loga4=-2，∴a-2=4，故a=，
即f(x)=lox，∴f(8)=lo8=-3.
【方法小结】判断一个函数是对数函数的方法
学以致用
【针对训练】若函数y=loga(x+b)(a>0，且a≠1)的图象过点(-1，0)，(0，1)，则lg a+lg b=　　　　.
【解析】由题意可得0=loga(-1+b)，logab=1，解得a=b=2，所以lg a+lg b=2lg 2.
2lg 2
2．反函数的概念
【问题1】y=ax和y=logax的定义域和值域是什么关系
【答案】y=ax的定义域R就是y=logax的值域；而y=ax的值域(0，+∞)就是y=logax的定义域.
【问题2】函数y=3x与函数y=log3x的单调性和单调区间是一样的吗
【答案】函数y=3x在定义域上是增函数，单调递增区间为(-∞，+∞)；函数y=log3x在定义域上也是增函数，单调递增区间为(0，+∞).因此它们都是增函数，但单调递增区间不一样.
抽象概括
反函数的概念
一般地，指数函数y=ax(a>0，且a≠1)和对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域和值域正好互换.
特别提醒：互为反函数的两个函数y=ax(a>0，且a≠1)与y=logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
【例2】若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=(　　).
A.log2x B. C.lox D.2x-2
【方法指导】运用待定系数法求解函数的解析式.
学以致用
【解析】因为函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)=logax，
又f(2)=1，即loga2=1，所以a=2.故f(x)=log2x.
A
【方法小结】求已知函数的反函数，一般步骤如下：
①由y=f(x)解出x，即用y表示出x；
②把x替换为y，y替换为x；
③根据y=f(x)的值域，写出其反函数的定义域.
【针对训练】函数f(x)=3x(0A.(0，+∞) B.(1，9] C.(0，1) D.[9，+∞)
【解析】∵0故函数f(x)的反函数的定义域为(1，9].
B
3．对数函数的定义域
【问题1】对数函数y=log2x的定义域是什么
【答案】对数函数的定义域是(0，+∞).
【问题2】如何求对数型函数的定义域
【答案】求含对数式的函数的定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.
抽象概括
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
【例3】求下列函数的定义域.
(1)f(x)=+ln(x+1)； (2)f(x)=.
【方法指导】(1)不仅要符合对数的定义，而且还要保证二次根式开方有意义，分母不为0等条件的限制；(2)结合对数函数的定义建立不等式组求解.
学以致用
【解析】(1)若使函数式有意义，则需满足条件即得x∈(-1，2)，
故函数的定义域为(-1，2).
【方法小结】求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
(2)由题意有解得x>-且x≠0，则f(x)的定义域为∪(0，+∞).
【针对训练】求下列函数的定义域.
(1)f(x)=lg(x-2)+； (2)f(x)=log(x+1)(16-4x).
【解析】(1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3，
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，+∞).
(2)要使函数有意义，需满足解得-1∴函数的定义域为(-1，0)∪(0，4).
【例4】某市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系式为P(t)=P0e-kt(e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的.
(1)求函数P(t)的关系式.
(2)要使污染物的含量是初始值的，需过滤几小时 (参考数据：lg 2≈0.3)
探究：指数函数和对数函数的简单应用
【解析】(1)根据题设，得P0=P0e-k，∴e-k=，
所以P(t)=P0，
【方法指导】(1)由题意代入点，求得函数P(t)的解析式；(2)根据函数P(t)的解析式，列等式求出t的值即可.
【探究小结】对数函数在实际中的应用十分广泛，解决此类问题的关键在于理解题意，提炼出对数的相关知识，以及认真分析题目中给出的相关数据，建立合适的数学模型.本题考查了数学建模的数学核心素养.
(2)由P(t)=P0P0，得，
两边取以10为底的对数，并整理得t(1-3lg 2)=3，∴t=30.
因此，至少需过滤30小时.
【针对训练】如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2020年翻两番的年份大约是哪一年 (lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，lg 109≈2.0374，lg 0.09≈-1.0458).
【解析】设2020年国民经济生产总值为a，经过x年翻两番，则a·(1+9%)x=4a，
∴x=≈16，16年以后为2036年.
故要达到国民经济生产总值比2020年翻两番的年份大约是2036年.
1.对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(　　).
A.y=log4x B.y=lox C.y=lox D.y=log3x
2.函数y=ln的定义域是(　　).
A.(0，+∞) B.(1，+∞) C.(2，+∞) D.[4，+∞)
3.已知f(x)为对数函数，f=-2，则f=　　　　.
4.已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2，且f=6，求f(2020)的值.
1.对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(　　).
A.y=log4x B.y=lox C.y=lox D.y=log3x
【解析】设对数函数为y=logax(a>0，且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(9，2)，
所以2=loga9，得a=3.
D
2.函数y=ln的定义域是(　　).
A.(0，+∞) B.(1，+∞) C.(2，+∞) D.[4，+∞)
【解析】要使函数有意义，真数需大于0，所以x-2>0，即x>2.故选C.
C
4.已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2，且f=6，求f(2020)的值.
【解析】设F(x)=f(x)-2，即F(x)=alog2x+blog3x，
则F=alog2+blog3
=-(alog2x+blog3x)=-F(x)，
故F(2020)=-F=-=-4.
即f(2020)-2=-4，故f(2020)=-2.
3.已知f(x)为对数函数，f=-2，则f=　　　　.
【解析】设f(x)=logax(a>0，且a≠1)，则f=loga=-2，解得a=，f=lo=-4.
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