数学北师大版（2019）必修第一册 5.1.2 利用二分法求方程的近似解 课件 (共27张PPT)

(共27张PPT)
5.1.2 利用二分法求
方程的近似解
某电视台财经频道精心打造了一档大型体验式购物节目.这个节目根植于百姓生活，运用“看商品，猜价格”的游戏形式，将各类商品和大规模的互动体验结合起来，充分激发了观众的参与热情.每位选手只要在规定时间内猜出的某商品价格在主持人展示的区间内，就可以把它拿走.当选手说出一个价格不在规定区间内时，主持人会提示“高了”或“低了”.
如果选手想用尽可能少的次数猜对价格，应该采用什么样的猜价方法呢
1．二分法的概念
【问题1】如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗
【答案】应猜400与800的中间值600.
【问题2】通过这种方法能猜到具体价格吗
【答案】能.
【问题情境】在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1000元以内的一款手机.选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”.
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
抽象概括
【例1】下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)在区间(　　)上的零点.
A.[-2.1，-1] B.[1.9，2.3] C.[4.1，5] D.[5，6.1]
【方法指导】按照二分法概念的要求，需要找出的区间两端点对应的函数值异号.
学以致用
【解析】用二分法判断函数f(x)在区间[m，n]上有零点的条件是在区间[m，n]上连续且f(m)·f(n)<0，而从图中可以看出，函数f(x)在区间[1.9，2.3]的两端的符号相同，故不能用二分法求出函数f(x)在这个区间上的零点.
B
学以致用
【方法小结】判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.
【针对训练】以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　).
【解析】使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但在C项中找不到这样的区间.
C
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
【问题1】如何缩小零点所在区间(2，3)的范围
【答案】取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈-0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5，3)内.
【问题2】如何进一步缩小零点所在的区间
【答案】再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.这样一来，零点所在的范围越来越小了.
【问题情境】我们已经知道f(x)=ln x+2x-6的零点在区间(2，3)内.
【问题3】若给定精确度0.3，如何选取近似值
【答案】当精确度为0.3时，由于|2.75-2.5|=0.25<0.3，所以可以将x=2.5作为函数f(x)=ln x+2x-6的零点近似值，当然区间[2.5，2.75]内的任意一个值都是函数零点的近似值，常取区间的端点作为零点的近似值.
用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0近似值的步骤如下：
1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
2.求区间(a，b)的中点c.
3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0(此时零点x0∈(a，c))，则令b=c；
(3)若f(c)·f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a=c；
(4)判断是否达到精确度ε，否则重复第(2)至(4)步.
抽象概括
【例2】借助计算机或科学计算器，确定函数f(x)=lox+x-4的零点个数，并求出其中最大零点的近似值(精确度0.1).
【方法指导】“精确度0.1”是要求等分零点所在的区间，直到区间两端点之差的绝对值小于0.1.
学以致用
【解析】设y1=lox，y2=4-x，则函数f(x)的零点个数即为y1=lox与y2=4-x的图象的交点个数，作出两个函数的大致图象，如图所示.
由图可知，函数y1=lox与y2=4-x的图象有两个交点，
其中一个交点的横坐标在区间(0，1)内，另一个交点的横坐标大于4.
故函数f(x)=lox+x-4有两个零点.
因为f(6)=lo6+6-4=lo6+2f(7)=lo7+7-4=lo7+3>lo8+3=0，
所以结合图象可知另一个交点的横坐标在区间(6，7)内，
综上可知，函数f(x)=lox+x-4在区间(6，7)内有最大零点x0.
学以致用
取区间(6，7)的中点x1=6.5，算得f(6.5)≈-0.200，
因为f(6.5)·f(7)<0，所以x0∈(6.5，7).
再取区间(6.5，7)的中点x2=6.75，算得f(6.75)≈-0.005，
因为f(6.75)·f(7)<0，所以x0∈(6.75，7).
再取区间(6.75，7)的中点x3=6.875，算得f(6.875)≈0.094，
因为f(6.75)·f(6.875)<0，所以x0∈(6.75，6.875).
再取区间(6.75，6.875)的中点x4=6.8125，算得f(6.8125)≈0.044，
因为f(6.8125)·f(6.75)<0，所以x0∈(6.75，6.8125).
因为|6.75-6.8125|=0.0625<0.1，
所以函数f(x)=lox+x-4最大零点的近似值可取6.8125.
学以致用
【方法小结】利用二分法求函数零点应关注三点：
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.
(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算.
【针对训练】将例2中的函数改为“f(x)=log2x+x-4”，试判断函数的零点个数，并求出零点的近似值(精确度0.1).
【解析】设y1=log2x，y2=4-x，则函数f(x)的零点个数即为y1=log2x与y2=4-x的图象的交点个数.
作出两个函数的大致图象，如图所示.
由图可知，函数y1=log2x与y2=4-x的图象只有一个交点，
故函数f(x)=log2x+x-4只有一个零点.
因为f(2)=log22+2-4=-1<0，
f(3)=log23+3-4=log23-1>log22-1=0，
所以结合图象可知函数f(x)=log2x+x-4的零点在区间(2，3)内.
取区间(2，3)的中点x1=2.5，算得f(2.5)≈-0.178，
因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5，3).
【针对训练】将例2中的函数改为“f(x)=log2x+x-4”，试判断函数的零点个数，并求出零点的近似值(精确度0.1).
再取区间(2.5，3)的中点x2=2.75，算得f(2.75)≈0.209，
因为f(2.5)·f(2.75)<0，所以x0∈(2.5，2.75).
再取区间(2.5，2.75)的中点x3=2.625，算得f(2.625)≈0.017，
因为f(2.5)·f(2.625)<0，所以x0∈(2.5，2.625).
再取区间(2.5，2.625)的中点x4=2.5625，算得f(2.5625)≈-0.080，
因为f(2.5625)·f(2.625)<0，所以x0∈(2.5625，2.625).
因为|2.625-2.5625|=0.0625<0.1，
所以函数f(x)=log2x+x-4零点的近似值可取2.5625.
3．用二分法求方程的近似解
【问题1】用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束
【答案】当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束.
【问题2】用二分法求方程的近似解时，精确度不同对近似解有影响吗
【答案】精确度决定步骤的始终，故精确度不同，近似解可能会不同.
对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
抽象概括
【例3】用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).
【方法指导】运用二分法的步骤进行求解.
学以致用
【解析】令f(x)=2x3+3x-3，
经计算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3+3x=3在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3+3x-3=0在(0.5，1)内有解.
学以致用
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表所示：
由于|0.6875-0.75|=0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
【方法小结】根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625，0.75) 0.6875 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.6875)<0
(0.6875，0.75) |0.6875-0.75|=0.0625<0.1 【针对训练】求方程lg x=3-x的近似解(精确度0.1).
【解析】分别画函数y=lg x和y=3-x的图象，
如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等.
因此，这个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.
由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现，方程lg x=3-x有唯一解，
记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.
设f(x)=lg x+x-3，利用计算器计算得：
f(2)<0，f(3)>0 x1∈(2，3)；f(2.5)<0，f(3)>0 x1∈(2.5，3)；
f(2.5)<0，f(2.75)>0 x1∈(2.5，2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0 x1∈(2.5，2.625)；
f(2.5625)<0，f(2.625)>0 x1∈(2.5625，2.625)；
因为2.625-2.5625=0.0625<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.
某电脑公司生产A型号的笔记本电脑，2016年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价.从2017年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行改制，从而使生产成本逐年降低，2020年平均每台A型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2016年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益.
(1)求2020年每台电脑的生产成本；
(2)以2016年的生产成本为基数，用二分法求2016~2020年生产成本平均每年降低的百分率(精确到0.01).
探究：二分法思想的实际应用
【解析】(1)设2020年每台电脑的生产成本为P元，
根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200(元).
故2020年每台电脑的生产成本为3200元.
【方法指导】用二分法的思想找出零点所在区间，应用二分法的步骤进行求解.
探究：二分法思想的实际应用
(2)设2016~2020年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1-x)4=3200(0令f(x)=5000(1-x)4-3200，作出x，f(x)的对应值如表所示：
观察上表，可知f(0.1)·f(0.15)<0，说明此函数的零点x0在区间(0.1，0.15)上.
取区间(0.1，0.15)的中点x1=0.125，可得f(0.125)≈-269.
因为f(0.125)·f(0.1)<0，所以x0∈(0.1，0.125).
再取区间(0.1，0.125)的中点x2=0.1125，可得f(0.1125)≈-98.
因为f(0.1)·f(0.1125)<0，所以x0∈(0.1，0.1125).
同理可得，x0∈(0.1，0.10625)，因为|0.1-0.10625|<0.01，所以可取0.1作为原方程的近似解.
故2016~2020年生产成本平均每年降低的百分率为10%.
x 0 0.1 0.15 0.2 0.3 0.45
f(x) 1800 80.5 -590 -1152 -2000 -2742
探究：二分法思想的实际应用
【探究小结】二分法是一种体现了现代信息技术与数学课程的结合，将数学学习与信息技术紧密结合在一起，渗透了算法思想和合理运用科学计算器、各种数学教育技术平台的方法.二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根，还在现实生活中也有许多重要的应用，可以用来处理一些实际应用问题.如在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.考查了数学建模，逻辑推理的数学核心素养.
【针对训练】一犯罪嫌疑人在A城犯事后驾车从A城向B城的高速公路上逃逸，办案人员利用计算机调取高速公路的摄像头查看犯罪嫌疑人的车辆是否经过该地段，以尽快锁定犯罪嫌疑人在高速公路的位置.已知AB城间的高速路上共安装了15个摄像头，采用二分法的思想，则最多应查看　　　　个摄像头即可确定犯罪嫌疑人在某两个相邻的摄像头之间路段行驶.(计算机查看摄像头的时间忽略不计)
【解析】运用二分法思想，首先查看第8个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过，若没发现则查看第4个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过，若没发现则查看第2个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过，若没发现则查看第1个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过，若没发现，则可确定犯罪嫌疑人在A城与A城到B城的第一个摄像头之间的路段行驶，其他情形也一样，所以最多应查看4次摄像头即可确定犯罪嫌疑人在某两个相邻摄像头之间的路段行驶.
4
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　).
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　　).
A.[-2，-1] B.[-1，0] C.[0，1] D.[1，2]
3.已知f(x)=-ln x在区间(1，2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度为0.1)，则需要将区间二分的次数为　　　　.
4.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2-3x，并用计算器得到下表：
由表中的数据，求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1).
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　).
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
【解析】观察图象可知，零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求.
C
2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　　).
A.[-2，-1] B.[-1，0] C.[0，1] D.[1，2]
【解析】∵f(-2)=-3<0，f(-1)=4>0，f(-2)·f(-1)<0，
∴可取[-2，-1]作为初始区间，用二分法逐次计算.
A
3.已知f(x)=-ln x在区间(1，2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度为0.1)，则需要将区间二分的次数为　　　　.
【解析】区间(1，2)的长度为1，则第1次二分后区间长度变为，第2次二分后变为=0.25，第3次二分后变为=0.125，第4次二分后变为≈0.06<0.1.∴需要对区间二分4次.
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4.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2-3x，并用计算器得到下表：
由表中的数据，求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1).
【解析】因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25，1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是方程的一个近似解.
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989