4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课件——2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册(共19张PPT)

(共19张PPT)
4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
中数学新北师大版必修第一册
王明、李涛、周宇三人搞了一次趣味赛跑，假设根据他们规定的规则得出他们的位移和时间的函数关系分别是f1(x)=2x，f2(x)=4x，f3(x)=log2x，假设他们一直跑下去.开始的时候谁的速度较快 谁的速度一直没有变化 如果时间足够长，谁最终跑在最前面
【答案】开始的时候周宇的速度较快；李涛的速度一直没有变化；
三个函数模型中，增长速度最快的为f1(x)=2x.存在x0，当x>x0时，有2x>4x>log2x.
即时间足够长时，王明跑在最前面.
1．函数模型的比较
【问题1】给出函数y=x5，y=5x，y=log5x(x∈N*)，随着x的增大，哪个函数增长速度最快
【答案】y=5x.
【问题2】给出函数y=x5，y=5x，y=log5x(x∈N*)，随着x的增大，它们的增长速度由慢到快的顺序是什么
【答案】三个函数中，增长速度由慢到快的顺序依次是y=log5x，y=x5，y=5x.
比较三种函数模型的性质
抽象概括
函数性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xk(k>0)
在(0，+∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 当k>1时，增长速度越来越快；当k=1时，增长速度固定；当0增长速度 ax的增长速度远远大于xk的增长速度，xk的增长速度大于logax的增长速度 增长结果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>xk，logax< xk 【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　).
A.y= B.y=x2017 C.y=log2x D.y=2018x
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数函数变化的变量是　　　　.
【方法指导】(1)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化；(2)观察y1，y2，y3，y4的变化情况，找出增长速度最快的量，即x呈指数函数变化的变量.
学以致用
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
学以致用
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
【方法小结】在区间(0，+∞)上，尽管函数y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xk(k>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xk(k>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x>x0时，有logax【针对训练】下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　).
A.y= B.y=100ln x C.y=x100 D.y=100·2x
【解析】指数函数y=ax在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A项.
A
2．常见函数模型及增长特点
【问题1】指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型的增长速度各有什么特点
【答案】指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度越来越慢；幂函数模型的增长速度变化情况与指数和1的大小关系有关.
【问题2】在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加的速度急剧变化，应选择哪个函数模型 若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型
【答案】前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型.
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
抽象概括
【例2】函数f(x)=lg x，g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)以两个图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.
【方法指导】根据两种函数的增长趋势判断.
学以致用
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1，C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x=x1或x=x2时，f(x)=g(x).
【方法小结】由图象判断指数函数、对数函数和线性函数的方法：
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和线性函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.
【针对训练】函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象如图所示，设两个函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2019)，g(2019)的大小.
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=3x，C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(3)=8，g(3)=9，∴f(3)g(4)，f(10)>g(10)，
∴3x2.
从图象上可以看出，当x>x2时，f(x)>g(x)，
∴f(2019)>g(2019).
又g(2019)>g(3)，∴f(2019)>g(2019)>g(3)>f(3).
【例3】物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　).
探究：函数模型的增长差异在函数图象上的体现
【解析】由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高知曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.
B
探究：函数模型的增长差异在函数图象上的体现
【探究小结】一般来说，函数模型的增长速度与图象关系如下表：
增长速度 越来越快 不变 越来越慢
图象
【针对训练】某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y=f(x)的图象大致为(　　).
【解析】设该林区森林的原有蓄积量为a，由题意可得ax=a(1+0.104)y，故y=log1.104x(x≥1)，此函数为对数函数，所以函数y=f(x)的图象大致为选项D中图象，故选D.
D
1.思维导图
2.思想方法、核心素养：转化法、数形结合；直观想象、逻辑推理；
3.常见误区：混淆三种函数增长的差异；在实际问题中选择函数模型错误.
1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　).
A.y=100x B.y=x100 C.y=100x D.y=log100x(x∈N*)
2.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示.
有下列四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的是　　　　.
3.以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
其中，关于x呈指数函数变化的变量是　　　　.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　).
A.y=100x B.y=x100 C.y=100x D.y=log100x(x∈N*)
【解析】四个函数中，增长速度由慢到快依次是y=log100x，y=100x，y=x100，y=100x.
C
2.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示.
有下列四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的是　　　　.
【解析】由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确.
②③
3.以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
其中，关于x呈指数函数变化的变量是　　　　.
【解析】从表格可以看出三个变量y1，y2，y3都随x的增大而增大，但增长速度不同，其中y1的增长速度最快，画出它的散点图(图略)知变量y1关于x呈指数函数变化.
y1
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …