6.4.2 分层随机抽样的均值与方差 课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册(共17张PPT)

(共17张PPT)
6.4.2 分层随机抽样的均值与方差
1．分层随机抽样的均值
【答案】先求出高一、高二年级被抽取的人数分别为30人，20人，再求出高一年级的样本总和为xi，高二年级的样本总和为yi，则样本平均数为(xi+yi).
【问题情境】某校高一年级有1800人、高二年级有1200人，教体局为了了解学生的近视情况，利用分层随机抽样的方法，从该校抽取了50个个体进行检查.
【问题1】如何计算上述样本的平均数
【答案】分层随机抽样的平均数可以先分层求平均数，再求样本的平均数.
【问题2】在分层随机抽样中各层抽查的个数不一样，如何求样本的平均数呢
1.一般地，样本a1，a2，…，am和b1，b2，…，bn合并成一组新样本，这组新样本的平均数为··.于是，当已知两层构成的样本中每层的平均数分别为和时，可以得到样本的平均数为··.
2.记w1=，w2=，则这个样本的平均数为w1+w2，其中w1，w2称为权重.
更一般地，设样本中不同层的平均数和相应的权重分别为，，…，和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w1+w2+…+wn. 为了简化表示，引进求和符号，
记作w1+w2+…+wnwi.
抽象概括
【例1】甲、乙两人相约晚上预订外卖，他们分别在A，B两个网站看同一家餐馆的好评率.甲在网站A查到有2a人订餐，好评率为98%，而乙在网站B查到有a人订餐，好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的好评率
学以致用
【解析】设在网站A评价该餐馆的人数为n1，其中给出好评的人数为m1，在网站B评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2.由题目条件知，=98%，=85%.
综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为，
化简得=0.98×+0.85×=0.98×+0.85×=0.98×+0.85×≈93.7%.
【方法小结】样本的平均数和各层的样本平均数的关系为，m，n分别为各层的样本容量.
【针对训练】高二年级有男生510人，女生490人，小明按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为176.2 cm和160.6 cm.若小明在各层中按比例分配随机抽取样本，总样本量为100.
(1)求在男生、女生中各抽取了多少名
(2)估计高二年级学生的平均身高.
【解析】(1)男生抽取的人数为510×=51，女生抽取的人数为490×=49.
(2)因为小明是按比例分配进行分层随机抽样，
所以··×176.2+×160.6=168.556(cm).
所以估计高二年级学生的平均身高为168.6 cm.
2．分层随机抽样的方差
【问题情境】甲、乙两排参加了同一军事测试，其中甲排50人，乙排40人.甲排的平均成绩为80.5分，方差为500；乙排的平均成绩为85分，方差为360.
【问题1】如何计算甲、乙两排全部90名战士的平均成绩和方差
【答案】先求出甲、乙两排的平均成绩和方差，设w甲=，w乙=，
然后利用公式=w甲+w乙，s2=w甲[+()2]+w乙[+()2]计算.
【问题2】在分层随机抽样中各层抽查的个数不一样，如何求样本的方差呢
【答案】可以先分层求平均数、方差，再求样本的方差.
设样本中不同层的平均数分别为，，…，，方差分别为，…，，相应的权重分别为w1，，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2=wi[+()2]，其中为样本平均数.
抽象概括
【例2】甲、乙两支田径队体检结果如下：甲队的平均体重为60 kg，方差为200；乙队的平均体重为70 kg，方差为300.已知甲、乙两队的队员人数之比为1:4，求甲、乙两队所有队员的平均体重和方差.
学以致用
【解析】由题意可知=60，甲队队员在所有队员中所占权重为，=70，乙队队员在所有队员中所占权重为，
则甲、乙两队所有队员的平均体重为×60+×70=68(kg)，
甲、乙两队所有队员体重的方差s2=×[200+(60-68)2]+×[300+(70-68)2]=296.
【方法小结】计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定，，，；
(2)确定；
(3)应用公式s2=[+()2]+[+()2]计算s2.
【针对训练】已知某省二、三、四线城市房屋数量之比为1:3:6，2019年8月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为　　　　.
【解析】设二线城市房价的方差为s2，由题意可知，
20=[s2+(1.2-2.4)2]+[10+(1.2-1.8)2]+[8+(1.2-0.8)2]，解得s2=118.52，
即二线城市房价的方差为118.52.
118.52
【例3】某工厂抽取了在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)计算该样本的平均值，方差s2；
(2)若质量指标值在(-1.5s，+1.5s)之内为一等品，用样本估计
总体，则该工厂一天生产的产品中是否有75%以上的一等品
(参考数据：≈12.2)
【解析】(1)由频率分布直方图可得，
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+02×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
探究：数据集中趋势的应用
【方法指导】(1)先将各区间中点值和频率的乘积分别相加可得平均数，再利用方差公式可求方差；(2)由质量指标值在(185，215)之间的频率可得一等品所占百分比.
(2)由(1)得(-1.5s，+1.5s)≈(181.7，218.3)，
由图可得质量指标值在(185，215)之间的频率为0.22+0.33+0.24=0.79，0.79>0.75，
所以有75%以上的产品为一等品.
探究：数据集中趋势的应用
【探究小结】通过比较数据的差异，分析数据的平均数和标准差等数字特征，培养学生数据分析的数学素养.
【针对训练】如图所示的是根据某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图，请根据该图提供的信息，解答下列问题.
(1)为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层随机抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[3500，4000)的这组中应抽取多少人
(2)试估计样本数据的中位数与平均数.
【解析】(1)月收入在[3500，4000)的频率为0.0004×500=0.2，
从中用分层随机抽样的方法抽出100人，
则月收入在[3500，4000)的这组中应抽取100×0.2=20(人).
【针对训练】如图所示的是根据某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图，请根据该图提供的信息，解答下列问题.
(1)为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层随机抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[3500，4000)的这组中应抽取多少人
(2)试估计样本数据的中位数与平均数.
(2)月收入在[3000，4000)的频率为(0.0008+0.0004)×500=0.6>0.5，
故样本数据的中位数为3500+=3500+250=3750.
由频率分布直方图可知，月收入在[5000，5500)的频率为
1-(0.0008+0.0004+0.0003+0.00025+0.0001)×500=0.075，
故样本数据的平均数为
3250×0.4+3750×0.2+4250×0.15+4750×0.125+5250×0.075+5750×0.05=3962.5.
1.有甲品种的西瓜12个，平均重8 kg，乙品种的西瓜8个，平均重5 kg，则这20个西瓜的平均重量为(　　).
A.6.5 kg B.6.6 kg C.6.8 kg D.7 kg
2.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本.已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg；标准差为60；男员工的平均体重为70 kg，标准差为50；女员工的平均体重为50 kg，标准差为60.若样本中有20名男员工，则女员工的人数为(　　).
A.160 B.180 C.200 D.210
3.数据x1，x2，…，xm的平均数为，数据y1，y2，…，yn的平均数为.证明：.
【解析】这20个西瓜的平均重量为×8+×5=6.8 kg.
1.有甲品种的西瓜12个，平均重8 kg，乙品种的西瓜8个，平均重5 kg，则这20个西瓜的平均重量为(　　).
A.6.5 kg B.6.6 kg C.6.8 kg D.7 kg
C
【解析】设男，女员工的权重分别为w男，w女，
由题意可知s2=w男[+()2]+w女[+()2]，
即w男[502+(70-60)2]+(1-w男)[602+(50-60)2]=602，解得w男=，w女=.
因为样本中有20名男员工，故样本中女员工的人数为200.
2.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本.已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg；标准差为60；男员工的平均体重为70 kg，标准差为50；女员工的平均体重为50 kg，标准差为60.若样本中有20名男员工，则女员工的人数为(　　).
A.160 B.180 C.200 D.210
C
【解析】设数据x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为，则左边=，
右边=···xi+·yi=.
得证.
3.数据x1，x2，…，xm的平均数为，数据y1，y2，…，yn的平均数为.
证明：.