5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课件——2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册(共22张PPT)

(共22张PPT)
5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50~100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法
你会求什么方程的根呢？
1．函数的零点
【问题1】方程(1)x2-2x-3=0，(2)x2-2x+1=0，(3)x2+2x+3=0的根分别是什么
【答案】方程(1)中，Δ>0，有两个不相等的实根，x1=-1，x2=3；
方程(2)中，Δ=0，有两个相等的实根，x1=x2=1；
方程(3)中，Δ<0，无实根.
【问题2】函数(1)y=x2-2x-3，(2)y=x2-2x+1，(3)y=x2+2x+3的图象与x轴的交点坐标分别是什么
【答案】函数(1)的图象与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)；
函数(2)的图象与x轴的交点坐标为(1，0)；
函数(3)的图象与x轴没有交点.
【问题3】由问题1和2，回答方程的根与函数的图象与x轴交点有什么关系
【答案】方程的根是函数的图象与x轴交点的横坐标.
一般地，对于函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x)的零点.
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
抽象概括
【例1】(1)求函数f(x)=的零点；
(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)=bx2+ax的零点.
【方法指导】函数零点即方程的根，通过解方程求函数的零点.
学以致用
【解析】(1)当x≤0时，令x2+2x-3=0，解得x=-3；
当x>0时，令-2+ln x=0，解得x=e2.
所以函数f(x)=的零点为-3和e2.
(2)由已知得f(3)=0即3a-b=0，即b=3a.故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1).
令g(x)=0，即ax(3x+1)=0，解得x=0或x=-.
所以函数g(x)的零点为0和-.
学以致用
【方法小结】函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)=0，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来(图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点).
【针对训练】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6； (2)f(x)=1-log2(x+3)；
(3)f(x)=2x-1-3； (4)f(x)=.
【解析】(1)解方程x2+7x+6=0，得x=-1或x=-6，
所以函数f(x)的零点是-1，-6.
(2)解方程1-log2(x+3)=0，得x=-1，所以函数f(x)的零点是-1.
(3)解方程2x-1-3=0，得x=log26，所以函数f(x)的零点是log26.
(4)解方程=0，得x=-6，所以函数f(x)的零点是-6.
2．方程、函数、函数图象之间的关系
【问题1】函数的零点是函数图象与x轴的交点吗
【答案】不是.函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标.
【问题2】任何函数都有零点吗
【答案】不一定，只有当函数图象与x轴有交点时函数才有零点，否则不存在零点.
方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 函数y=f(x)有零点.
抽象概括
【例2】方程2x+x=2，log2x+x=2，2x=log2(-x)的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为　　　　.
【方法指导】将方程的根转化为函数的交点的横坐标问题，画图即可得出结果.
学以致用
【解析】由题意可得2x+x=2 2x=2-x，log2x+x=2 log2x=2-x，
则a，b，c分别为y=2-x与y=2x，y=2-x与y=log2x，y=log2(-x)与y=2x图象的
交点的横坐标，如图，
在同一坐标系中画出y=2-x，y=log2x，y=log2(-x)，y=2x，y=2x的图象，
可得b>a>c.
【方法小结】方程、函数、函数图象之间的关系可以相互转化，求方程的根，可以转为求两函数图象的交点的横坐标，也可以转化为函数的图象与x轴有交点问题求解.
b>a>c
【针对训练】已知函数f(x)=|x2-4x+3|，求方程f(x)=a实数根的个数.
【解析】作出函数f(x)=|x2-4x+3|的图象如图所示，
当a>1或a=0时，方程f(x)=a有两个实数根.
当a=1时，方程f(x)=a有三个实数根.
当0当a<0时，方程f(x)=a无实数根.
3．零点存在性定理
【问题1】函数的零点是什么
【答案】1，3.
【问题2】判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号.
【答案】∵f(0)=3，f(2)=-1，f(4)=3，∴f(0)·f(2)<0，f(2)·f(4)<0.
【问题情境】函数f(x)=x2-4x+3的图象如图所示：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.
抽象概括
【例3】函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是(　　).
A.(3，4) B.(2，e) C.(1，2) D.(0，1)
【方法指导】根据零点的存在性定理判断.
学以致用
【解析】因为f(1)=ln 2-<0，f(2)=ln 3-1>0，且函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2).故选C.
【方法小结】判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.
C
【针对训练】若函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n，n+1)(n∈N)内，则n=　　　　.
【解析】∵函数f(x)=3x-7+ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)=3x-7+ln x至多只有一个零点.
∵f(1)=3-7+ln 1=-4<0，f(2)=6-7+ln 2<0，f(3)=9-7+ln 3>0，
∴函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(2，3)内，
∴n=2.
2
【例4】函数f(x)=+x2-2x有几个零点
探究：判断函数零点的个数
【解析】(法一)由+x2-2x=0，得=-x2+2x，在同一平面直角坐标系内画出
函数y=和y=-x2+2x的大致图象，如图所示.
由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数f(x)=+x2-2x有3个零点.
【方法指导】可以解函数对应的方程，方程的解的个数就是函数零点的个数；也可以转化为两个基本函数，画出这两个基本函数的图象，根据它们交点的个数判断零点的个数.
(法二)解方程+x2-2x=0，即=0，即(x-1)·(x2-x-1)=0，
解得x1=1，x2=，x3=，所以方程有三个解，
即函数f(x)=+x2-2x有3个零点.
探究：判断函数零点的个数
【探究小结】判断函数零点个数的方法主要有：
(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.
(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
【针对训练】求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.
【解析】在同一坐标系下画出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草图.
由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点，即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
1.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　).
2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　).
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49
4.函数f(x)=的零点是　　　　.
3.函数f(x)=2x2-3x+1的零点个数是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
1.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　).
【解析】观察图象可知，A项中图象对应的函数没有零点.
A
2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　).
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】∵f(2)·f(3)<0，∴f(x)在[2，3]上至少有1个零点，同理f(x)在[3，4]，[4，5]上都存在至少1个零点，∴f(x)在[1，6]上的零点至少有3个，故选B.
B
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49
3.函数f(x)=2x2-3x+1的零点个数是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】由f(x)=0得2x2-3x+1=0，解得x=或x=1，所以函数f(x)有2个零点.
C
4.函数f(x)=的零点是　　　　.
【解析】令=0，即x2-4=0且x-2≠0，
解得x=-2，故函数的零点为-2.
-2