河南省南阳市重点中学校2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题（Word版含答案）

南阳市重点中学校2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知扇形的圆心角为2，弦长，则扇形的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
3．在中，已知，，，则此三角形（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
4．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，是直线上一动点，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．12
6．中，已知，，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，两点到直线的距离相等，则实数的值为（ ）
A． B．或3 C． D．或1
9．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．设是平面内一定点，为平面内一动点，若，则为的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
11．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
12．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如果复数满足，那么的最大值是________．
14．已知三点，，在同一直线上，则值为________．
15．在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为________．
16．已知圆，与圆，只有一条公切线，则的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17．在平面直角坐标系中，已知，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
18．已知两条直线，，当为何值时直线与分别有下列关系？
（1）；
（2）．
19．设直线的方程为．
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围．
20．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
21．已知的顶点，直角顶点为，顶点在轴上，求：
（1）顶点的坐标；
（2）外接圆的一般方程．
22．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
南阳市重点中学校2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学答案
1．【答案】D ．
2．【答案】B 扇形半径，扇形弧长等于．
3．【答案】A 在中，，，，由正弦定理得，而，有，即为锐角，所以此三角形有一解．
4．【答案】D 作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积．
5．【答案】B 由于直线过点，，因此直线的截距式方程为，∵在直线上，∴，则，∴，当时，取得最大值为3．
6．【答案】A 由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，∴，∴，∴．
7．【答案】C ∵，，，，∴，，因此，．
8．【答案】B 解法一：（1），两点位于直线同一侧，即直线平行于直线，所以，即；
（2），两点位于直线的两侧，所以直线过线段的中点，线段的中点坐标为，即，∴，解得．
综上实数的值为．
解法二：由点到直线的距离公式得，即，亦即，解得．
9．【答案】A 设直线过定点，则直线可写成，令，解得．∴直线必过定点．，，∵直线与线段相交，∴由图象知，或，解得或，则实数的取值范围是．
10．【答案】B 若，
可得，
即为，
即有，则，故为的外心，故选B．
11．【答案】B 由题意知，点在以原点为圆心，以为半径的圆上，又因为点在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B．
12．【答案】D
13．
14．解法一：∵，∴三点所在直线的斜率存在，∴，．∵点，，在同一直线上，∴，∴，解得或．
解法二：∵，，点，，在同一直线上，∴，即，解得或．
15．【答案】 如图分别取、的中点、，连接、、，则，，，所以为二面角的平面角，即．由题知，为等边三角形，所以，，所以，即，所以，．由图形的对称性可知：球心必在的延长线上，设球心为，连接、，设半径为，，，由题可知，为直角三角形，所以，所以，解得：，，所以．
16．【答案】 圆的圆心坐标，半径，圆的圆心，半径，由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距，所以可得，设，，，所以，当且仅，时，即，时，的最小值为．
17．（1）；（2）
（1）因为，．
所以，，
因为，
所以，解得．
（2），因为，
所以，解得．
18．解：（1）；
（2）或，
检验得，时与重合，
故．
19．解：（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，当然相等，
∴，此时的方程为．
若，由截距存在且均不为零有，
即，∴，此时的方程为．
（2）将的方程化为．
∴，或．解得．
综上可知，实数的取值范围是．
20．（1）；（2）
（1）由正弦定理得：，
∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）由正弦定理得：，∴，，
∴
；
∵为锐角三角形，∴，即，∴，
∴，∴，，
即的取值范围为．
21．解：（1）设顶点，由题意得，
且，所以，
解得，所以顶点．
（2）设外接圆的方程为，
由题意知，解得．
所以外接圆的一般方程为．
22．解：（1）延长至点，使得．
∵，，∴，，
∴四边形为平行四边形，∴．
又∵，，∴，．
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴在中，，，
故为以为直角的直角三角形，
∴，由得，．
∵平面，平面，
∴．
∵平面，平面，，
∴平面．
（2）过点作的垂线交于点，
设，的交点为，连结．
由题意可知，，．
所以在中，．
在中，．
∴，．
在平面中，，
∴，，
∴在平面中，，则，
∴，即．
∴即为二面角的平面角．
故在中，．
（3）在三棱锥中
，,
解得，即点到平面的距离为2．