5.2 实际问题中的函数模型　课件——2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册(共19张PPT)

(共19张PPT)
5.2 实际问题中的函数模型
函数模型是应用最广泛的数学模型之一，它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数模型能刻画出现实生活中不同的变化规律.如果实际问题中的变量与变量之间的关系一旦被认定为是函数关系就可以将实际问题转化为数学问题，建立一个函数模型，通过研究函数的性质，从而更好地去把握问题，分析问题上，使实际问题得以解决.
1．实际问题的函数刻画
【问题1】上述图象说明时间与路程是什么关系
【答案】说明时间与路程是函数关系.
【问题2】上述图象可以用我们所学的什么函数模型刻画呢
【答案】从图象上看，它分成4段，且都是直线段，故用分段函数模型刻画比较好.
【问题情境】一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示.
【问题3】刻画应用问题的关键是什么
【答案】将实际问题抽象为数学问题.
1.实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画.
2.常用的函数模型
(1)一次函数模型，直线上升或下降，单位长度内增长或减少量固定不变.
(2)二次函数模型，当a>0时，先减后增；当a<0时，先增后减.
3.解决实际问题的一般思路
抽象概括
【例1】某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
(1)画出函数图形，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2020年该国的国内生产总值.
【方法指导】先根据表中数据画出函数图象，再判断应选择哪种函数模型解决问题.
学以致用
【解析】(1)根据表中数据画出函数图形，如图所示.
从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y=kx+b.
把直线通过的两点(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解方程组，
可得k=0.6777，b=8.2067.所以y与x之间的一个函数关系式为y=0.6777x+8.2067.
年份 2016 2017 2018 2019
年份代码x(年) 0 1 2 3
生产总值y(万亿元) 8.2067 8.9442 9.5933 10.2398
学以致用
【方法小结】根据表格信息画出图象，再根据图象选择合适的函数刻画实际问题.
(2)由(1)中得到的关系式f(x)=0.6777x+8.2067，计算出2017年和2018年的国内生产总值分别如下：
f(1)=0.6777×1+8.2067=8.8844，
f(2)=0.6777×2+8.2067=9.5621.
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.
(3)2020年，即x=4，由上述关系式，得y=f(4)=0.6777×4+8.2067=10.9175，即预测2020年该国的国内生产总值约为10.9175万亿元.
【针对训练】A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地.
(1)试把汽车离开A地的距离y(千米)表示为时间x(小时)的函数；
(2)根据(1)中的函数表达式，求出汽车距离A地100千米时x的值.
【解析】(1)此人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，需要的时间为=2.5(小时)，以50千米/小时的速度从B地返回A地，需要的时间为=3(小时)，
则当0≤x<2.5时，y=60x；当2.5≤x≤3.5时，y=150；
当3.5(2)当0≤x<2.5时，60x=100，解得x=；
当2.5≤x≤3.5时，y=150≠100；
当3.5所以汽车距离A地100千米时x的值为或.
2．用函数模型解决实际问题
【问题1】小明从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是多少
【答案】f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=4.77.
【问题2】已知函数模型，如何解决实际问题
【答案】根据函数模型处理数据，解决问题.
【问题情境】拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由f(m)=给出，其中[m]是不超过m的最大整数，如[3.74]=3.
【问题3】解决实际问题的关键是什么
【答案】将实际问题转化为数学问题.
1.数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括、简化近似地表示出来的一种数学结构.其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一.实际问题一旦被认定为是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决.
2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用下图表示数学建模的过程.
抽象概括
【例2】“扎比瓦卡”是2018年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝本.扎比瓦卡，俄语意为“进球者”.某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为15000元，每生产一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元，根据初步测算，每个“扎比瓦卡”的销售价格(单位：元)满足函数P(x)=其中x是“扎比瓦卡”的月产量，单位：件(假设每月生产的“扎比瓦卡”都能全部售完).
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大 最大利润是多少
【方法指导】(1)结合分段函数P(x)，用销售价格乘以产量，再减去成本，求得利润f(x)的解析式；
(2)根据二次函数的性质，求得利润f(x)的最大值以及此时的月产量.
学以致用
学以致用
【解析】(1)由题意，当0≤x≤450时，
f(x)=x-15000-20x=300x-x2-15000；
当x>450时，f(x)=45000-20x-15000=30000-20x.
故f(x)=
【方法小结】这类问题应结合题意，观察所给的分段函数信息，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决.
(2)当0≤x≤450时，f(x)=-x2+300x-15000，
根据二次函数的性质可知，当x=300时，f(x)max=30000.
当x>450时，f(x)=30000-20x为减函数，f(x)max∵30000>21000，
∴当x=300时，该厂所获利润最大，最大利润为30000元.
【针对训练】经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：百件)和价格(单位：元)均为时间t(单位：天)的函数，且销售量近似地满足f(t)=(t∈N)，价格为g(t)=200-t(1≤t≤100，t∈N).
(1)求该种商品的日销售额h(t)与时间t的函数关系；
(2)求t为何值时，日销售额最大.
【解析】(1)由题意知，
当1≤t≤60，t∈N时，h(t)=f(t)·g(t)=(60+t)·(200-t)=-t2+140t+12000，
当61≤t≤100，t∈N时，h(t)=f(t)·g(t)=·(200-t)=t2-250t+30000，
所以，所求函数关系为h(t)=
【针对训练】经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：百件)和价格(单位：元)均为时间t(单位：天)的函数，且销售量近似地满足f(t)=(t∈N)，价格为g(t)=200-t(1≤t≤100，t∈N).
(1)求该种商品的日销售额h(t)与时间t的函数关系；
(2)求t为何值时，日销售额最大.
(2)当1≤t≤60，t∈N时，h(t)=-t2+140t+12000=-(t-70)2+16900，
所以，函数h(t)在[1，60]上单调递增，故h(t)max=h(60)=16800(百元).
当61≤t≤100，t∈N时，h(t)=t2-250t+30000=(t-250)2-1250，
所以函数h(t)在[61，100]上单调递减，故h(t)max=h(61)=16610.5(百元).
因为16610.5<16800，所以当t=60时，日销售额最大.
某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量P(单位：mg/L)与过滤开始后的时间t(小时)的关系为P=P0e-kt.其中P0为过滤开始时废气的污染物数量，k为常数.如果过滤开始后经过5个小时消除了10%的污染物，试求：
(1)过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物；
(2)污染物减少50%所需的时间.(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)
探究：建立指数、对数函数模型解决实际问题
【解析】(1)由P=P0e-kt可知，当t=0时，P=P0；当t=5时，P=(1-10%)P0.
于是有(1-10%)P0=P0e-5k，解得k=-ln 0.9，则P=P0，
所以，当t=10时，P=P0=P0eln 0.81=81%P0，
故过滤开始后经过10个小时还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P0时，有50%P0=P0，
解得t==5×=5×≈35，
故污染物减少50%所需的时间为35个小时.
探究：建立指数、对数函数模型解决实际问题
【探究小结】已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代数函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
【针对训练】一种药在病人血液中的量保持1500 mg以上才有疗效；而低于500 mg病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，求从现在起经过几小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，结果精确到0.1小时)
【解析】设x小时后再向病人的血液补充这种药，
则血液中的含药量y与注射后的时间x的关系式为y=2500(1-20%)x，
依题意，可得2500(1-20%)x=1500，
整理可得，
故x=lo=lo≈2.3，
故从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
1.一段导线，在0 ℃时的电阻为2 Ω，温度每增加1 ℃，电阻增加0.008 Ω，那么将电阻R(Ω)表示为温度t(℃)的函数关系式为(　　).
A.R=0.008t B.R=2+0.008t C.R=2.008t D.R=2t+0.008
2.某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　).
A.14400亩 B.16000亩 C.17280亩 D.20736亩
3.某水果市场规定，批发苹果不少于100 kg时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购苹果，并以批发价买进.如果购买的苹果为x kg，小王付款后剩余现金y元，那么y与x之间的函数关系式为　　　　.
4.大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务，其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少20%，那么要让有害气体减少到原来的5%，至少要经过几次处理 参考数据：lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990.
1.一段导线，在0 ℃时的电阻为2 Ω，温度每增加1 ℃，电阻增加0.008 Ω，那么将电阻R(Ω)表示为温度t(℃)的函数关系式为(　　).
A.R=0.008t B.R=2+0.008t C.R=2.008t D.R=2t+0.008
【解析】由题意知电阻R与温度t构成一次函数关系，故选B.
B
2.某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　).
A.14400亩 B.16000亩 C.17280亩 D.20736亩
【解析】设年份为x，造林亩数为y，则y=10000×(1+20%)x-1，故当x=4时，y=17280，故选C.
C
3.某水果市场规定，批发苹果不少于100 kg时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购苹果，并以批发价买进.如果购买的苹果为x kg，小王付款后剩余现金y元，那么y与x之间的函数关系式为　　　　　　　　　　　　　.
【解析】y=3000-2.5x，由得100≤x≤1200.
y=3000-2.5x(100≤x≤1200)
4.大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务，其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少20%，那么要让有害气体减少到原来的5%，至少要经过几次处理 参考数据：lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990.
【解析】设工业废气中的有害气体量在未处理前为a，经过x次处理后变为y，
则y=a(1-20%)x=a(80%)x.
由题意得=5%，即(80%)x=5%，两边同时取以10为底的对数得xlg 0.8=lg 0.05，
即x=≈13.4.
因而至少需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%.