6.4.1 样本的数字特征 课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册(共22张PPT)

(共22张PPT)
6.4.1 样本的数字特征
应届毕业生王刚想找一份年薪8万元的工作.有一位招聘员告诉王刚：“我们公司50名员工中，最高年收入达到了100万元，他们平均年收入是10万元，加盟我们公司吧.”
根据以上信息，能否判断王刚可以成为此公司的一名高收入者 如果招聘员继续告诉王刚：“员工年收入的变化范围是从7万元到100万元.”这个信息是否可以促使王刚做出决定
1．众数、中位数和平均数的统计意义
【答案】三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年；乙：平均数为8年；丙：中位数为8年.
【问题情境】现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行跟踪调查，其结果如下：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10.
乙：4，6，6，6，8，9，12，13.
【问题1】三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗
【答案】不能，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感.
【问题2】众数能传递数据中的很多信息吗 对极端值是否敏感
1．众数、中位数和平均数的统计意义
【问题3】初中学过的平均数、中位数、众数是刻画什么的
【答案】平均数、中位数、众数都是刻画“中心位置”的量，它们从不同的角度刻画了一组数据的集中趋势.
【问题情境】现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行跟踪调查，其结果如下：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10.
乙：4，6，6，6，8，9，12，13.
1.集中趋势参数：众数、中位数和平均数刻画了一组数据的“中心”位置，通常称它们为数据的集中趋势参数.
2.平均数、中位数和众数的概念
(1)平均数：这组数据的平均值.
(2)中位数：一般地，将这组数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据为这组数据的中位数，它使被分成的两部分数据的数量是一样的.
(3)众数：这组数据中出现次数最多的数据.
抽象概括
【例1】高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分；女同学的平均分是80分，中位数是80分.
(1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01分)；
(2)估计全班成绩不超过80分的同学至少有多少人；
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因.
【解析】(1)利用平均数计算公式，得×(82×27+80×21)≈81.13，
即这次测验全班的平均分为81.13分.
学以致用
(2)∵男同学成绩的中位数是75分，∴至少有14人得分不超过75分.
又∵女同学成绩的中位数是80分，∴至少有11人得分不超过80分，
∴估计全班至少有25人得分不超过80分.
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因.
学以致用
(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的成绩中两极分化现象严重，分数高的和分数低的相差较大.
【方法小结】如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.中位数、平均数都是描述数值型数据的集中趋势的量，其中样本平均数的大小与每一个样本数据有关，所以任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.
【针对训练】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩(单位：m)如表所示：
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
【解析】在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75 m.表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70 m.
这组数据的平均数为×(1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4+1.80×1+1.85×1+1.90×1) =≈1.69(m).
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
2．极差、方差、标准差
【问题情境】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别如下：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7.
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
【问题1】甲、乙两战士命中环数的平均数，各是多少
【答案】=7，=7.
【问题2】由能否判断两人的射击水平
【答案】由于=7，所以不能判断.
【问题3】观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定
【答案】从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中.故乙的射击水平更稳定.
极差和方差都刻画数据的离散程度.
(1)极差是数据中最大值和最小值的差，它计算简单，但没有充分利用其他数据.
(2)方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度，由于方差的单位是原始数据单位的平方，
为此，计算方差的算术平方根，得s=，称s为标准差.
抽象概括
【例2】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
问：(1)哪种玉米苗长得高
(2)哪种玉米苗长得齐
学以致用
【解析】(1)∵(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm)，
(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm)，
∴，即乙种玉米苗长得高.
(2)哪种玉米苗长得齐
学以致用
(2)[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]
=(25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=×1042=104.2，
[(2×272+3×162+3×402+2×442)-10×312]=×1288=128.8，
∴，即甲种玉米苗长得齐.
【方法小结】计算方差、标准差的步骤：(1)算出样本数据的平均数；(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi-(i=1，2，3，…，n)；(3)算出(2)中xi-(i=1，2，3，…，n)的平方；(4)算出(3)中n个平方数的平均数，即得样本方差；(5)算出(4)中方差的算术平方根，即得样本标准差.
【针对训练】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件进行测量，数据如下：
甲：99，100，98，100，100，103.
乙：99，100，102，99，100，100.
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
【解析】(1)(99+100+98+100+100+103)=100，
(99+100+102+99+100+100)=100.
[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=，
[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又，所以乙机床加工零件的质量更稳定.
【例3】在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.
【解析】(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些.
(2)[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172，
[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]
=256.
∵，∴从方差角度看甲组成绩比乙组成绩稳定，故甲组好些.
探究：数据集中趋势的应用
【方法指导】解答本题可从众数、平均数、方差等几个方面综合分析.
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好.
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好.
探究：数据集中趋势的应用
【探究小结】要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好.像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言，得出结论.
【针对训练】甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)分别求甲、乙两人打靶成绩的平均数、中位数及命中9环以上的次数(含9环)；
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力
【解析】(1)由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10；乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；
乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.
【针对训练】甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)分别求甲、乙两人打靶成绩的平均数、中位数及命中9环以上的次数(含9环)；
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力
(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同.
①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好.
②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好.
③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力.
1.知识图谱：
2.思想方法、核心素养：统计推断；数学运算、数据分析；
3.常见误区：当数据有偶数个时，中位数为中间两个数的平均数；当样本的平均数相等或相差无几时，就用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征.
3.下列说法中，错误的是(　　).
A.数据2，4，6，8的中位数是4，6
B.数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4
C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D.8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
4.若五个数a，0，1，2，3的平均数为1，则这五个数的方差等于　　　　.
【解析】判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后比较第8位的成绩，其成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数.
1.已知16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15位同学成绩的下列数据，能使他得出结论的是(　　).
A.平均数 B.极差 C.中位数 D.众数
C
【解析】一组数据中的每一个数据都加上60后，新数据的平均数为2.8+60=62.8，而标准差保持不变，仍为3.6.
2.已知一组数据的平均数是2.8，标准差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则新数据的平均数和标准差分别为(　　).
A.57.2和3.6 B.57.2和56.4 C.62.8和63.6 D.62.8和3.6
D
【解析】一组数据中的每一个数据都加上60后，新数据的平均数为2.8+60=62.8，而标准差保持不变，仍为3.6.
3.下列说法中，错误的是(　　).
A.数据2，4，6，8的中位数是4，6
B.数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4
C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D.8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
4.若五个数a，0，1，2，3的平均数为1，则这五个数的方差等于　　　　.
【解析】由a，0，1，2，3的平均数为1，得a=-1，再将a=-1代入方差公式，得s2=2.
A
2