6.4.3 百分位数 课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册(共17张PPT)

(共17张PPT)
6.4.3 百分位数
高中数学新北师大版必修第一册
百分位数的定义
【答案】有50%的数值高于和低于此值.
【问题情境】在涉及人体尺寸的产品设计时，需应用人体尺寸百分位数.人体尺寸百分位数表示某一人体尺寸范围内，有百分之几的人大于或小于给定值.例如，5%分位数代表“小”身材，即只有5%的数值低于此下限值；95%分位数代表“大”身材，即只有5%的数值高于此上限值.
【问题1】根据上述分析，50%分位数代表“适中”身材，它的含义是什么
【答案】有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.
【问题2】“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思
【答案】总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
【问题3】p分位数(p∈(0，1))有什么特点
1.p分位数
一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
2.计算一组n个数据的p分位数的步骤
第一步，按从小到大的顺序排列原始数据.
第二步，计算i=np.
第三步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
3.四分位数
25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.
抽象概括
【例1】某良种培育基地正在培育一种小麦新品种，随机抽出部分试种小麦的产量的样本数据(单位：千克)如下：
415　359　454　367　434　445　374　375　451
385　421　410　391　430　392　394　423　400
406　430　401　443　405　400　407　388　412
427　414　357　415　386　422　423　399　412
401　430　392　368　403　371　445　383　363
估计试种小麦新品种的25%，50%，75%分位数.
学以致用
一、百分位数在已知数据中的应用
【方法指导】先把数据由小到大排列，然后根据一组n个数据的p分位数的计算步骤求解.
学以致用
【解析】把45个样本数据按从小到大排序：
357　359　363　367　368　371　374　375　383
385　386　388　391　392　392　394　399　400
400　401　401　403　405　406　407　410　412
412　414　415　415　421　422　423　423　427
430　430　430　434　443　445　445　451　454
由25%×45=11.25，50%×45=22.5，75%×45=33.75，
可知样本数据的25%，50%，75%分位数分别为第12，23，34项数据，即分别为388，405，423.
由此可以估计试种小麦新品种的25%，50%，75%分位数分别为388，405，423.
【方法小结】掌握p分位数的定义及计算一组n个数据的p分位数的步骤是关键.
【例2】某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图.
估计参赛学生的成绩的25%和90%分位数.
学以致用
【解析】由直方图得，从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别
是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
成绩在60分以下的学生所占比例为30%，30%>25%，
所以25%分位数一定位于[50，60)内.
由50+10×≈58.3，可以估计参赛学生的成绩的25%分位数为58.3.
二、百分位数在统计表或统计图中的应用
【方法指导】先计算百分位数落在哪个区间，然后类比中位数求解.
学以致用
成绩在80分以下的学生所占比例为30%+40%+15%=85%，85%<90%，
成绩在90分以下的学生所占比例为30%+40%+15%+10%=95%，95%>90%，
所以90%分位数一定位于[80，90)内.
由80+10×=85，可以估计参赛学生的成绩的90%分位数为85.
【方法小结】计算频率分布直方图(表)中p分位数，一般，先求频率，小于a的频率为m，小于b的频率为n，找到百分位数所在的区间[a，b]，则所求百分位数是a+|b-a|×.
【针对训练】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表如下：
试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的80%和95%分位数.
【解析】由统计表可知周课外阅读时间在10.5小时以下的
学生所占比例为0.78，周课外阅读时间在12.5小时以下的
学生所占比例为0.90，
所以80%分位数一定位于[10.5，12.5)内，由10.5+2×≈10.8，
可以估计样本数据的80%分位数为10.8.
同理可知，周课外阅读时间在14.5小时以下的学生所占比例为0.96，
所以95%分位数一定位于[12.5，14.5)内，由12.5+2×≈14.2，
可以估计样本数据的95%分位数为14.2.
组号 分组 频数
1 [0，2.5) 6
2 [2.5，4.5) 8
3 [4.5，6.5) 17
4 [6.5，8.5) 22
5 [8.5，10.5) 25
6 [10.5，12.5) 12
7 [12.5，14.5) 6
8 [14.5，16.5) 2
9 [16.5，18.5] 2
合计 100
【例3】从某高等院校新生入学考试的综合成绩中，抽取70名学生的成绩(满分100)如下：
95　96　40　87　99　42　50　51　78　52
67　82　93　63　85　43　49　94　74　86
48　53　98　64　92　88　70　86　70　45
49　97　83　94　91　65　72　75　78　53
80　43　75　47　68　84　65　69　79　72
76　44　60　81　62　46　80　47　77　57
56　68　84　59　75　62　41　71　89　73
(1)估计该院校新生入学考试的综合成绩50%，75%，95%分位数；
(2)该院校的新生李林的综合测试成绩是84分，他的成绩如何
探究：百分位数的综合应用
【方法指导】(1)先将数据按由小到大排序，然后利用p分位数的计算公式计算；(2)根据所占分位数分析.
【解析】(1)学院新生入学考试的综合成绩按由小到大排序如下：
40　41　42　43　43　44　45　46　47　47
48　49　49　50　51　52　53　53　56　57
59　60　62　62　63　64　65　65　67　68
68　69　70　70　71　72　72　73　74　75
75　75　76　77　78　78　79　80　80　81
82　83　84　84　85　86　86　87　88　89
91　92　93　94　94　95　96　97　98　99
由50%×70=35，75%×70=52.5，95%×70=66.5，可知样本数据的75%，95%分位数分别为第53，67项数据，50%分位数是第35与36项对应数据的平均数.
所以据此可估计该院校新生入学考试成绩的50%，75%，95%分位数分别为71.5，84，96.
探究：百分位数的综合应用
【探究小结】通过比较数据的差异，分析数据的平均数和标准差等数字特征，培养学生数据分析的数学素养.
(2)李林的综合测试成绩是84分，恰好对应的是75%分位数，即大约75%的学生的考分比他低，而约25%的学生考分比他高，也就是说他的成绩是中偏上.
【针对训练】某中学从高一年级随机抽取部分学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)：
72　56　78　47　66　55　64　56　88　69
40　73　97　68　56　67　59　70　52　79
44　53　69　62　58　32　58
(1)估计高一年级这次测验成绩的25%，80%，90%分位数.
(2)该高一学生张华测验成绩是79分，分析他在学校的成绩.
【解析】(1)将智力测验成绩按由小到大排序如下：
32　40　44　47　52　53　55　56　56　56
58　58　59　62　64　66　67　68　69　69
70　72　73　78　79　88　97
由25%×27=6.75，80%×27=21.6，90%×27=24.3，可知样本数据的25%，80%，90%分位数为第7，22，25项数据，分别为55，72，79.
所以据此可估计高一智力测验成绩的25%，80%，90%分位数分别为55，72，79.
(2)张华的智力测验成绩是79分恰好对应的是90%分位数，即大约90%的学生的考分比他低，而约10%的学生考分比他高，也就是说他的成绩在高一智力测验考试中是靠前的.
1.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是(　　).
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
2.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度(单位：m/s)的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的25%分位数是(　　).
A.29 B.29.5 C.30 D.36
3.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下表：
由此表估计这100名小学生身高的50%分位数为(　　).(结果保留4位有效数字)
A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7
4.从某校高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.
(1)利用频率分布直方图估计参赛学生成绩的25%和80%分位数；
(2)若该校高三年级学生小明的成绩是88，请分析小明在竞赛中的情况.
身高 (100，110] (110，120] (120，130] (130，140] (140，150]
频数 5 35 30 20 10
【解析】数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10个，且10×80%=8，=8.5，
所以80%分位数是8.5.
1.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是(　　).
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
C
【解析】数据从小到大排列为27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38，共12个，且12×25%=3，
故最大速度的25%分位数是=29.5.
2.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度(单位：m/s)的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的25%分位数是(　　).
A.29 B.29.5 C.30 D.36
B
【解析】50%分位数，即样本数据的中位数.由题可知身高在(100，110]，(110，120]，(120，130]的频率依次为0.05，0.35，0.3，前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x，
则(x-120)×=0.1，解得x≈123.3.
3.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下表：
由此表估计这100名小学生身高的50%分位数为(　　).(结果保留4位有效数字)
A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7
身高 (100，110] (110，120] (120，130] (130，140] (140，150]
频数 5 35 30 20 10
C
【解析】(1)成绩在60分以下的学生所占比例为0.04+0.06=0.1，
成绩在70分以下的学生所占比例为0.04+0.06+0.2=0.3，
所以25%分位数一定位于[60，70)内，
由60+10×=67.5，
可以估计参赛学生成绩的25%分位数为67.5.
同理，由80+10×≈88.3，可以估计参赛学生成绩的80%分位数为88.3.
(2)小明数学竞赛成绩是88分，约对应于80%分位数，即大约80%的学生的考分比他低，而约20%的学生考分比他高，也就是说他的成绩在此次数学竞赛中是中偏上的.
4.从某校高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.
(1)利用频率分布直方图估计参赛学生成绩的25%和80%分位数；
(2)若该校高三年级学生小明的成绩是88，请分析小明在竞赛中的情况.